概率论-概率第四章第2节

例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？

a

甲仪器测量结果

a

乙仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门

同时向一目标射击10发弹，其落点距目标的位置如图：甲

射击结果你认为哪门乙

射击结果射击效果好一些呢?乙因为乙

的弹着点较集中在中心附近.

中

心中心为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随量取值在其均值附近的离散程度.这个数字特征就是这一讲要介绍的方差一、定义设X是一个随量，若E[(X-E(X)]2存在，则称D(X)=E[X-E(X)]2

(1)为X的方差.方差的算术平方根

D(

X

)

称为标准差由于标准差与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.若方差D(X)=0,则r.v

X

以概率1取常数值.量的取值对于其数学方差刻划了随期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较小；若X的取值比较分散，则方差较大.D(X)=E[X-E(X)]2X为离散型，P(X=x

)=pk

k量X的函数由定义知，方差是随g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.

2[

x

E(

X

)]2

f

(

x)dx,D(

X

)

kk

1k[

xk

E(

X

)]

p

,X为连续型，X~f(x)二、计算方差的一个简化公式展开D(X)=E(X

2)-[E(X)]2证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X

2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X

2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X

2)-[E(X)]2利用期望性质三、常见分布的方差1．（0-1）分布Xp0

11

p

p或

D(X

)

E(X

2

)

[E(X

)]2D(X

)

E{[

X

(0

p)2

(1

p)

(1

p)2

p

p(1

p)

p

p2

p(1

p)2．二项分布：X

~

b(n,

p)D(

X

)

np(1

p)现仅给出结论，后面介绍完性质后再证明3．泊松分布：X

~

()k

P{X

k}

e(k

0,1,2,)k

0k!E(

X

2

)

k

2

k!ke

k

1

(k

2)!

k

1

(k

1)!k

1

e

keE(

X

)k

1(k

1)!

(k

11)

ke

e

2

e

e

e

2

D(

X

)

2

2

4．均匀分布：X

~

U

(a,b),

0 ,

other,

a

x

bf

(x)

1ba2a

bE(

X

)

2E(

X

)

123

D(

X

)

(b

a)2

a

ab

b2

2x f

(x)dx25．指数分布：

X

~

E(

)01,

x

0,

x

0

ef

(x)

x

0,E(

X

)

0

x1

x2e

dx02t

e

dt2

t

D(X

)

2x2

f

(x)dx

E(

X

2

)

0t

x

ttetdt

分部226．正态分布：X

~

N

(,

2

)12

22(

x

)2ef

(x)

x

DX

EX

EX

2

x

2

f

xdxx

t

22

2

x

2x

e

dx

1

2t22

dt

2

2t2

2

te2

2

e

0

2

1

2t

de22

dt

t

2

e

t

2

t

22

22

2四、方差的性质1.设C是常数,则D(C)=0;n

n若C是常数,则D(CX)=C2

D(若X1与X2

独立，则D(X1+X2)=

D(X1)+D(X2);可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则D[

Xi

]

D(

Xi

)ni1n2i1

i

i

i

ii1

i1C D(

X

)C

X

]

D[X1与X2不独立时，不成立4.D(X)=0

P(X=C)=1，这里C=E(X)xCP(X=

x)1下面用一例说明方差性质的应用.例1

二项分布的方差设X~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.i若设

X

1则如第i次试验成功i=1,2，…，n0

如第i次试验失败n次试验中“成功”的次数nX

X是ii1E(Xi)=P(Xi=1)=

p,

E(Xi2)=

p,故

D(Xi)=

E(Xi2)-[E(Xi)]2

=

p-

p2=

p(1-

p)于是D(Xi)=

E(Xi2)-[E(Xi)]2

=

p-

p2=

p(1-

p)i=1,2，…，n由于X1,X2,…,Xn相互独立nD(

X

)

D(

Xi

)i1=

np(1-

p)五、切

不等式设随

量X有期望E(X)和方差

，2

则对于任给

>0,或由切

不等式可以看出，若

越2小，则事件{|X-E(X)|<

}的概率越大，即随

量X集中在期望附近的可能性越大.

2P{|

X

E(

X

)

|

}

1

2

2

2P{|

X

E(

X

)

|

}

当方差已知时，切

不等式给出了r.vX与它的期望的偏差不小于

的概率的估计式

.

如取

3

2

2P{|

X

E(

X

)

|

}

0.111

29

2P{|

X

E(

X

)

|

3

}

可见，对任给的分布，只要期望和方差

2存在，则r.v

X取值偏离E(X)超过3

的概率小于0.111.例1

已知正常

成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700

.利用切

不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率

.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为

P(5200

X

9400)P(5200

X

9400)(2100)2D(

X

)=P(5200-7300

X-7300

9400-7300)=

P(-2100

X-E(X)

2100)=

P{

|X-E(X)|

2