高中数学总复习-分类讨论思想介绍及专题训练附详细解析

-.z.专题复习分类讨论思想一、填空题：例1．设集合A＝{*||*|≤4}，B＝{*||*－3|≤a}，假设，则实数a的取值范围是________．例2．实数a≠0，函数，假设f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_______例3．定义在闭区间[0,3]上的函数f(*)＝k*2－2k*的最大值为3，则实数k的取值集合为________．例4．双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)*，则双曲线的离心率为．例5．假设函数f(*)＝a|*－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是______．例6．等比数列{an}的前n项和为Sn，假设a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，则a1的值为________．例7．假设直线y＝2a与函数y＝|a*－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________．例8．圆*2＋y2＝4，则经过点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．例9．假设函数在其定义域内有极值点，则a的取值为．例10．如下图，有两个一样的直三棱柱，高为eq\f(2,a)，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．例10例11．假设函数f(*)＝a＋bcos*＋csin*的图象经过点(0,1)和(,1)两点，且*∈[0,]时，|f(*)|≤2恒成立，则实数a的取值范围是_______．例12．函数f(*)＝m*2＋(m－3)*＋1的图象与*轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围是__________例13．设0＜b＜1＋a，假设关于*的不等式(*－b)2＞(a*)2的解集中的整数恰好有3个，则实数a的取值范围是________例14．数列的通项，其前n项和为Sn，则Sn＝_________．二、解答题：例15．设A＝{*|－2≤*≤a}，B＝{y|y＝2*＋3，且*∈A}，C＝{z|z＝*2，且*∈A}，假设C⊆B，求实数a的取值范围．例16．函数，a∈R．〔1〕当a≤0时，求证函数在(－∞,＋∞)上是增函数；〔2〕当a＝3时，求函数在区间[0,b](b＞0)上的最大值．例17．数列{an}满足a1＝5，a2＝5，，假设数列{an+1＋λan}是等比数列．〔1〕求数列{an}的通项公式；〔2〕求证：当k为奇数时，；〔3〕求证：．例18．,且.〔1〕当时,求在处的切线方程；〔2〕当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为)，试求的最大值；〔3〕是否存在这样的，使得当时,"假设存在,求出的取值范围；假设不存在，请说明理由．参考答案例1解析：①当a＜0时，B＝，符合题意；②当a≥0时，B≠，B＝{*|3－a≤*≤3＋a}，由得，解得0≤a≤1，综上所述a≤1．例2解析：①a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，则可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)＋2a，解得a＝－eq\f(3,2)，与a＞0矛盾，舍去；②a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，则－(1－a)＋2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－eq\f(3,4)；所以a＝－eq\f(3,4)．例3解析：f(*)＝k*2－2k*＝k(*－1)2－k，①当k＞0时，二次函数开口向上，当*＝3时，f(*)有最大值，f(3)＝3k＝3，解得k＝1；②当k＜0时，二次函数开口向下，当*＝1时，f(*)有最大值，f(1)＝－k＝3，解得k＝－3③当k＝0时，显然不成立．∴综上所述{1，－3}例4解析：当双曲线焦点，在*轴上，eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(9,16)，∴e2＝eq\f(25,16)，∴e＝eq\f(5,4)；当双曲线焦点在y轴上，eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(16,9)，∴e2＝eq\f(25,9)，∴e＝eq\f(5,3)．例5解析：①当a＞0时，需*－b恒为非负数，即a＞0，b≤0，②当a＜0时，需*－b恒为非正数．又∵*∈[0，＋∞)，∴不成立．综上所述，由①②得a＞0且b≤0．例6解析当q＝1时，S3＝3a1＝3a3＝3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,2)，符合题意，所以a1＝eq\f(3,2)；当q≠1时，S3＝eq\f(a1(1－q3),1－q)＝a1(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，又a3＝a1q2＝eq\f(3,2)得a1＝eq\f(3,2q2)，代入上式，得eq\f(3,2q2)(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，即eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)－2＝0，解得eq\f(1,q)＝－2或eq\f(1,q)＝1(舍去)．因为q＝－eq\f(1,2)，所以a1＝eq\f(3,2×(－\f(1,2))2)＝6，综上可得a1＝eq\f(3,2)或6.例7解析分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，画出图象，由图象知a应满足的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,0<2a<1))⇒0＜a＜eq\f(1,2)．例8解析：①当斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(*－2)，即k*－y－2k＋4＝0，假设直线与圆相切，则，解得k＝eq\f(3,4)，所以切线方程是3*－4y＋10＝0；②当斜率不存在时，易得切线方程是*＝2．例9解析即f(*)＝(a－1)*2＋a*－＝0有解，①当a－1＝0时，满足题意；②当a－1≠0时，只需Δ＝a2－(a－1)＞0，解得；综上所述，a的取值范围是或a＝1．例10解析：先考察拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：S1＝2×eq\f(1,2)×4a×3a＋(3a＋4a＋5a)×eq\f(4,a)＝12a2＋48；再考察拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积：例10图①假设AC＝5a，AB＝4a，BC＝3a，则四棱柱的全面积S2＝2×4a×3a＋2(3a＋4a)×eq\f(2,a)＝24a2＋28；②假设AC＝4a，AB＝3a，BC＝5a，则四棱柱的全面积S2＝2×4a×3a＋2(3a＋5a)×eq\f(2,a)＝24a2＋32；③假设AC＝3a，AB＝5a，BC＝4a，则四棱柱的全面积S2＝2×4a×3a＋2(4a＋5a)×eq\f(2,a)＝24a2＋36；又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a2＋28＜12a2＋48⇒12a2＜20⇒0＜a＜eq\f(\r(15),3)．综上所述，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(15),3)))．例11解析：由f(0)＝a＋b＝1，f()＝a＋c＝1，得b＝c＝1－a，f(*)＝a＋(1－a)(sin*＋cos*)＝a＋eq\r(2)(1－a)sin(*＋)，∵，①当a≤1时，1≤f(*)≤a＋eq\r(2)(1－a)，∵|f(*)|≤2，∴只要a＋eq\r(2)(1－a)≤2解得a≥－eq\r(2)，∴－eq\r(2)≤a≤1；②当a＞1时，a＋eq\r(2)(1－a)≤f(*)≤1，∴只要a＋eq\r(2)(1－a)≥－2，解得a≤4＋3eq\r(2),∴1＜a≤4＋3eq\r(2)，综合①,②知实数a的取值范围为[－eq\r(2)，4＋3eq\r(2)]．例12解析：①当m＝0时，f(*)＝1－3*，其图象与*轴的交点为(eq\f(1,3),0)，满足题意；②当m＞0时，由题意得，解得0＜m≤1；③当m＜0时，由题意得，解得m＜0；所以m的取值范围是m≤1例13解析：原不等式化为[(1－a)*－b][(1＋a)*－b]＞0，①当a≤1时，易得不合题意；②当a＞1时，－eq\f(b,a－1)＜*＜eq\f(b,a＋1)，由题意0＜eq\f(b,a＋1)＜1，要使不等式解集中恰好有3个整数，则－3≤－eq\f(b,a－1)＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3，结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，∴a＜3，从而有1＜a＜3．例14解析：因为，所以{}是以3为周期的数列，因此，在数列求和时应分三类进展讨论：①当，时，；②当时，；③当时，综上所述，()例15解∵y＝2*＋3在[－2，a]上是增函数，∴－1≤y≤2a＋3，即B＝{y|－1≤y≤2a＋3}．作出z＝*2的图象，该函数定义域右端点*＝a有三种不同的位置情况如下：①当－2≤a＜0时，a2≤z≤4，即C＝{z|a2≤z≤4}，要使C⊆B，由图1可知，则必须2a＋3≥4，得a≥eq\f(1,2)，这与－2≤a＜0矛盾．②当0≤a≤2时，0≤z≤4，即C＝{z|0≤z≤4}，要使C⊆B，由图2可知，必须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋3≥4，,0≤a≤2，))解得eq\f(1,2)≤a≤2；③当a＞2时，0≤z≤a2，即C＝{z|0≤z≤a2}，要使C⊆B，由图3可知，必须且只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤2a＋3，,a＞2，))解得2＜a≤3；④当a＜－2时，A＝，此时B＝C＝，则C⊆B成立．综上所述，a的取值范围是(－∞，－2)∪[eq\f(1,2)，3]．例16解：〔1〕∵a≤0，∴*2－a≥0，∴f(*)＝*(*2－a)＝*3－a*，f(*)＝3*2－a，∵f(*)≥0对*∈R成立，∴函数f(*)在(－∞，＋∞)上是增函数．〔2〕解：当a＝3时，f(*)＝*|*2－3|＝eq\b\lc\{(\a\al(3*－*3，当－eq\r(3)＜*＜eq\r(3)，,*3－3*，当*≤－eq\r(3)，或*≥eq\r(3)．))〔i〕当*＜－eq\r(3)，或*＞eq\r(3)时，f(*)＝3*2－3＝3(*－1)(*＋1)＞0．〔ii〕当－eq\r(3)＜*＜eq\r(3)时，f(*)＝3－3*2＝－3(*－1)(*＋1)．当－1＜*＜1时，f(*)＞0；当－eq\r(3)＜*＜－1，或1＜*＜eq\r(3)时，f(*)＜0．所以f(*)的单调递增区间是(－∞，－eq\r(3)]，[－1，1]，[eq\r(3)，＋∞)；f(*)的单调递减区间是[－eq\r(3)，－1]，[1，eq\r(3)]．由区间的定义可知，b＞0．①假设0＜b≤1时，则[0，b][－1，1]，因此函数f(*)在[0，b]上是增函数，∴当*＝b时，f(*)有最大值f(b)＝3b－b3．②假设1＜b≤eq\r(3)时，f(*)＝3*－*3在[0，1]上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在*＝1时取到极大值f(1)＝2，并且该极大值就是函数f(*)在区间[0，b]上的最大值．∴当*＝1时，f(*)有最大值2．③假设b＞eq\r(3)时，当*∈[0，eq\r(3)]时，f(*)＝3*－*3在[0，1]上单调递增，在[1，eq\r(3)]上单调递减，因此，在*＝1时取到极大值f(1)＝2，在*∈[eq\r(3)，b]时，f(*)＝*3－3*在[eq\r(3)，b]上单调递增，在*＝b时，f(*)有最大值f(b)＝b3－3b．〔i〕当f(1)≥f(b)，即2≥b3－3b，b3－b－2b－2≤0，b(b2－1)－2(b＋1)≤0，(b＋1)2(b－2)≤0，b≤2．∴当eq\r(3)＜b≤2时，在*＝1时，f(*)取到最大值f(1)＝2．〔ii〕当f(1)＜f(b)，解得b＞2，∴当b＞2时，f(*)在*＝b时，取到最大值f(b)＝b3－3b．综上所述，函数y＝f(*)在区间[0，b]上的最大值为yma*＝eq\b\lc\{(\a\al(3b－b3，0＜b≤1,2，1＜b≤2，,b3－3b，b＞2．))例17解：〔1〕∵数列{an+1＋λan}是等比数列，∴为常数，∴，解得或．当时，数列{an+1＋2an}是首项为15，公比为3的等比数列，则①，当时，数列{an+1－3an}是首项为－10，公比为－2的等比数列，则②，∴①－②得：；〔2〕当k为奇数时，,∴；〔3〕由〔2〕知k为奇数时，，①当n为偶数时，；②当n为奇数时，；∴．例18解:〔1〕当时,