正态总体均值假设检验

分布的统计量来确定

域。这种检验法常称为Z检验法。

nX

0过正态总体

N(

,

2

)

,的检验问题.在这些检验H0

为真时服从

N

(0,1)在上一小节中已当

2已知时关于

问题中，

都是利用在1.

2已知，关于

的检验（Z检验）一、单个总体N

(

,

2

)均值

的检验1.

2

为已知,

关于的检验(

Z

检验)在上节中过正态总体N

(,

2

)当

2为已知时,

关于

的检验问题:0H1

0(

:H1

0(

:H1

0(

:假设检验H0

0假设检验H0

0假设检验H0

0一、单个总体

N

(

,

2

)

均值

的检验

/

n中都是利用H0

为真时服从N

(0,1)分布的统计量

Z

X

域的,这种检验法称为Z

检验法.10.4

10.610.110.410.510.310.310.210.9

10.610.810.510.710.210.7例1

某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm,标准差是0.15cm,今从一批产品中随机的抽取15段进量,其结果如下:假定切割的长度服从正态分布,且标准差没有变化,试问该机工作是否正常?(

0.05)解

因为X N

2

),,(~

0.15,要检验假设H0

:

10

H1.5:,

10.5,则x

0

10.48

10.5

0.516,

/

n

0.15

/

15查表得

z0.05

2

1.96,0.025

/

nx

0而

0.516

z

1.96,故接受H0

,认为该机工作正常.n

15,

x

10.48,

0.05,区域为0.05

2

/

nx

0

z

=1.96,2.

2为未知,

关于

的检验(

t

检验)N

2

其中

2

未知),显,,,著(~性水平为

.设总体X

0求检验问题H0H1

0

的

域.的样本,设21域.

/

n因为

2

未知,

不能利用

X

0

来确定因为S

2

是

2

的无偏估计,故用S

来取代

,S

/

n即采用t

X

0

来作为检验统计量.0H/

ns当观察值 过分大时就t

x

0域的形式为

t

x

0

k00~

t(n

1),S

/

nX

当H

为真时,000

k

,S

/

n

X

0P{

H

H

为真}

P根据第六章§2定理三知,得k

t

/2

(n

1),

t

(n

1)

.s

/

n

/

2域为

t

x

0上述利用t

统计量得出的检验法称为t

检验法.类似可以给出正态总体N(,

2

),当

2未知时,关于的单边检验的

域.在实际中,正态总体的方差常为未知,所以常用t

检验法来检验关于正态总体均值的检验问题.某种电子元件的寿命X(以小时计)服159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?从正态分布,

,

2

均为未知.现测得16只元件的寿命如下:例2解H0

:

0

225,

H1

:

225,依题意需检验假设取

0.05,n

16,

x

241.5,s

98.7259,查表得0.05

0.6685s

/

nt

x

0t

(15)

1.7531

不大于225小时.故接受H0

,认为元件的平均设n

为来自正态总体N

(1

,

)2二、两个总体

N

(

,

2

),

N

(

,

2

)

的情况1

1

2

2利用t检验法可以检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设.122均为未知,方差,

,,的样本,

Y

,Y

,,Y

为来自正态总体N

(

,

2

)的1

2

n

2样本,

且设两样本独立.

注意两总体的方差相等.又设

,XY

分别是总体的样本均值,

SS2

,

2是样本1

21

2

:求检验问题

H0

:

1

2

,

H1(

为已知常数

的 域.

)取显著性水平为

.引入t

统计量作为检验统计量:1

11

2nnSwt

(

X

Y

)

21n

n

2n

S

2

n

11S)()2(w,

其中

S

2

1

1

2

2

.当H0为真时,根据第六章§2定理四知,t

~

t(n1

n2

2).其域的形式为n1

n2sw1

1(

x

y)

k,00HP

k为H真},{P

Swn1

n21

1(

X

Y

)

1

2得k

t

/2

(n1

n2

2).故1

21

1nnsw(n1

n2

2).域为

t

(

x

y)

t

/

28.1,等)时,

可用

Z

检验法来检验两正态总体均值差的假设问题,见表8.1.关于均值差的单边检验问题的

域见表常用

0

的情况.当两个正态总体的方差均为已知(不一定相例3在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10炉，其得率分别为标准方法78.1

72.476.274.377.478.476.075.576.777.3新方法79.1

81.077.379.180.079.179.177.380.282.1221

2N

(

,

)

N

(

,

)21,

2

,设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体和,均未知。问建议的新操作方法能否提高得率？（取

0.05

）解

需要检验假设H0

:

1

2

0,

H1

:

1

2

0.分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差:1n

10,12n

10,x

76.23,

s

2

3.325,y

79.43,2s

2

2.225,2(10

1)s

2

(10

1)s

2且

sw

1

2

2.775,10

10

2查表可知t0.05

(18)

1.7341,1

110

10wsx

y因为t

4.295,所以即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.t

t

(n1

n2

2).

t0.05

(18)

1.7341,H0

,查表8.1知其域为三、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有:单个总体均值

的检验——Z

检验;两个总体均值差1

2

的检验——t

检验;正态总体均值、方差的检验法见下表(显著性水平为

)原假设H0检验统计量备择假设H1域1

0

0

0(

2已知)Z

X

0

/

n

0

0

0z

zz

z

z

z

/

22

0

0

0(

2未知)t

X

0S

/

n

0

0

0t

t

(n

1)t

t

(n

1)t

t

/

2

(n

1)31

2

1

2

1

2

(

2

,

2已知)1

2Z

X

Y

2

21

2n1

n2

0

0

0

z

z

z

z

z

z

/

21

2

1

2

1

2

(

2

2

2未知)1

2t

X

Y

S

1

1w

n

n1

2S

2

(n1

1)S

(n

2)S2

21

2

2w

n

n

21

2

0

t

t

n1

n2

2)(4

0

0

t

t

n1

n2

2)t

t

/

2

n1

n2

1)原假设H0检验统计量备择假设H1域

2

2

2

(n

1)S

2

20

2

20

2

20

2

20

2

2

(n

1)

2

2

(n

1)1

2

2

(n