高中数学(人教版)第二章数列极限数列极限的概念课件_第1页
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文档简介

一、数列的定义

数列极限是整个数学分析最重要的基础之一,它不仅与函数极限密切相关，而且为今后学习级数理论提供了极为丰富的准备知识.§1数列极限的概念数学分析第二章数列极限二、一个经典的例子六、一些例子五、再论“-

N”定义四、按定义验证极限三、收敛数列的定义*点击以上标题可直接前往对应内容为数列.则称若函数f的定义域为全体正整数的集合或简记为{an}.这里

an所以我们也将数列写成称为数列

{an}的通项.数列的定义因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,后退前进目录退出数列的定义一个经典的例子无限制地进行下去.我们把每天截下部分(或剩下部分)的长度列出：第一天截下

第二天截下第n天截下这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用了一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程可以它的意思是:一个经典的例子随着n的无限增大而无限趋于0.若

不收敛,则称为发散数列.注定义1这种陈述方式，通常称为“-

N”定义.收敛数列的定义按定义验证极限以说明.例1用定义验证:分析对于任意正数要使只要证对于任意>0,所以为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加有按定义验证极限例2用定义验证分析

对于任意的正数

,只要所以证要使

即可.按定义验证极限只要即可.例3用定义验证分析故要使成立,注意解这个不等式是在的条件下进行的.按定义验证极限所以例4用定义验证因此证得证这里只验证的情形（时自证）.故对于任意正数有按定义验证极限可以用(K为某一正常数)来代替.定义1,均可看作任意正数,再有,我们还可以限定小于某一个正数<1).此外，又因是任意正数,所以故定义1中的不等式(比如事实上,对0<<1若能验证{an

}满足那么对1

自然也可以验证成立.再论“-

N”定义3.极限的几何意义示当n>N时,

从几何上看,,实际上就是时有所有下标大于N的an

全都落在邻域之内，而在之外,{an

}至多只有有限项(N项).反过来,如果对于任意正数,落在

之外至多只有有限项,设这些项的最大下标为N,这就表以上是定义1的等价说法,写成定义就是:再论“-

N”定义定义2{an}的有限多项,{an}不以a为极限的定义也可陈述为:之外有{an}中的无限{an

}不以任何实数a为极限.任给,若在

之外至多只有注{an

}无极限（即发散）的等价定义为:则称数列{an}收敛于a.这样,存在再论“-

N”定义多项.定理2.1定义2以下定理显然成立,请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列再论“-

N”定义定义3再论“-

N”定义一些例子为了更好地理解定义,再举一些例题.例5证明发散.

a为极限.又因a是任意的,所以发散.证对于任意实数a,取之外有无限多所以由定义1',不以个偶数项（奇数项）.满足一些例子证我们用两种方法来证明.例7证明1)任给正数有项都能使不等式成立即可.注这里我们将N取为正数,而非正整数.N只是表示某个时刻,实际上保证从这

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