补上一课极值点的“偏移”问题课件

极值点的“偏移”问题极值点的“偏移”问题1.极值点“偏移”图示知识拓展(左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0)1.极值点“偏移”图示知识拓展(左右对称，无偏移，如二次函数(左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0)(左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1(左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0)(左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1【例1】

已知函数f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)已知函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，证明：当x＞1时，f(x)＞g(x)； (3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＞2.题型一对称化构造法题型突破【例1】已知函数f(x)＝xe－x.题型一对称化构造法题(2)证明由g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，得g(x)的解析式为y＝f(2－x)，构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(1，＋∞)，求导得F′(x)＝f′(x)－[f(2－x)]′＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)，当x＞1时，x－1＞0，ex－2－e－x＞0，则F′(x)＞0，得F(x)在(1，＋∞)上单增，有F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x).(3)证明由f(x1)＝f(x2)，结合f(x)的单调性可设x1＜1＜x2，将x2代入(2)中不等式得f(x2)＞f(2－x2)，又f(x1)＝f(x2)，故f(x1)＞f(2－x2)，又x1＜1，2－x2＜1，f(x)在(－∞，1)上单增，故x1＞2－x2，x1＋x2＞2.(2)证明由g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对补上一课-极值点的“偏移”问题课件【训练1】

(2016·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点(a＞0).

设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.

证明由f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)，知f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，f(1)＝－e，由f(x1)＝f(x2)＝0，可设x1＜1＜x2.

构造辅助函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，求导得F′(x)＝f′(x)－[f(2－x)]′

＝(x－1)(ex＋2a)－(x－1)(e2－x＋2a)

＝(x－1)(ex－e2－x)，

当x＜1时，x－1＜0，ex－e2－x＜0，则F′(x)＞0，得F(x)在(－∞，1)上单增，又F(1)＝0，故F(x)＜0(x＜1)，即f(x)＜f(2－x)(x＜1).将x1代入上述不等式中，得f(x1)＝f(x2)＜f(2－x1)，又x2＞1，2－x1＞1，f(x)在(1，＋∞)递增，故x2＜2－x1，x1＋x2＜2.【训练1】(2016·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝(题型二构造函数的选取【例2】

已知函数f(x)＝ex－ax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0. (1)求a的取值范围；(2)求证：x1＋x2＜2x0； (3)求证：x1＋x2＞2；(4)求证：x1x2＜1.

(1)解

f′(x)＝ex－a，若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单增，f(x)至多有1个零点，舍去；故必有a＞0，易得f(x)在(－∞，lna)上单减，在(lna，＋∞)上单增，要使f(x)有两个不同的零点，则有f(lna)＜0⇒a＞e(严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→＋∞).题型二构造函数的选取【例2】已知函数f(x)＝ex－ax(2)证明由所证结论知这是f(x)的极值点偏移问题，选取函数f(x)来做，下面按对称化构造的三个步骤来写，其中x0＝lna.①由(1)知f(x)在(－∞，x0)上单减，在(x0，＋∞)上单增，可设x1＜x0＜x2；②构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，则F′(x)＝f′(x)－[f(2x0－x)]′＝ex＋e2x0－x－2a，③将x1代入②中不等式得f(x1)＝f(x2)＜f(2x0－x1)，又x2＞x0，2x0－x1＞x0，f(x)在(x0，＋∞)上单增，故x2＜2x0－x1，x1＋x2＜2x0.(2)证明由所证结论知这是f(x)的极值点偏移问题，选取函补上一课-极值点的“偏移”问题课件补上一课-极值点的“偏移”问题课件补上一课-极值点的“偏移”问题课件(4)证明

①同上；(4)证明①同上；补上一课-极值点的“偏移”问题课件【训练2】

已知b＞a＞0，且blna－alnb＝a－b.

求证：(1)a＋b－ab＞1； (2)a＋b＞2.【训练2】已知b＞a＞0，且blna－alnb＝a－b补上一课-极值点的“偏移”问题课件当x∈(0，1)时，(2－x)2lnx＋x2ln(2－x)的符号如何判定？尝试变更结论：证明更强的结论ab＞1.当x∈(0，1)时，(2－x)2lnx＋x2ln(2－x)补上一课-极值点的“偏移”问题课件题型三变更结论题型三变更结论补上一课-极值点的“偏移”问题课件补上一课-极值点的“偏移”问题课件规律方法通过换元化为常规类型证明规律方法通过换元化为常规类型证明【训练3】

已知函数f(x)＝lnx和g(x)＝ax，若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，满足f(x1)＝g(x1)，f(x2)＝g(x2)，求证：x1x2＞e2.

证明令x1＞x2＞0，∵f(x1)＝g(x1)，f(x2)＝g(x2)，∴lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，【训练3】已知函数f(x)＝lnx和g(x)＝ax，若存补上一课-极值点的“偏移”问题课件补上一课-极值点的“偏移”问题课件极值点的“偏移”问题极值点的“偏移”问题1.极值点“偏移”图示知识拓展(左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0)1.极值点“偏移”图示知识拓展(左右对称，无偏移，如二次函数(左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0)(左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1(左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0)(左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1【例1】

已知函数f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)已知函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，证明：当x＞1时，f(x)＞g(x)； (3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＞2.题型一对称化构造法题型突破【例1】已知函数f(x)＝xe－x.题型一对称化构造法题(2)证明由g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，得g(x)的解析式为y＝f(2－x)，构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(1，＋∞)，求导得F′(x)＝f′(x)－[f(2－x)]′＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)，当x＞1时，x－1＞0，ex－2－e－x＞0，则F′(x)＞0，得F(x)在(1，＋∞)上单增，有F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x).(3)证明由f(x1)＝f(x2)，结合f(x)的单调性可设x1＜1＜x2，将x2代入(2)中不等式得f(x2)＞f(2－x2)，又f(x1)＝f(x2)，故f(x1)＞f(2－x2)，又x1＜1，2－x2＜1，f(x)在(－∞，1)上单增，故x1＞2－x2，x1＋x2＞2.(2)证明由g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对补上一课-极值点的“偏移”问题课件【训练1】

(2016·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点(a＞0).

设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.

证明由f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)，知f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，f(1)＝－e，由f(x1)＝f(x2)＝0，可设x1＜1＜x2.

构造辅助函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，求导得F′(x)＝f′(x)－[f(2－x)]′

＝(x－1)(ex＋2a)－(x－1)(e2－x＋2a)

＝(x－1)(ex－e2－x)，

当x＜1时，x－1＜0，ex－e2－x＜0，则F′(x)＞0，得F(x)在(－∞，1)上单增，又F(1)＝0，故F(x)＜0(x＜1)，即f(x)＜f(2－x)(x＜1).将x1代入上述不等式中，得f(x1)＝f(x2)＜f(2－x1)，又x2＞1，2－x1＞1，f(x)在(1，＋∞)递增，故x2＜2－x1，x1＋x2＜2.【训练1】(2016·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝(题型二构造函数的选取【例2】

已知函数f(x)＝ex－ax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0. (1)求a的取值范围；(2)求证：x1＋x2＜2x0； (3)求证：x1＋x2＞2；(4)求证：x1x2＜1.

(1)解

f′(x)＝ex－a，若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单增，f(x)至多有1个零点，舍去；故必有a＞0，易得f(x)在(－∞，lna)上单减，在(lna，＋∞)上单增，要使f(x)有两个不同的零点，则有f(lna)＜0⇒a＞e(严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→＋∞).题型二构造函数的选取【例2】已知函数f(x)＝ex－ax(2)证明由所证结论知这是f(x)的极值点偏移问题，选取函数f(x)来做，下面按对称化构造的三个步骤来写，其中x0＝lna.①由(1)知f(x)在(－∞，x0)上单减，在(x0，＋∞)上单增，可设x1＜x0＜x2；②构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，则F′(x)＝f′(x)－[f(2x0－x)]′＝ex＋e2x0－x－2a，③将x1代入②中不等式得f(x1)＝f(x2)＜f(2x0－x1)，又x2＞x0，2x0－x1＞x0，f(x)在(x0，＋∞)上单增，故x2＜2x0－x1，x1＋x2＜2x0.(2)证明由所证结论知这是f(x)的极值点偏移问题，选取函补上一课-极值点的“偏移”问题课件补上一课-极值点的“偏移”问题课件补