自动控制原理控制系统的数学模型课件

2.3传递函数

2.3.12.3.22.3.3传递函数的定义传递函数的基本性质控制系统的典型环节及传递函数2.3传递函数

2.3.1传递函数的定义微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难：

1）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量大。

2）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。在控制工程中，一般并不需要精确地求系统微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的办法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能够判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难：下面以一个简单的R-C电路为例，说明卷积积分的应用。

已知一R-C电路如图2-12所示，其中输入电压为，输出为电容两端的充电电压。由基尔霍夫定律得因为，则上式便改写为这就是该电路的微分方程式。方程两端进行拉氏变换2.3.1传递函数(transferfunction)的定义下面以一个简单的R-C电路为例，说明卷积积分的应用。2.3若则有其中，

若则有若则有其中，若传递函数的图示：当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换函数与输入函数拉氏变换之比，是一个只与电路结构与参数有关的函数，称为传递函数。传递函数的图示：当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换函数式中，为系统的输入量；为系统的输出量。在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得

设线性定常数系统的微分方程式为式中，为系统的输入量；为系统的输出量。系统的传递函数定义为与之比，即

于是得其中在零初始条件()下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。据此得出线性定常系统（或元件）传递函数的定义：

输入量施加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0系统的传递函数定义为与之比，例2-1

R-L-C串联电路方法一方法二运算法传递函数：传递函数的求法先列写系统的微分方程，然后根据传递函数的定义求取

画出运算电路模型，将电路元件变为运算阻抗，利用电路分析方法求取。例2-1R-L-C串联电路传递函数：传递函数的求法先列写适用于线性定常系统传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律只取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关系。对于多输入—多输出的系统，用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出间的关系。2.3.2传递函数的基本性质传递函数的拉氏反变换是脉冲响应g(t).适用于线性定常系统传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下传递函数矩阵描述输出与输入间的关系传递函数矩阵描述输出与输入间的关系如果已知系统的单位脉冲响应g(t)，就可以根据卷积积分求解系统在任意输入r(t)作用下的输出响应，即因为求取系统时域响应的两种方法：对r(t)拉式变换得到R(s),由得到C(s)，然后进行拉式反变换得到c(t).由传递函数的拉式反变换得到g(t),由得到c(t).如果已知系统的单位脉冲响应g(t)，就可以根据卷积积分求解系求取该电路在单位阶跃输入时的响应。

方法1方法2求取该电路在单位阶跃输入时的响应。方法1方法2RLC无源网络(例2-10)RLC无源网络(例2-10)N(s)=0系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。

N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K——系统处于静态时，输出与输入的比值。当s=0时系统的放大系数或增益传递函数的特征方程N(s)=0系统的特征方程，特征根！从微分方程的角度看，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点和极点M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根-2-31-1传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“o”表示极点用“×”表示零、极点分布图-2-31-1传递函数的零、极点分布图：零、极点分布图

2.3.3控制系统的典型环节及传递函数环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。典型环节(nominal(typical)element)2.3.3控制系统的典型环节及传递函数环节是根据微分方程这种环节的特点是输入不失真、不延迟、成比例地复现输入信号。它的运动方程为对应的传递函数是式中，是环节的输出量；是环节的输入量；K为常数。

1.比例环节[Proportionalelement(link)]kR(S)C(S)方框图：这种环节的特点是输入不失真、不延迟、成比例地复现输入信号。它例1：齿轮传动例1：齿轮传动例2：运算放大器例2：运算放大器该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比，即有对应的传递函数为2．积分环节[Integralloop(link)]方框图：k/sR(s)C(s)积分环节具有记忆功能和明显的滞后作用该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比，即有2．积分环节例1：积分调节器CUc(t)RUr(t)i1i2A传递函数为：例1：积分调节器CUc(t)RUr(t)i1i2A传递函数为惯性环节的特点是其输出量缓慢地反映输入量的变化规律。它的微分方程为对应的传递函数为式中，T是环节的时间常数。3.惯性环节[Inertialloop(link)]

惯性环节的特点是其输出量缓慢地反映输入量的变化规律。它的微分例1：RC惯性环节例1：RC惯性环节理想的微分环节，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即有对应的传递函数为

4．微分环节[derivativeloop(link)]理想的微分环节，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即有4．例1：RC微分网络例1：RC微分网络特点：这种环节的特点是输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入量的变化率有关运动方程对应的传递函数是

一阶微分环节特点：这种环节的特点是输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入这种环节的特点是，如输入为一阶跃信号，则其输出成周期性振荡形式。式中，T为时间常数;K为放大系数;ξ为阻尼比，其值为0<ξ<1。由于该传递函数有一对位于s左边面的共轭极点，因而这种环节在阶跃信号作用下，其输出必必然会呈现出振荡性质。5．振荡环节[oscillatoryloop(link)]这种环节的特点是，如输入为一阶跃信号，则其输出成周期性振荡形

例1：

R-L-C电路传递函数微分方程例1：R-L-C电路传递函数微分方程例2：机械平移系统例2：机械平移系统

在有滞后作用的系统中，其输出信号与输入信号的形状完全相同，只是延迟一段时间后重现原函数。其动态方程为它们之间的传递函数为

6.滞后环节[lag/delayloop(link)]—环节的时间常数6.滞后环节[lag/delayloop(link)]例1：水箱进水管的延滞例1：水箱进水管的延滞比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节！串联纯微分环节比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟建模modelling数学模型mathematicalmodel微分方程式differentialequation非线性的nonlinear线性化linearization输入量input输出量output传递函数transferfunction拉氏变换LaplacetransformWORDSANDPHARASES建模modellingWOR2.3传递函数

2.3.12.3.22.3.3传递函数的定义传递函数的基本性质控制系统的典型环节及传递函数2.3传递函数

2.3.1传递函数的定义微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难：

1）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量大。

2）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。在控制工程中，一般并不需要精确地求系统微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的办法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能够判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难：下面以一个简单的R-C电路为例，说明卷积积分的应用。

已知一R-C电路如图2-12所示，其中输入电压为，输出为电容两端的充电电压。由基尔霍夫定律得因为，则上式便改写为这就是该电路的微分方程式。方程两端进行拉氏变换2.3.1传递函数(transferfunction)的定义下面以一个简单的R-C电路为例，说明卷积积分的应用。2.3若则有其中，

若则有若则有其中，若传递函数的图示：当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换函数与输入函数拉氏变换之比，是一个只与电路结构与参数有关的函数，称为传递函数。传递函数的图示：当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换函数式中，为系统的输入量；为系统的输出量。在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得

设线性定常数系统的微分方程式为式中，为系统的输入量；为系统的输出量。系统的传递函数定义为与之比，即

于是得其中在零初始条件()下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。据此得出线性定常系统（或元件）传递函数的定义：

输入量施加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0系统的传递函数定义为与之比，例2-1

R-L-C串联电路方法一方法二运算法传递函数：传递函数的求法先列写系统的微分方程，然后根据传递函数的定义求取

画出运算电路模型，将电路元件变为运算阻抗，利用电路分析方法求取。例2-1R-L-C串联电路传递函数：传递函数的求法先列写适用于线性定常系统传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律只取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关系。对于多输入—多输出的系统，用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出间的关系。2.3.2传递函数的基本性质传递函数的拉氏反变换是脉冲响应g(t).适用于线性定常系统传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下传递函数矩阵描述输出与输入间的关系传递函数矩阵描述输出与输入间的关系如果已知系统的单位脉冲响应g(t)，就可以根据卷积积分求解系统在任意输入r(t)作用下的输出响应，即因为求取系统时域响应的两种方法：对r(t)拉式变换得到R(s),由得到C(s)，然后进行拉式反变换得到c(t).由传递函数的拉式反变换得到g(t),由得到c(t).如果已知系统的单位脉冲响应g(t)，就可以根据卷积积分求解系求取该电路在单位阶跃输入时的响应。

方法1方法2求取该电路在单位阶跃输入时的响应。方法1方法2RLC无源网络(例2-10)RLC无源网络(例2-10)N(s)=0系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。

N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K——系统处于静态时，输出与输入的比值。当s=0时系统的放大系数或增益传递函数的特征方程N(s)=0系统的特征方程，特征根！从微分方程的角度看，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点和极点M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根-2-31-1传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“o”表示极点用“×”表示零、极点分布图-2-31-1传递函数的零、极点分布图：零、极点分布图

2.3.3控制系统的典型环节及传递函数环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。典型环节(nominal(typical)element)2.3.3控制系统的典型环节及传递函数环节是根据微分方程这种环节的特点是输入不失真、不延迟、成比例地复现输入信号。它的运动方程为对应的传递函数是式中，是环节的输出量；是环节的输入量；K为常数。

1.比例环节[Proportionalelement(link)]kR(S)C(S)方框图：这种环节的特点是输入不失真、不延迟、成比例地复现输入信号。它例1：齿轮传动例1：齿轮传动例2：运算放大器例2：运算放大器该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比，即有对应的传递函数为2．积分环节[Integralloop(link)]方框图：k/sR(s)C(s)积分环节具有记忆功能和明显的滞后作用该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比，即有2．积分环节例1：积分调节器CUc(t)RUr(t)i1i2A传递函数为：例1：积分调节器CUc(t)RUr(t)i1i2A传递函数为惯性环节的特点是其输出量缓慢地反映输入量的变化规律。它的微分方程为对应的传递函数为式中，T是环节的时间常数。3.惯性环节[Inertialloop(link)]

惯性环节的特点是其输出量缓慢地反映输入量的变化规律。它的微分例1：RC惯性环节例1：RC惯性环节理想的微分环节，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即有对应的传递函数为

4．微分环节[derivativeloop(link)]理想的微分环节，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即有4．例1：RC微分网络例1：RC微分网络特点：这种环节的特点是输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入量的变化率有关运动方程对应的传递函数是

一阶微分环节特点：这种环节的特点是输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入这种环节的特点