微积分,多元函数微分学

－理学院公共数学教学中心－第七章

多元函

数微

分学

教学内容和基本要求理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求

求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。1.

F(x,y)

0

情况一、一个方程的情形问题：若x

x

,y

y

满足F

(x,y)

0方程，即点0

00

0

0P

(x

,y

)在方程F

(x,y)

0所对应的曲线上，那么(决定一元隐函数y

=f(x))§7.5

隐函数的微分法在什么条件下此方程在x0

附近确定一个可导的一元函数

y

f

(

x)，且

y

f

(

x

)

？0

0看下面的推导及应具备的条件:(1)若F(x,y)有连续的偏导,则F(

x,

y)

0

dF(

x,

y)

0

Fxdx

Fydy

0

;

dy

Fxdx

Fy这就是一元隐函数求导公式,(1)和(2)就是此公式成立的条件,略去

的严格数学证明,仅以定理的形式概括如下:若再有Fy

x0

y0

在

x0

y0

)

点(,0附(近),(Fy

x

y

)0,)则,(

一元隐函数的求导公式F

(

x,

y)

0则方程

F

(

x,

y)

0在P

(

x

,

y

)0

0

0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的一元函数

y

f

(

x)，它满足条件y0

f

(x0

)，并有F(x,y)

=

0XY0xP0

(

x0

,

y0

)aby

=f(x)内具有连续的偏导数，且:设函数F

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)的某一邻域F

(

x0

,

y0

)

0

Fy

(

x0

,

y0

)

0定理dy

F

xdx

Fy例１验证方程x

2

y2

1

0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个可导、且x

0

时y

1的隐函数y

f

(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x

0的值.解令F(

x,

y)

x2

y2

1,则Fx

2x,

Fy

2

y,Fx

(0,1)

0,

Fy

(0,1)

2

0,方程

x

2

y2

1

0

在点

(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x

0时

y

1的函数

y

f

(

x)．Y(0,

1)X1

x2y

f

(

x)

dy

Fxdx

Fy

y

x

,

0,dx

x0dyy2dx2d

2

y y

xy

y2

y

y

x

x

,1y3

1.x0dx2d

2

yF(

x,

y)

x2

y2

1

y

f

(

x)

:函数的一阶和二阶导数为:xx2例

2

已知

ln

y2

arctan

y

，求dxdy.,

则yxx2解

令

F

(

x,

y)

ln

y2

arctanx2x

y2x2y

y2y

x

,F

(

x,

y)

x

y

,

F

(

x,

y)

dy

Fxdx

Fyy

x

x

y

.若函数F(x,

y)

有连续的二阶偏导数，则可求出由方程

F(x,

y) =0

确定的隐函数

y

=

f(x)

的二阶导数:yyx

yyxy

yx

yxxx

yF

2F(F

F

F

)(

Fx

)F

F

F

)

(F

F

.yy

xxx

y

xy

x

yF

3FF

2F

2

2F

F

F

F

y注:

不要求直接应用此公式.yxxyyF

2dxdydy(

Fdx

2

dx

F2

yd

d

FyyFF

F

)

x

)(偏导数

而且F

(

)

0则下列运算可行:若函数F

(x,y,z)有连续的2.

F(

x,

y,

z)

0F(

x,

y,

z)

0

dF(

x,

y,

z)

0

F

dx

F

dy

F

dz

0x

y

z

dz

(

Fx

)dx

(

Fy

)dyFz

Fzzzy

Fx

Fz

Fx

z

Fy,二元隐函数的求导公式情况(决定二元隐函数z

=f(x,y))F

(

x,

y,

z)

02

2

z例

3

设x

2

y2

z

4z

0，求

.x

2解

令

F

(

x,

y,

z)

x2

y2

z2

4z,

则Fx

2x,

Fz

2z

4,,zz

Fx

xx

F

2

zx2

2(2

z)2(2

z)

x

zz

x(2

z)22

z(2

z)

x

x

.(2

z)3

(2

z)2

x2例4

设z

f

(

x

y

z,

xyz)，z

x

y求

，

，

.x

y

zx思路：把z

看成x,y

的函数,对x求偏导数得z

;y把x看成z,

y

的函数,

对

y

求偏导数得xz把y

看成x,z的函数,对z

求偏导数得y

.解x1

2x

xz

f

(1

z

)

f

(

yz

xy

z

),x;f1

yz

f21

f1

xy

f2整理得

z

整理得f1

yz

f2yx

f1

xz

f2

;把y

看成x,z的函数,对z

求偏导数得1

2z

z1

f

(y

1)

f

(

xy

xz

y

),整理得zf1

xz

f2y

1

f1

xy

f2

.把x看成z,y的函数,对y

求偏导数得1

2y

y0

f

(x

1)

f

(

xz

yz

x

),原题

z

f

(x

y

z,

xyz)

f

(u,v)yzzx另解

z

f

(

x

y

z,

xyz)

1

2dz

df

(

x

y

z,

xyz)

f

d(

x

y

z)

f

d(

xyz)

f1dx

f1dy

f1dz

f2yzdx

f2xzdy

f2xydz

(

f

f

yz)dx

(

f

f

xz)dy

(

f

f

xy)dz1

2

1

2

1

2dx

1

2

dy211

2f

f

xz1

f

f

xy1

2

1

f

f

xyf

f

yzdz

原题

z

f

(x

y

z,

xyz)G(

x,

y,

u,v)

0问题:上述方程组中视x,y,为常数,视u,

v

为未知数,v

v(

x,

y)理论上有解

u

u(

x,

y)

;

那么在什么条件下

u,

v作为x,y

的二元函数存在偏导?对此,

不做理论证明,

仅用下面两个例子说明运算原理,

其过程就 推导过程.二、方程组的情形F

(x,y,u,v)

0例5

yu

xv

1设

xu

yv

0,u

u

v

v求 x

，

y

，x

和 y

.

ydu

xdv

vdx

udy解

原理:

利用形式微分做如下的运算du

dx

dy

u

,

u

x

ydv

dx

dy

v

,

v

x

yxu

yv

0

udx

xdu

vdy

ydv

0yu

xv

1

udy

ydu

vdx

xdv

0

xdu

ydv

udx

vdy

ydu

xdv

vdx

udy

xdu

ydv

udx

vdy

udx

vdy

yxdu

vdx

udyx2x

y2u

xu

yv

,x

2y

y2u

xv

yu;x

2

x

2

y2

y2

xu

yv

dx

xv

yu

dyx

2

y2x

yy

x

(udx

vdy)

x

y(vdx

udy)x

2y

y2v

xu

yv

.x

2

x

2

y

2

y

2x

yy

x

vdx

udy

yu

xv

dx

xu

yv

dyx

udx

vdydv

yx

2

yxv

ydu

xdv

vdx

udy

xdu

ydv

udx

vdy

例6

用线性变换

u

=

x

+

t

,

v

=

x

–

t

变换方程

2

z

2

zt

2

x

2(

视

z为x,

t

的函数：z

z(

x,

t

)

);

2

z

2

z

2

zu2

2

uv

v

2解

将

u,

v

看作中间变量，x,

t

看作自变量有z

z

u

z

v

z

z

,x

u

x

v

x

u

v

2

z

2

z

u

2

z

v

2

z

u

2

z

vx

2

(u2

x

uv

x

)

(vu

x

v

2

x

)z

z

u

z

v

z

z

,.

2

z

2

zu2

2

uv

v

2

2

z

uv

tt

t

u

t

2

z

2

z

ut

2

(u2

t,

再化简有x

2代入所给方程t

2

2

z

2

z4

uv

0

,

2

zuv

0

.

2

z即;

2

z

2

z

2

uv

v

2vu

t

v

tx2

u2

2

z

2

z特例

设u

f

(

x,

y)

有连续的二阶偏导,

且

x

r

cr

y

r

sin

,

试用

r,

,u及uu

u表示

x

和

y

.解x

r

x

xu

u

r

u

,

u

u

r

u

.由于

y

r

sin

x

r

cos

r

r(

x,

y)

(x,y),

故可视

r