数学建模基本理论-1灰色系统

1.1

灰色理论发展概述叉性系统科灰色理论产生与发展科学技术高度综合的结果系统科学的深化，产生横向学新学科不确定性系统理论和方法不断涌现L.A.Zadeh,模糊数学；邓聚龙，灰色系统理论；Z.Pawlak,粗糙集理论；

，未确知数学。灰色系统理论的产生与发展动态1982年，邓聚龙，“灰色系统的控制问题”1982年我国学者邓聚龙先生创立了灰色系统理论,目前许多国家及国际组织的知名学者从事灰色系统的理论和应用研究工作.灰色系统理论应用于工业,农业,社会,经济,能源,交通,地质,石油,气象,水利等众多领域,成为研究工程领域不确定性问题的重要方法几种不确定方法比较灰色系統概率論模糊集內涵小樣本不確定大樣本不確定認知不確定依據信息覆蓋概率分布隸屬度函數生成統計邊界取值特點少數據多數據經驗(數據)要求允許任意分布要求典型分布函數目標現實規律歷史統計規律認知表達信息準則最少信息無限信息經驗信息1.2

灰色系统基本概念系统与箱系统：通过对象、要素、环境三者之间的有机联系和变化规律，研究其结构和功能。箱：侧重于对象外部特征而不重视其 信息的开发利用。黑箱：

信息未知；白（箱）：信息完全明确；灰色系统理论：“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”的不确定系统。系统信息不完全的情况元素（参数）信息不完全；结构信息不完全；边界信息不完全；运行行为信息不完全；灰色系统的基本原理差异信息原理：a

比b

高解的非唯一性原理：同一病，中、西醫不同看法最少信息原理：直线是最少图。认知根据原理：須以資訊作為依據新息优先原理：新息的權比舊息的權大灰性不灭原理：人類認知是无穷尽的1.3

灰数及其运算灰数只知道大概范围而不知道其确切值的数，成为灰数。表示为：⊗在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。区分：灰数与区间区间是数集的一种表示形式,

限区间，无限区间；灰数分类仅有下界的灰数，记为⊗∈[a,∞)或⊗（a），如一棵大树，重量大于0。仅有上界的灰数，记为⊗∈（+∞，a]或⊗（ā），如一项工程的投资；一个电器设备的承受电压、电流。区间灰数，既有下界，又有上界，

⊗∈[a,

ā]，如人的身高在1.7~1.9米。连续灰数与离散灰数黑数与白数：

⊗∈（-∞,+∞)，上下界为无穷，则为黑数，⊗∈[a,ā]，且a=ā，则为白数。本征灰数与非本征灰数。灰数类型信息型灰数暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数，如：预计气温，粮食产量等；概念型灰数（意愿型灰数）如承担某一工程，希望工程投入费用[1千万，∞]；工厂里产品的废品率[0，0.01]层次型灰数人的身高，以米为单位、分米为单位（白）、厘米为单位、毫米为单位、微米为单位（灰）等。区间灰数的运算灰数的加减设灰数⊗1∈[a,b]（a<b）,⊗2

∈[c,d](c<d)⊗1+⊗2

∈

[a+c,b+d],设⊗1∈[a,b]（a<b）,则-⊗1∈[-b,-a]推理：⊗1-⊗2

∈[a-d,b-c]灰数的乘除设⊗1∈[a,b]（a<b）;设⊗2∈[c,d]（c<d）,则⊗1

⊗2=[min{ac,ad,bc,bd},{ac,ad,bc,bd}](灰数的乘)设⊗1∈[a,b]（a<b）,a≠0,b≠0,ab>0则推理：⊗1∈[a,b]（a<b）；⊗2∈[c,d]（c<d）,c≠0,d≠0,ab>0.则,⊗1/⊗2=⊗1

·

⊗-1,即⊗1

/

⊗2⊗-1

b a

,1 1

min{

,

,

,

},{

,

,

,

}c

d

c

dc

d

c

da

a

b

b

a

a

b

b其他运算规则区间灰数不能相消、相约区间灰数全体构成灰数域区间灰数全体构成灰色线性空间。1.4

灰数的白化与灰度某一类灰数是在某个基本值附近变动，可以其基本值为主要白化值等权白化；等权均值白化(α=0.5)；非等权白化；白化权函数。白化权函数：根据自己对于已知信息进行设计的、没有固定格式的函数，其起点和终点一般应具有一定含义。几种类型的白化权函数。灰数灰度公理化定义灰度反映的是灰色系统认识的不确定程度。邓聚龙定义：第一部分代表了峰区大小，第二部分代表了L和R覆盖面积对于灰度的影响。}b1

b2

b1

b2g

0

()

2

|

b1

b2

|

max{|

a1

b1

|

,

|

a2

b2

|第二章灰色方程与灰色矩阵概念

灰色方程：形如1

X

2

0的方程

含灰元的矩阵称作灰色矩阵，记A()

21 22

aaa12

A()

11第二讲序列算子与灰色序列生成概念灰色过程：随机的过程，时间域，值域中。灰色序列生成：就数据寻找数据的现实规律的途径。一种灰数白化 段。灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此，必然蕴含某种内在规律。3.1

序列算子(sequence

operator)一、冲击扰动系统 陷阱定义3.1.1

设为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为其中为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列.要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列X(0)的系统之变化规律的正确把握和认识,必须首先

.如果不事先排除干扰,而用失真的数据X

直接建模、预测，则会因模型所描述的并非由X(0)

所反映的系统真实变化规律而导致 。)0(2)0)((),0(

)0((,n

1)(,(n

)x(0)X

x(1)(,

x(2),

x(,n))

1X

(0)

二、缓冲算子公理(the

axioms

of

buffer

operator)定义3.1.2

设系统行为数据序列为X=(x(1),x(2),…,x(n)),若1

k=2,3,

…,n,x(k)-x(k-1)>0则称X

为单调增长序列;1中不等号反过来成立,则称X

为单调衰减序列;存在k,k1

,有x(k)-x(k-1)>0x(k1)-x(k1-1)<0则称X为随机振荡序列.设M=max{x(k)|k=1,2,

…,n},m=min{x(k)|k=1,2,

…,n}称M-m

为序列X

的振幅.定义3.1.3

设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算子,X经过算子D作用后所得序列记为XD=(x(1)d,x(2)d,

…,x(n)d)称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列.序列算子的作用可以进行多次,若D1,D2,D3皆为序列算子,称D1D2为二阶算子,并称X

D1D2=(x(1)d

1d2,

x(2)d

1d2

,

…,x(n)d

1d2)为二阶算子作用序列.公理3.1.1(不动点公理)设X为系统行为数据序列,D为序列算子,则D满足x(n)d=x(n)公理3.1.2(信息充分利用公理)系统行为数据序列

X中的每一个数据x(k),k=1,2,

…,n,都应充分参与算子作用的全过程.公理3.1.3(解析化、规范化公理)任意的x(k)d，皆可由一个

的x(1),

x(2),

…,x(n)的初等解析式表达。定义3.1.4

称上述三个公理为缓冲算子三公理,满足缓冲算子三公理的序列算子,称为缓冲算子,一阶、二阶、……缓冲算子作用序列称为一阶、二阶、……缓冲序列(buffersequences)。定义3.1.5

设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时:若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰度)减缓或振幅减小,

称缓冲算子D为弱化算子;若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰度)加快或振幅增大,则称缓冲算子D为强化算子.三、缓冲算子的性质定理3.1.1

设X为单调增长序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子x(k)≤x(k)dD为强化算子x(k)≥x(k)d定理3.1.2

设X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子x(k)≥x(k)dD为强化算子x(k)≤x(k)d定理3.1.3

设X为振荡序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子

max{x(k)}≥max{x(k)d}min

{x(k)}

≤

min{x(k)d}D为强化算子max{x(k)}

≤

max{x(k)d}min

{x(k)}≥

min{x(k)d}四、实用缓冲算子的构造定理3.1.4

设原始数据序列X=(x(1),x(2),

…,x(n)),令XD=(x(1)d,x(2)d,

…,x(n)d)则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为弱化算子(weakening

operator).推论3.1.1

对于定理3.1.4中定义的弱化算子D,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,

…,x(n)d2)其中

1

kn1)(dkx

kxkx

()n1x)(]

[

(d)d)]n

kn11()

xdk2

则D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列，皆为二阶弱化算子。定理3.1.5

设原始序列和其缓冲序列分别为X=(x(1),x(2),

…,x(n))XD=(x(1)d,x(2)d,

…,x(n)d)其中x(n)d=x(n)

则当X为单调增长序列或单调衰减序列时,D皆为强化算子(strengthening

operator).推论3.1.2

设D为定理6.1.5中定义的强化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,

…,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)则D2

对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算子.k

12

k

kx

k)()(dkxk

12

xddkkx(xd1x(1(d)()

xdk2

定理3.1.6

设X=(x(1),x(2),

…,x(n)),令XDi=(x(1)di,x(2)di,

…,x(n)di)其中x(1)d1=x(1),x(1)d2=(+1)x(1)x(n)di=x(n)

i=1,2则D1对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列为强化算子.2别为单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子.推论3.1.3

对于定理3.1.6中定义的D1,D2,则

D1

,2x(k)d

x(k

1)

x(k

)i2D2分3.2

均值生成(Generations

Based

o

age)在收集数据时,常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺(也称空穴,blank)也有一些数据序列虽然数据完整,但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据,给研究工作带来很大

,这时如果剔除异常数据就会留下空穴.因此,如何有效的填补空穴,自然成为数据处理过程中首先遇到的问题,均值生成是常用的构造新数据,填补老序列空穴,生成新序列的方法.定义3.2.1

设序列X=

(x(1),x(2),

…,x(k),x(k+1),…,x(n))x(k)与x(k+1)为X的一对紧邻值,x(k)称为前值,x(k+1)称为后值,若x(n)为新信息,则对任意k<=n-1,x(k)为老信息.定义3.2.2

设序列X在k处有空穴,记为(k),即X=(x(1),

x(2),

…,x(k-1),

(k),

x(k+1),

…,x(n))则称x(k-1)

和x(k+1)为(k)的界值,x(k-1)为前界,x(k+1)为后界,当(k)由x(k-1)与x(k+1)生成时,称生成值x(k)为[x(k-1),x(k+1)]的内点定义3.2.3

设x(k)和x(k-1)为序列X中的一对紧邻值,若有x(k-1)为老信息,x(k)为新信息X*(k)=x(k)+(1-)x(k-1)则称X*(k)为由新信息与老信息在生成系数下的生成值(generated

value).定义3.2.4

设序列X=(x(1),x(2),…,x(k-1),(k),(k+1),…,x(n)),为在k处有空穴(k)的序列,而X*(k)=0.5x(k+1)+0.5x(k-1)为非紧邻均值生成数,用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序列.定义3.2.5

设序列X=(x(1),

x(2),

…,x(n)),若X*(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1)则称X*(k)为紧邻均值生成数.由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列.在GM建模中,常用紧邻信息的均值生成.它是以原始序列为基础构造新序列的方法.3.3

级比与光滑比(Stepwise

and

Smooth

Ratios)当序列的起点和终点为空穴,这时,就无法采用均值生成填补空缺,只有转而考虑别的方法.级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法.定义3.3.1

设序列X=(x(1),

x(2),

…,x(n))

称x(k

1)x(k)

(k

)

k

1

x(i)i

1x(k

)

(k

)

为序列的级比.称为序列的光滑比.定义3.3.2

设X为端点是空穴的序列:X=((1),

x(2),

…,x(n-1),

(n))若用(1)右邻的级比(或光滑比)生成x(1),用(n)左邻的级比(或光滑比)生成x(n),则称x(1)和x(n)为级比(或光滑比)生成;按级比生成(或光滑比生成)填补空穴所得的序列成为级比生成(或光滑比生成)序列.命题3

3.1

设X是端点为空穴的序列,那么若采取级比生成,则x(1)=x(2)/(3) x(n)=x(n-1)

(n-1)若采取光滑比生成,则x(3)

x(2)x2

(2)x(1)

x(n)

x(n

1)(1

(n

1))命题3.3.2

级比与光滑比有下述关系:(k)

(k

1)

(k

1)

(1

(k))命题3.3.3

若X=(x(1),

x(2),

…,x(n))为递增序列,且有1

对于k=2,3,…,n

,

(k)<22

对于k=2,3,…,n,(k

1)

1(k)

(即光滑比递减)则对指定的实数∈[0,1]和k=2,3,…,n,当(k)∈[0,]时,必有(k+1)∈[0,1+

].23

<0.5则称X为准光滑序列(quasi-smooth

sequence).定义3.3.4

设X为有空穴的序列,若新序列生成满足准光滑条件,则称此生成为准光滑生成.

(k

)

[0,

]定义3.3.3

若序列X满足1(k

1)

1(k)3.4

累加生成算子与累减生成算子累加生成是使灰色过程由灰变白的 法,它在灰色系统理论中占有极其重要的地位.通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来.累减生成是在获取增量信息时常用的生成,累减生成对累加生成起还原作用.累减生成与累加生成是一对互逆的序列算子.ki1则称D为X(0)的一次累加生成算子,记为1-AGO.称r阶算子Dr为X(0)的r次累加生成算子,记为r-AGO.定义3.4.2

设X(0)为原始序列X(0)=(x(0)(1),

x(0)(2),…,x(0)(n)),D为序列算子,X(0)D=(x(0)(1)d,

x(0)(2)d,…,x(0)(n)d),其中

x(0)(k)d=

x(0)(k)-x(0)(k-1)则称D为X(0)的一次累减生成算子,称r阶算子Dr为X(0)的r次累减生成算子.定义3.4.1

设X(0)为原始序列X(0)=(x(0)(1),

x(0)(2),

…,x(0)(n)),D为序列算子,X(0)D=(x(0)(1)d,

x(0)(2)d,…,x(0)(n)d),其中x(0)

(k

)d

x(0)

(i)定理3.4.1

累减算子是累加算子的逆算子,即(r)X(r)=x(0)鉴于累减与累加互逆,

累减生成算子记为IAGO.命题3.4.1

设X(0)为非负序列,X(0)=(x(0)(1),

x(0)(2),

…,x(0)(n)),其中,x(0)(k)>=0,

且x(0)(k)

∈[a,b]X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))为X(0)的r次累加生成序列,则当r充分大时,对于>0,存在N,使k,N<k<=n,有下式成立:

k

1

x(r

)

(i)i1x(r

)

(k)这就是说,对于有界非负序列,经过多次累加生成后,所得序列可充分光滑,且光滑比(k)

→0命题3.4.2

设X(0)为非负序列X(0)=(x(0)(1),

x(0)(2),

…,x(0)(n)),其中,x(0)(k)>=0,且x(0)(k)∈[a,b]X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))为X(0)的1次累加生成序列z(1)=(z(1)(1),z(1)(2),

…,z(1)(n))为X(1)的紧邻均值生成序列,则对于>0,存在N,使k,N<k<=n,有下式成立:(k

)

z(1)

(k

)x(0)

(k

)

3.5

累加生成的灰指数律(Grey

Exponen-tiality

of

Accumulating

Generations)一般的非负准光滑序列经过累加生成后,都会减少随机性,呈现出近似的指数增长规律.原始序列越光滑,生成后指数规律也越明显.定义3.5.1

设原始序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),

…,x(0)(n)),(1)X(0)=((1)

x(0)(1),

(1)

x(0)(2),

…,

(1)

x(0)(n))为X(0)的一次累减生成序列,若1

有k,使(1)

x(0)(k)=x(0)(k)-x(0)(k-1)>0,则称序列

X(0)在第k步是增长的,反之,称X(0)在第k步是衰减的2

对于k=1,2,

…,n,恒有(1)

x(0)(k)>0,则称序列X(0)为非波动增长序列3

对于k=1,2,

…,n,恒有(1)

x(0)(k)<0,则称序列X(0)为非波动衰减序列4

存在k1,k2,使(1)

x(0)(k1)>0,(1)

x(0)(k2)<0则称X(0)为随机序列.定义3.5.2

若X(0)为非波动序列,(1)X(0)为随机序列,则称X(0)为一阶弱随机序列;对于i=0,1,2,…,r-1,(i)X(0)皆为非波动序列,而(r)X(0)为随机序列,则称X(0)为r阶弱随机序列;对于r,r∞,(r)X(0)为非波动序列,则称X(0)为非随机序列.定理3.5.1

设X(0)为正序列,即X(0)=(x(0)(1),

x(0)(2),

…,x(0)(n)),

x(0)(k)>0而x(r)为X(0)的r次累加生成序列,则X(0)必为r阶弱随机序列.定义3.5.3

设连续函数为X

(t)

ceat

b;c,

a

0,则当b=0时,称X(t)为齐(homogeneous)指数函数;b≠0时,称X(t)为非齐次(non-homogeneous)指数函数定义3.5.4

设序列X=(x(1),

x(2),

…,x(n)),若对于任意的kx(k)

ceak

;c,a

0

,x(0)(1)

则称X为齐次指数序列x(k)

ceak

b;c,a,b

0则称X为非齐次指数序列定理3.5.2

X为齐次指数序列的充分必要条件是,对于k=1,2,…,n,恒有(k)=const成立.定义3.5.5

设序列X=(x(1),

x(2),

…,x(n)),若k,

(k)(0,1]

则称序列X具有负的灰指数规律k,

(k)(1,b]

则称序列X具有正的灰指数规律k,

(k)(a,b],b

a

则称序列X具有绝对灰度为的灰指数规律

<0.5时,称X具有准指数规律(the

law

of

quasi-exponent)定理3.5.3

设X(0)为非负准光滑序列,则X(0)的一次累加生成序列X(1)具有准指数规律.定理3.5.4

设X(0)为非负序列,若X(r)具有指数规律,且X(r)的级比(r)(k)=

,则有(r1)1

k

11

k1.

(k)

k

2.当

(0,1)时,lim

(r

1)(k

)

1,对每个k,

(r

1)(k

)(1,1

]k

3.当

1时,lim

(r

1)(k)

,对每个k,

(r

1)(k)(

,1

]第三讲灰色关联分析灰色关联的意义事物之间的不确定关联；因子对主行动之间的不确定关联；根据因来衡量因间发展态势的相似（或相异）程度，间的关联程度。灰色关联度及其相关概念灰色关联度是两个系统或两个因素间关联性大小的量度，它描述系统发展过程中因素间相对变化的情况，也就是变化大小、方向与速度等的相对性。特征：如果两因素在发展过程中相对变化态势一致性高，则两者的灰色关联度大；反之，灰色关联度就小。所谓灰色关联分析，就是系统的因素分析，是对一个系统发展变化态势的定量比较和反映。灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的 法.距离空间：将在因子空间的点对离空间，定义出点的接近测度。距离与范数的区别。在距灰色关联空间：n

中的一个实义点，由若干个坐标表示；现实当中，某个因素是由若干个元素（指标）组成（构成）；点空间——函数空间：几何分析——泛函分析。区间变换法（从元素中抽提比较子集）4.1

灰色关联因素和关联算子集定义4.1.1

设Xi

为系统因素，其在序号k上的观测数据为xi

(k),

k

1,2,,

n则称因素

Xi

的行为在k时刻的观测数据，则称指标的观测数据，则称

1)(,(

(,n序列；若k为时间序号，xi

(k)为因素Xi

1)(,(为因素Xi

的行为时间序列；若k为指标序号，xi

(k)

为因素

Xi

关于第k个

1)(,(为因素Xi

的行为指标序列。若k为观测对象序号，xi

(k)为因素关于第k个对象的观测数据，则称

1)(,(

(,n为因素Xi

的行为横向序列无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来做关联分析。定义4.1.2设其中则称D1为初值化算子，Xi

为原像，X

i

D1

为Xi

在初值化算子D1

下的像，简称初值像。

1)(,(

(,n因素Xi

的行为序列，D1

为序列算子，且XD1

(x(1)d1,

x(2)d1,,

x(n)d1)xi

(k)d1

xi

(k)

/

xi

(1);

k

1,2,,

n定义

4.1.4

设的行为序列，D2

为序列算子，且(n))为因素Xi其中为Xi

在均值化算子D2

下的像XD2

(x(1)d2

,

x(2)d2

,,

x(n)d2

)

(1),;2n,1nX()kxnii,

X

ii则称D2为均值化算子，Xi

D2，简称均值像。i

2()

dkxi1定义4.1.4设因素Xi

的其中则称

D3为区间化算子，Xi

D3

为区间值像。命题4.1.1

初值化算子D1

、均值化算子D2

和区间值化算子D3皆可以使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地，不宜混合、 使用。

1)(,(

(,n行为序列，D3

为序列算子，且XD3

(x(1)d3

,

x(2)d3

,,

x(n)d3

),

k

1,2,,

nmax

xi

(k)

min

xi

(k)xi

(k)

min

xi(k)xi

(k)d3

D1

D2

D3定义

4.1.5

设(k)[0,1]为因素

Xi

的行为序列，

D4

为序列算子，且XD4

(x(1)d4

,

x(2)d4

,,

x(n)d4

)其中则称

D4

为逆化算子，Xi

D4

为

Xi

在逆化算子

D4

下的像，简称逆化像。i

(

)

4

1

i

(

);

1,2n,,定义

4.1.6

设为因素Xi的行为序列，D5为序列算子，且其中则称D5

为倒数化算子，Xi

D5

为倒数化像。呈负相关关系，则命题4.1.3若系统因素Xi

与系统主行为Xi

的逆化算子作用像

Xi

D4

和倒数化作用像

Xi

D5

与X

0

具有正相关关系。

1)(,(nXD5

(x(1)d5

,

x(2)d5

,,

x(n)d5

)xi

(k)d5

1

xi

(k);

k

1,2,,

n4.3

灰色关联公理与灰色关联度定义4.3.1设序列，则称为序列X所对应的折线。命题4.3.1

设系统特征行为序列X

0

为增长序列，Xi

为相关因素行为序列，则有1、

当

Xi

为增长序列时，

Xi

与

X

0

为正相关关系；为负相关关系。由于负相关序列可以通过4.1节中定义的逆化算子或倒数化算子作用转化为正相关序列，所以主要研究非负的相关关系。2、当

Xi

为衰减序列时，Xi与X

0

1)(,(nk)(x(k

1)X

x(k)

(t

1;

t

[k,

k

1]x(k)

k

1,2,,n定义4.3.2设序列则称1、

x(k)

x(k

1),k

1,2,,n,的斜率。(区别级比概念)为X在区间[k-1,k]上为X在区间[k,s]上的斜率。3、

为X的平均斜率。

1)(,(ns

k2、

x(s)

x(k),s

k;k

1,2,,n,(x(n)

x(1)),k

1,2,,

n,n

11定理4.3.1

设Xi，

c,c

为非0常数，D1Yi分别为Xi初值化算子，且

Xi

D1的初值像；i分别为Xi的平均斜率；

j

分别为Yi的平均斜率，则必有1、i=

j2、当c<0时，i<

j；当c>0时，i>

jiYj

X

j

D1

jiYj上述定理反映出序列的增殖特性，当两个增长序列的绝对值量相同时，初值小的序列的相对增长速度要高于初值大的序列，要保持相同的增长速度，初值大的序列的绝对增量必须大于初值小的序列。定义4.3.3设为系统特征序列，且));m

(2),,

xm

(n));为相关因素序列，

1)(,(

n1)(,(11112)(,

n给定实数

(x0

(k),xi

(k))，若实数满足1、规范性2、整体性对于有3、偶对称性)

=

(

X

j

,

Xi

)

X

X

i

,

X

j

nk

1

(x0

(k

),

xi

(k

))i1n0

(

X

,

X

)

0

(x0

,

x1)

1,

(X0

,

Xi

)

1

X0

Xij

sX

X

X

s

0,1,2,,

m;

m

2Xi

(

Xi

,

X

j

)

(

X

j

,

Xi

),

i

jji

(

X

,

X4、接近性越大。越小，

(x0

(k),xi

(k))则称

(X

0

,Xi

)为Xi

对X

0灰色关联四公理。的灰色关联度，以上4条称为表明系统中的任何两个行为序列

(

X

0

,

Xi

)

(0,1]都不可能是严格无关联的。整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度亦随之变化。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只有两个序列时，两两比较满足对称性。接近性是对关联度量化的约束。x0

(k

)

xi

(k

)定理4.3.2

设系统行为序列1i

(,nm

(,n1112)(,

niii

2)(,mmm2)(,0002)(,1)(,( 1)(,(

1)(,(

1)(,(0n0

ii

k0

ii

k

i

kx

(k)

x

(k)

maxmax

x

(k)

x

(k)

(x0

(k),

xi

(k))

对于

(0,1)

令min

min

x0

(k)

xi

(k)

maxmax

x0

(k)

xi

(k)nk

1

(

x0

(k

),

xi

(k

))i1n0

(

X

,

X

)

则称

(

X

0

,

Xi

)满足灰色关联四公理，其中

为分辨系数。灰色关联度的计算步骤：1、求各序列的初值像（或均值像），令i

(1)

(

i(n))i

0,1,

2,

,

m2、求差序列，记i

(k)

x0

(k)

xi(k

)i

(i

(1),

i

(2),

,

i

(n))i

0,1,

2,

,

m3、求两极最大差与最小差，记m

min

min

ii

k4、求关联系数5、计算关联度（P48例题）iM

0i

(k

)

m

M

,

(0,1)

(k

)

Mik

1,

2,

,

n;

i

1,

2,

,

m0i0ik

1n

1

(应用研究☆我国铁路货物

发展的灰色关联分析本文用灰色关联分析方法对1989～2002年我国铁路货运量的发展进行系统分析,探讨影响我国铁路货运量发展的主要因素以及各因素相对于铁路货运量发展的关联程度,以便为有关部门的决策者提供数据资料.影响我国铁路货运量发展的主要因素有:GDP、人口数量、居民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等.把铁路货运量作为母序列X0,其影响因素作为子序列例 某市道路改建有6种方案：x1--分车道，x2—快速轨道，x3—混行双层，x4—地铁，

x5—现道架设轨道，.x6—高架桥分层.各方案指标见表4-1表4-1路改方案指标功能造价拆迁费交通量车速线路标准公害安全综合系数施工难易k12345678910x18826550177002200250.510.500.332.250.8x236468802620800600.750.670.673.000.4x36233430118802000300.580.330.502.500.6x43646160495800800.700.330.833.250.2x53644760495800600.750.330.503.000.4x66225490118003500500.630.500.673.000.6以相对优化原则构造参考序列,比如，交通功能

“越大越好”，则选,工程造价“越小越好”，则选，可得

=(88,25490,495,3500,80,0.75,0.33,0.83,3.25,0.8).经计算得r(x0,x1)=0.8422,r(x0,x2)=0.8747,r(x0,x3)=0.8255,r(x0,x4)=0.8892,

r(x0,x5)=0.8716,r(x0,x6)=0.8776,关联序为r(x0,x4)>r(x0,x6)>r(x0,x2)>r(x0,x5)>r(x0,x1)>r(x0,x3)，这表明“地铁方案”最优。4.4

广义灰色关联度一、绝对灰色关联度命题4.4.1设行为序列

1)(,(记折线为则

1、当

Xi

为增长序列时，

si

02、当

Xi

为增长序列时，si

03、当

Xi

为增长序列时，si

符号不定。(

)

xi

(1),

xi

(2)

xi

(1),n,

xi

(n)

xi

(1))1Xi

xi

(1),令nsi

(

Xi

xi

(1)dt定义4.4.1设行为序列其中始点零化算子，

Xi

D

为

Xi的始点零化像，记为0

(2),

x0

(n))i

i命题4.4.2

设行为序列i

(2),,

xi

(n));

D,

xi

(n)d)为序列算子，且Xi

D

(xi

(1)d,

xi

(2)d,,n

则称D为xi

(k)d

xi

(k)

xi

(1),

k

1,

2,i

(2),(xj

(1),

xj

(2),的始点零化像分别为,

xi

(n));,

xj

(n));0

(2),iix0

(n))0

(2),jjx0

(n))令恒在 上方，恒在 下方，符号不定。定义

4.4.2称序列

Xi

各个观测数据间时距之和为

Xi

的长度。注意：长度相等的两个序列中的观测数据数量不一定相等。1iji

jn(

X

0

X

0

)dts

s

i则

1、若

X

00jis

sjis

sji2、若X

00jXX3、若

X

0

与

X

0

相交，

sii j定义4.4.3

设序列X

0

与Xi

的长度相等，则称引理

4.4.2设序列

与X

0

Xi的长度相同，且皆为1-时距，而分别为和的始i点零化像i

，则0i1

s0

si

s0为

X

0

与

Xi

的灰色绝对关联度。灰色绝对关联度满足灰色关联公理中的规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。i

(x0

(1),

x0

(2),

x0

(n))0

(2),

x0

(n))0

0X

0Xin100s0

00k

21x

(k)x

(n)21n10i0k

2(k

)

2si

ix

(n)xn10000s0

si

00k

212x

(k))

i(x

(k)

i(x

(n)

x

(n))定理

4.4.3

设序列

X

0

和

Xi

的长度相同，当他们时距不同或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相应空穴使之化成时距相等的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不变。恒不为0。或定理4.4.4

灰色绝对关联度0i

具有下列性质：1、

0

0i

1;2、

0i

只与

X

0

和Xi

的几何形状有关，而与其空间相对位置无关。3、任何两个序列都不是绝对无关的，即0i4、5、6、

当7、8、0

iX

与X

几何上的相似程度越大，0i

越大。0XX

0

与XiiX的长度变化，0i

亦变。的任一个观测数据变化，

0i

将随之变化。1100

1,0i

应用研究

☆登陆地域选择登陆

中登陆地域的选择是决定能否“登得上”的主要因一。登陆地域选择的好坏直接影响到登陆成败、战场

与 损耗的多少,以及

价值的大小等等。因此,必须在认真分析海岸区域的地理条件和敌海岸 分布情况的基础上,科学地选择登陆地域。用灰色关联理论的方法来分析登陆地域选择问题,主要是提出一种新的用以解决登陆地域选择的问题的解法,即灰色关联理论的方法。二、灰色相对关联度定义

4.4.5设序列

X0

,

XiX0,

X

i

分别为

X0

,

Xi长度相同，且初值不等于0，的初值像，则称X0,

X

i

的灰色与

Xi

的灰色相对关联度。记为

r0i绝对关联度为灰色相对关联度是序列X

0与Xi

相对于初始点的变化速率的联系的数量表征。X

0与Xi

的变化速率越接近，r0i

越大，反之越小。为长度相同且初值不等于0的序列，若（计算示例见

P58）。灰色相对关联度的性质（略）（9项）命题4.4.4

设X0

,X

0XiX

0

cXi，其中c>0为常数，则

r0i

1

。应用研究☆海洋产业