学生数学课后解题困难的原因分析与建议

学生数学课后解题困难的原因分析与建议

李元辉【Summary】在数学教学中，经常听到老师们议论学生数学课后解题困难。也有不少学生说上课听得懂，课后不会做题。借助马飞龙（F.Marton）的变异教学理论和斯根普（R.Skemp）对数学理解的分类研究，本文审视和分析了这一数学教学典型问题背后的原因并对教师和学生提供问题解决建议。特别强调教师增强自已对数学知识关键属性的理解与把握并在课堂教学中有意识地凸显，有目的地强化前置学习，有助于这一问题的解决。【Key】数学；解题困难；原因分析；建议G6336B1671-8437（2017）18-0019-051原因剖析11教师和教学的原因已有研究指出，数学学科核心素养具有“层叠架构”，底层是“双基层”，包括数学基础知识和基本技能；顶层是“数学思维层”，这是在数学学科学习过程中逐步形成的相对稳定的思考问题、解决问题的思想方法和数学思维的敏捷性、灵活性、流畅性、批判性和创造性特征；而居于这两层之间的中间层是“数学问题解决方法层”，由数学学习方法和应用性的数学问题解决思想方法组成。从数学教学的角度看，这三层从下向上层层归因，从上向下层层包含，从而中间层是数学核心素养培养的重要“着力点”。学生不会解题，笼统地说，是数学学科素养不高，其实质是学生“数学问题解决能力”薄弱，这反映出教师教学“着力点”把握上存在问题。如果学生在数学学习中“能听懂课，不会解题”较大范围存在，则主要原因在于老师，常常是教师的备、教、辅、改、考各个环节有未到位之处。要解决这一问题，教师就必须在备、教、辅、改、考各个环节下真功夫，因为“知识的问题，是一个科学的问题，来不得半点虚假和骄傲。”（1）老师在备课过程中，没有把握住新课改课程标准的要求，没有设定好教学目标，也没有仔细思考和认真研究分析学生的经验，只是凭空想象或按一些资料，按照自己的思路、想法去组织教学内容，忽视了所教学生的存在，甚至一本备课本管几年的现象时有发生。老师教学只是照本宣科，没有“以学定教”，引导学生去关注解题的思路和方法技巧，也没有一题多解的示范，更谈不上培养学生学习数学的兴趣了。长此以往，学生自然不会运用融会贯通的方法去解决问题了。案例1：在七年级上期数学“有理数减法”新课教学中，两位授课教师的核心问题分别界定为，教师A：有理数减法的运算法则有哪些？教师B：如何进行有理数减法运算？两个核心问题的差异在哪儿呢？A问题关注的是数学概念和公式，落脚在知识体系中的运算法则掌握和技能训练；B问题关注的是学生在整体学习有理数减法的运算法则后的数学问题解决。核心问题不同，教学过程会产生什么不同呢？在此节课中，学生运算需要用到的法则主要是“同符号、通分母、凑整数加减”三项。在A问题引导下的课堂，教师和学生高度关注运算法则的掌握运用，教师逐一讲解法则，学生逐一落实过手，基础知识和基本技能扎实。但在解决较难的运算题时，部分同学出现了以下情况：有同学所有的练习题都用一种法则去运算，如把所有符号变为正号；有同学每次练习都先去凑整数；有同学直接上来就通分母。同学们缺少对每道题的分析研究，只是根据自己所学法则的熟悉程度进行运算，教学留有遗憾。B问题引导下的课堂，在进行了运算法则逐项教学后，教师B停顿总结问道：一道题里可以使用多种法则时，我们该怎么办呢？寂静片刻后的课堂，立即出现了喳喳的讨论声，有反应快速的同学已经高高举起了手示意发言。学生在实践和思考后给出了这样答案：“先观察题目，再选择最佳法则，后按法则逐步运算”。老师高度肯定大家的方法后顺势引导学生重视读题、如何读题以确定解题思路。在此后的课堂练习中，课堂上就没有出现在课堂A中用一种办法解所有题的学生了。教师B设计的课堂核心问题明显更具有建构性，凸显出“运算是具体的推理”和对数学思维方式的重视。关注学生数学问题解决思路和方法的渗透，引导学生用所学的知识去解决问题，而不是仅仅指向于“套规则”做练习。变异教学理论指出，所谓关键属性，是某项学习内容和学习经验中要经历的最核心和最本质的要素。在案例1中，有理数减法如何成为学生所理解和应用的知识？在课堂师生互动中，知识以怎样的形态为学生所接受和理解？又是什么影响学生理解的水平？很大程度上在于有理数运算练习的关键属性是否在课堂中得到呈现和凸显，是否为学生关注和理解。审题与方法选择是解决有理数运算问题的关键属性，既属于学习内容，也属于学生认知和经验范畴，是学生经验与学习内容的衔接点。这说明，学生不会解题或解题偏差之处常常暗含着对某个关键属性的误解或盲区，如果教师不能理解学生解题的困难所在，不能立足于学生经验来分析学习内容的关键属性，则无法有效地选择和组织教学活动，教师教学成效优劣之分常常在于此。（2）教师对学生学习数学知识和经验的关键属性把握不清晰、不准确不仅出现在运算教学中，在数学概念的教学中也常常发现教师未能把握好概念的关键属性。案例2：在平面直角坐标系的教学中，有教师创设教室里第几排第几座的情境并抽象为“两个数确定平面位置”的思想作为坐标系的来源。但教室里没有0排0座，而原点才是平面直角坐标系第一位的关键属性，中小学进行直角坐标系的教学，首要在于原點的设置。教师的问题应该是“老师的讲台应该是第几排第几座？”由此引出0排0座。其次，让学生知道坐标系上的点和有序的实数对是一一对应的，然后认识原点和象限。这样教学，才能让学生把握住平面直角坐标系的数学本质，而无视0排0座的教学情境设计就显得肤浅了。（3）课堂是教学的主阵地，课堂教学是老师和学生共同学习和交流的重要场所，是实现教师的教和学生的学的主要途径。在讲课方式、教学方法上，部分教师不能与时俱进，以教师为中心的“满堂灌”仍然占据着各个中小学较大课堂的比例份额。一方面老师讲的口吐白沫，另一方面是学生听得昏昏欲睡。部分数学教师只会套用传统的“定义（定理）--实例--练习--习题”的数学教学模式，上课只是“表演”，“唱独角戏”，在课堂上解题时好像讲得头头是道，可是没有站在学生的角度，只拿自己的观点去解释和理解问题。老师把解题的所有步骤、法则自认为讲得一清二楚，其实学生根本不知道为什么要这样想、为什么会想到这方面去。学生所谓的“听懂了”只是老师具体问题的具体解法，而不是解题的思路和方法。学生数学学习被“告知”的多，被“发现”的少，被“训练”的多，被“理解”的少。学生听课就像听“天书”，昏头昏脑，似懂非懂，“只知其然，而不知其所以然”。结果只是老师教的，只有老师懂；老师解题的方法只有老师会，一旦学生自己独立动手就是“天狗吃月亮”不知道从何处下口了。endprint（4）在日常教学设计中，人们常常关注的问题是：学生是理解了知识还是没有理解知识，很少考虑是不是还有不同类型的理解。英国数学心理学家斯根普（RSkemp）提出的“工具性理解”和“关系性理解”区别了对数学知识理解的层次。传统的“定义（定理）--实例--练习--习题”的数学教学模式所表现与来的对于理解的定位是“工具性理解”，即一种语义性理解（符号所指代的事物是什么）或一种程序性理解（规则所指定的每一个步骤是什么，如何操作等）即“只知是什么，不知为什么”。而关系性理解则还需揭示知识发生过程，进行演绎逻辑分析，提升为数学思想方法，以形成学生自身的认知结构并能运用于变式状态下的数学情境。即“不仅知道要做什么，而且知道为什么”。要想让学生的理解水平达到“关系性理解”，还需要让学生从事不同于传统类型的、诸如发现、探究、合作研讨、解决变式问题等数学学习活动。案例3：二元一次方程组的理解。工具性理解：会用消元法、代入法解数字系数的二元一次方程组，会用二元一次方程组求解鸡免同笼等问题。关系性理解：知道字母系数的二元一次方程组求解的过程，理解代入法是一种化归为一元一次方程的数学思想方法。能够比较代数方法和算术方法求解鸡兔同笼等问题的区别和联系。由此可见，要达到对二元一次方程组的关系性理解，决非只靠“依葫芦画瓢”的训练能够达到。还有些教师不注意“数学学习需要安静的思考”、“思考数学问题需要时间”等数学学习基本特点，一味地高频率使用多媒体，频繁让学生集体小组合作讨论，对反应能力较差的学生没有给出更多的思考时间，以致于分散了学生对数学概念与问题解决所倾向的思想方法的注意，学生缺乏专注的学习，“问题解决能力”必然很难提高。12学法和学生的原因学生方面的原因主要反映在预习、听课、作业、复习各个环节存在不足。一是学习的主动性、计划性不强；二是缺少学习方法，所学知识一知半解又没有勤学好问、预习和复习的良好习惯；三是缺乏学习数学的兴趣，学习意志力薄弱。（1）课前不预习，被动听课。预习是听好课的前提，虽然不预习也能听懂课，但预习后才能做到有的放矢，根据自己的情况有选择地听，不会把所有的时间和精力耗费在整节课上，被老师“牵着鼻子走”，去打无准备之仗。有的同学课前没有预习的良好习惯，结果直接影响了听课的效率。（2）听课时精力不集中，缺乏思考。听课是学生学习的关键环节，教材和课堂是学生获得知识和能力的主要来源。既不预习又不认真听课就缺失学习解数学题的机会。特别是处于青春时期，比较好动的初中生上课不能集中精神，听到一半就开小差，以致课后大脑一片空白，什么都不记得，导致做作业的时候什么都不会。（3）学生没有认识到作业是巩固所学知识的重要手段。老师在讲课时，有的学生只是表面上的接受，而没有仔细思考认真领会；课堂练习的时间太少，做作业急于完成任务，没有认识到做好作业对巩固所学知识的重要性。学生在做作业、解题时，往往只满足于问题的答案，对于推理、计算的严密性、解法的简捷性和合理性不够重视，把作业当成负担。没有认识到作业是复习巩固所学知识的必要手段，这也是学生“能听懂，不会解题”的主要原因之一。（4）不懂装懂。学生能“听得懂，不会解题”还有一个原因，是对“懂”的理解上有误。有的学生的懂只是懂得了解题的每一步，是在老师讲解下的懂，自己想不到的地方，老师讲课时有提示，有诱导，能想起来，认为自己懂了。同样的问题没有老师的提示就不能想起来，说明学生的“懂”不是真“懂”，而是爱面子不愿说没懂；而是在老师面前不愿说不懂。（5）不能及时复习巩固。心理学原理告诉我们，遗忘的规律是先快后慢，在接触新知识的最初阶段是忘得最快的。因此，在此期间就应及时复习，否则学过即忘，以至于看到题目就产生畏惧，不愿解题。对课本的基本知识、定理、定律熟练程度不够，解题能力也就自然不能提高。（6）部分學生对老师的依赖性太强，上课不记笔记，而消极听课。有的同学在数学学习过程中对老师有很强的依赖性，课本、资料上的习题从不主动解答，等待老师讲解，对自己不负责任，学习上的消极情绪严重。有一位学生说过，我就是这样的，上课不记笔记，老师讲课时只管听，且听得头头是道，课后却找不着方向。没有把知识变成自己的，时间稍久必然就忘记得一干二净。（7）受商家利益驱动，不少讲解类资料都有课本习题答案，不自觉的学生只需动笔抄袭即可。学习机、手机的部分功能可以上传试题，收发答案，助长了学生懒惰的形成。长期下去，学生基本上就不能独立动脑筋解决问题了。还有部分学生对数学的学习缺乏兴趣，对数学的问题不愿做长期的钻研，而习惯于走马观花或蜻蜓点水式的学习。在学习中遇到困难时，就产生畏难情绪，怕数学，烦数学，特别对某些理论性强，比较抽象的概念或原理的学习更是难上加难。2建议学生出现“能听懂，不会解题”的原因来自教师、学生及其他方面。说明在教学过程中，存在老师教的问题、学生学的问题，也有其他方面因素的影响。21对教师的建议要促进这个问题的解决，首先应从“教法”方面想办法，改变教育理念、改进教学方法和教学模式才能引导学生走出解题的困境。（1）提升认识，抓牢“着力点”。从思想上认识到中小学是学生打基础的时期，数学核心素养是学生关键能力和必备品格培养重要的组成部分，其培养“抓手”正是数学问题解决能力。（2）改变观念，诉诸行动。传统的师生关系是单通道的授受关系。在管理上是教师讲，学生听的专制型关系。这种关系必然导致学生学习的被动和消极态度，从而降低数学学习的兴趣。师生应转变为建立在尊重、平等基础上的一种友好帮助的关系上，亲其师才会信其道；教师应该让学生积极参与到学习中来，教学中可以创设一个合作与竞争的学习环境，让学生在合作中体验成功的快乐更能激发学习的热情；学生学习数学的兴趣与教法变革紧密相关。在教学方法上可采取谈话式、探究式、讲练结合、个案教学及多媒体辅助教学等方式，激发学生学习数学的兴趣；学习兴趣还来自成功的体验。学生提出的疑问，及时给予答疑解惑，并加以肯定和鼓励，让学生有学习数学的成功感。教师教学的难点是教会那些学了还是不懂的学生！教学中，耐心帮助那些数学天分稍差的学生学习数学，要适当降低坡度，选一些他们自己能独立解答的题目，让他们也有能体验成功喜悦的机会；鼓励学生自己动手，积极主动地参与、思考、探索。用教师的爱心、细心和耐心树立学生学习数学的信心。endprint（3）提高自身素质，强化责任心。教师在整个教学过程中，始终要以自身丰富的知识、修养、素养打动学生，树立“给学生一碗水，自己要有活水来”的榜样作用。老师要加强责任心，用自己的爱心关心体贴学生，用自己的细心观察研究学生，用自己的知识启迪学生，用自己的素养影响打动学生，用自己的耐心引导督促学生。（4）加强方法指导，培养数学兴趣。就学习方法而言，有些同学的学习方法确实需要指导。目前在学生中普遍存在两种学习方法：①蝴蝶“采花”蜻蜓点水式。这种学习方法往往是浅尝辄止，囫囵吞枣，生吞活剥，以偏概全，失之全面，缺乏辨证观点和联系性；②猴子搬“苞谷”边学边丢正负抵消，缺乏效益观念和逻辑性。教师在教学中要引导他们像蜜蜂“采蜜式”的学习，博采百家之花而酿一己之蜜，经过消化咀嚼，强化理解，使知识积少成多，形成结构。同时注重培养学生学习数学的兴趣，其实，数理化、尤其是数学，学起来挺有意思的，当自己终于会独立地用几种方法解同一道题，当一个问题终于恍然大悟时，真是很有成就感。要让学生体验到学数学的无穷快乐，并把所学得的知识转化为能力。（5）教会学生学习，审辨基于变异。教师要教会学生学习，不仅要研究教学中“教”的规律，还要研究学生“学”的规律。变异教学论认为，对事物关键属性的审辨能力是所有认知能力的基础和核心，而审辨基于变异。近来教学研究证实，学习新知识前，先让学生开展一定的实践活动并预见结果，有助于提高教学成效，其中一个重要原因在于这些实践活动往往促使学生基于已有经验作出不同的尝试和预期，各种尝试之间、学生尝试与科学结果之间的差异形成对比，从而有助于学生识别关键属性。关键属性常常是学生学习新知识的“承接点”，新旧知识的衔接点和后继知识的“萌发点”，也是教学的重难点。教师需要发挥教研组的作中，在集体备课中将分析关键属性作为重点，归纳以往发现的学生对某一知识内容的相关经验和误解，发现其关键属性。教师事先对关键属性的把握越全面灵活，对学生经验和困难越重视和敏锐，课堂中就越可能有效识别关键属性。教学是教与学的双边活动，要以学生的学习为中心研究教与学的双边活动规律。数学学习要经历“懂”、“会”、“悟”这三個层次，即理解、模仿、领悟。怎能学会解题呢？解题关键，当然是思路，但是关键属性都未把握，就缺少“学会、学活”的必要条件。要充分发挥例题、习题的功能，利用一题多解，一题多变来教会学生解题。要培养学生的“悟性”，学生自己不会思考不会去“悟”，需要借鉴邱学华的“尝试教学法”和卢仲衡的“自学辅导教学法”，重视学生的前置学习，按照活动与体验取向（内容多元，形式多样，操作简变，评价及时），本质与变式取向（对比变异，类合变异，分离变异，融合变异），关联与结构取向（从展开到压缩，从祥细到省略），迁移与应用取向的适当设计前置学习材料，调动学生学习的主观能动性。在学生的“学法”上找出路，才能从根本上解决“能听懂课，不会解题”的问题。22对学生的建议学习要有自主性，不要一味依赖老师，有一个适合自己的切实可行的学习计划，学习的功课多，学习任