人教版高中数学必修4课后习题答案详解

.z.第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及根本概念练习〔P77〕1、略.2、，.这两个向量的长度相等，但它们不等.3、，，，.4、〔1〕它们的终点一样；〔2〕它们的终点不同.习题2.1A组〔P77〕1、〔2〕.3、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：.4、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：5、.6、〔1〕×；〔2〕√；〔3〕√；〔4〕×.习题2.1B组〔P78〕1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对.模为1的向量有18对.其中与同向的共有6对，与反向的也有6对；与同向的共有3对，与反向的也有6对；模为的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习〔P84〕1、图略.2、图略.3、〔1〕；〔2〕.4、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.练习〔P87〕1、图略.2、，，，，.3、图略.练习〔P90〕1、图略.2、，.说明：此题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案.值得注意的是与反向.3、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.4、〔1〕共线；〔2〕共线.5、〔1〕；〔2〕；〔3〕.6、图略.习题2.2A组〔P91〕1、〔1〕向东走20km；〔2〕向东走5km；〔3〕向东北走km；〔4〕向西南走km；〔5〕向西北走km；〔6〕向东南走km.2、飞机飞行的路程为700km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500km.3、解：如右图所示：表示船速，表示河水的流速，以、为邻边作□，则表示船实际航行的速度.在Rt△ABC中，，，所以因为，由计算器得所以，实际航行的速度是，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕.5、略6、不一定构成三角形.说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，假设三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、〔1〕略；〔2〕当时，9、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.〔第11题〕10、，，.〔第11题〕11、如下图，，，，.〔第12题〕12、，，，，〔第12题〕，，.13、证明：在中，分别是的中点，〔第13题〕所以且，〔第13题〕即；同理，，所以.习题2.2B组〔P92〕〔第1题〕1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.〔第1题〕2、不一定相等，可以验证在不共线时它们不相等.3、证明：因为，而，，所以.4、〔1〕四边形为平行四边形，证略〔第4题(2)〕〔2〕四边形为梯形.〔第4题(2)〕证明：∵，∴且∴四边形为梯形.〔3〕四边形为菱形.〔第4题(3)〕证明：∵，〔第4题(3)〕∴且∴四边形为平行四边形又〔第5题〕∴四边形为菱形.〔第5题〕5、〔1〕通过作图可以发现四边形为平行四边形.证明：因为，而所以所以，即∥.因此，四边形为平行四边形.2．3平面向量的根本定理及坐标表示练习〔P100〕1、〔1〕，；〔2〕，；〔3〕，；〔4〕，.2、，.3、〔1〕，；〔2〕，；〔3〕，；〔4〕，4、∥.证明：，，所以.所以∥.5、〔1〕；〔2〕；〔3〕.6、或7、解：设，由点在线段的延长线上，且，得，∴∴∴，所以点的坐标为.习题2.3A组〔P101〕1、〔1〕；〔2〕；〔3〕.说明：解题时可设，利用向量坐标的定义解题.2、3、解法一：，而，.所以点的坐标为.解法二：设，则，由可得，，解得点的坐标为.4、解：，.，，.，所以，点的坐标为；，所以，点的坐标为；，所以，点的坐标为.5、由向量共线得，所以，解得.6、，，，所以与共线.7、，所以点的坐标为；，所以点的坐标为；故习题2.3B组〔P101〕1、，.当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.2、〔1〕因为，，所以，所以、、三点共线；〔2〕因为，，所以，所以、、三点共线；〔3〕因为，，所以，所以、、三点共线.3、证明：假设，则由，得.所以是共线向量，与是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，.同理.综上.4、〔1〕.〔2〕对于任意向量，都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习〔P106〕1、.2、当时，为钝角三角形；当时，为直角三角形.3、投影分别为，0，.图略练习〔P107〕1、，，.2、，，，.3、，，，.习题2.4A组〔P108〕1、，，.2、与的夹角为120°，.3、，.4、证法一：设与的夹角为.〔1〕当时，等式显然成立；〔2〕当时，与，与的夹角都为，所以所以；〔3〕当时，与，与的夹角都为，则所以；综上所述，等式成立.证法二：设，，则所以；5、〔1〕直角三角形，为直角.证明：∵，∴∴，为直角，为直角三角形〔2〕直角三角形，为直角证明：∵，∴∴，为直角，为直角三角形〔3〕直角三角形，为直角证明：∵，∴∴，为直角，为直角三角形6、.7、.，于是可得，，所以.8、，.9、证明：∵，，∴，∴为顶点的四边形是矩形.10、解：设，则，解得，或.于是或.11、解：设与垂直的单位向量，则，解得或.于是或.习题2.4B组〔P108〕1、证法一：证法二：设，，.先证，由得，即而，所以再证由得，即，因此2、.3、证明：构造向量，.，所以∴〔第4题〕4、的值只与弦的长有关，与圆的半径无关.〔第4题〕证明：取的中点，连接，则，又，而所以5、〔1〕勾股定理：中，，则证明：∵∴.由，有，于是∴〔2〕菱形中，求证：证明：∵，∴.∵四边形为菱形，∴，所以∴，所以〔3〕长方形中，求证：证明：∵四边形为长方形，所以，所以∴.∴，所以，所以〔4〕正方形的对角线垂直平分.综合以上〔2〕〔3〕的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5A组〔P113〕1、解：设，则，由得，即〔第2题〕代入直线的方程得.所以，点的轨迹方程为.〔第2题〕2、解：〔1〕易知，∽，,所以.〔2〕因为所以，因此三点共线，而且〔第4题〕同理可知：，所以〔第4题〕3、解：〔1〕；〔2〕在方向上的投影为.4、解：设，的合力为，与的夹角为，则，；，与的夹角为150°.习题2.5B组〔P113〕1、解：设在水平方向的速度大小为，竖直方向的速度的大小为，则，.设在时刻时的上升高度为，抛掷距离为，则所以，最大高度为，最大投掷距离为.2、解：设与的夹角为，合速度为，与的夹角为，行驶距离为.则，.∴.所以当，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、〔1〕解：设，则..将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到，于是所以，解得〔2〕解：设曲线上任一点的坐标为，绕逆时针旋转后，点的坐标为则，即又因为，所以，化简得第二章复习参考题A组〔P118〕1、〔1〕√；〔2〕√；〔3〕×；〔4〕×.2、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.〔第4题〕3、，〔第4题〕4、略解：，，，5、〔1〕，；〔2〕，；〔3〕.6、与共线.证明：因为，，所以.所以与共线.7、.8、.9、.10、11、证明：，所以.12、.13、，.14、第二章复习参考题B组〔P119〕1、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕.2、证明：先证.，.因为，所以，于是.再证.由于，由可得，于是〔第3题〕所以.【几何意义是矩形的两条对角线相等】〔第3题〕3、证明：先证又，所以，所以再证.由得，即所以【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如下图】〔第5题〕4、，〔第5题〕而，，所以5、证明：如下图，，由于，所以，所以所以，同理可得所以，同理可得，，所以为正三角形.〔第6题〕6、连接.〔第6题〕由对称性可知，是的中位线，.7、〔1〕实际前进速度大小为〔千米／时〕，沿与水流方向成60°的方向前进；〔2〕实际前进速度大小为千米／时，沿与水流方向成的方向前进.8、解：因为，所以，所以同理，，，所以点是的垂心.9、〔1〕；〔2〕垂直；〔3〕当时，∥；当时，，夹角的余弦；〔4〕第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习〔P127〕1、..2、解：由，得；所以.3、解：由，是第二象限角，得；所以.4、解：由，得；又由，得.所以.练习〔P131〕1、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.2、解：由，得；所以.3、解：由，是第三象限角，得；所以.4、解：.5、〔1〕1；〔2〕；〔3〕1；〔4〕；〔5〕原式=；〔6〕原式=.6、〔1〕原式=；〔2〕原式=；〔3〕原式=；〔4〕原式=.7、解：由得，即，所以.又是第三象限角，于是.因此.练习〔P135〕1、解：因为，所以又由，得，所以2、解：由，得，所以所以3、解：由且可得，又由，得，所以.4、解：由，得.所以，所以5、〔1〕；〔2〕；〔3〕原式=；〔4〕原式=.习题3.1A组〔P137〕1、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.2、解：由，得，所以.3、解：由，得，又由，得，所以.4、解：由，是锐角，得因为是锐角，所以，又因为，所以所以5、解：由，得又由，得所以6、〔1〕；〔2〕；〔3〕.7、解：由，得.又由，是第三象限角，得.所以8、解：∵且为的内角∴，当时，，不合题意，舍去∴∴9、解：由，得.∴.∴..10、解：∵是的两个实数根.∴，.∴.11、解：∵∴〔第12题〕12、解：∵〔第12题〕∴∴又∵，∴13、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕；〔9〕；〔10〕.14、解：由，得∴15、解：由，得∴16、解：设，且，所以.∴17、解：，.18、解：，即又，所以∴∴19、〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.习题3.1B组〔P138〕1、略.2、解：∵是的方程，即的两个实根∴，∴由于，所以.3、反响一般的规律的等式是〔表述形式不唯一〕〔证明略〕此题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：，其中，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子构造形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳.对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为，则即所以3．2简单的三角恒等变换练习〔P142〕1、略.2、略.3、略.4、〔1〕.最小正周期为，递增区间为，最大值为；〔2〕.最小正周期为，递增区间为，最大值为3；〔3〕.最小正周期为，递增区间为，最大值为2.习题3.2A组〔P143〕1、〔1〕略；〔2〕提示：左式通分后分子分母同乘以2；〔3〕略；〔4〕提示：用代替1，用代替；〔5〕略；〔6〕提示：用代替；〔7〕提示：用代替，用代替；〔8〕略.2、由可有……①，……②〔1〕②×3－①×2可得〔2〕把〔1〕所得的两边同除以得注意：这里隐含与①、②之中3、由可解得.于是∴4、由可解得，，于是.5、，最小正周期是，递减区间为.习题3.2B组〔P143〕1、略.2、由于，所以即，得3、设存在锐角使，所以，，又，又因为，所以由此可解得，，所以.经检验，是符合题意的两锐角.〔第4题〕4、线段的中点的坐标为.过作垂直于轴，交轴于，.〔第4题〕在中，.在中，，.于是有，5、当时，；当时，，此时有；当时，，此时有；由此猜测，当时，6、〔1〕，其中所以，的最大值为5，最小值为﹣5；〔2〕，其中所以，的最大值为，最小值为；第三章复习参考题A组〔P146〕1、.提示：2、.提示：3、1.4、〔1〕提示：把公式变形；〔2〕；〔3〕2；〔4〕.提示：利用〔1〕的恒等式.5、〔1〕原式=；〔2〕原式==；〔3〕原式==；〔4〕原式=6、〔1〕；〔2〕；〔3〕.提示：；〔4〕.7、由可求得，，于是.8