复变函数期末考试复习题及答案详解

.z.《复变函数》考试试题（一）__________.（为自然数）2._________.3.函数的周期为___________.4.设，则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若，则______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：1.设，求在内的罗朗展式.2.3.设，其中，试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，则它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）二.填空题.(20分)1.设，则2.设，则________.3._________.（为自然数）4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设，则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二.填空题.(20分)1.设，则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若，则__________.4.___________.5._________.（为自然数）6.幂级数的收敛半径为__________.7.设，则f(z)的孤立奇点有__________.8.设，则.9.若是的极点，则.10..三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分：，其中是.4.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，则它在内为常数.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。《复变函数》考试试题（四）二.填空题.(20分)1.设，则.2.若，则______________.3.函数ez的周期为__________.4.函数的幂级数展开式为__________5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.6.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.7.设，则.8.的孤立奇点为________.9.若是的极点，则.10._____________.三.计算题.(40分)1.解方程.2.设，求3..4.函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.(20分)证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2.证明方程在内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）二.填空题.（20分）1.设，则.2.当时，为实数.3.设，则.4.的周期为___.5.设，则.6..7.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。8.函数的幂级数展开式为_________.9.的孤立奇点为________.10.设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）三.计算题.(40分)1.求复数的实部与虚部.2.计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.求积分：，其中0<a<1.应用儒歇定理求方程，在|z|<1内根的个数，在这里在上解析，并且.四.证明题.(20分)1.证明函数除去在外，处处不可微.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题（六）填空题（20分）若，则___________.设，则的定义域为____________________________.函数的周期为_______________________._______________________.幂级数的收敛半径为________________.若是的阶零点且，则是的____________零点.若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.函数的不解析点之集为__________.方程在单位圆内的零点个数为___________.公式称为_____________________.计算题（30分）1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.证明题（20分）方程在单位圆内的根的个数为6.若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.若是的阶零点，则是的阶极点.６．计算下列积分．（８分）(1)；(2)．７．计算积分．（６分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）(1)；(2)．９．设为复平面上的解析函数，试确定，，的值．（６分）三、证明题．１．设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数．（５分）２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分）试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题（一）参考答案二．填空题1.；2.1；3.，；4.；5.16.整函数；7.；8.；9.0；10..三．计算题.1.解因为所以.2.解因为,.所以.3.解令,则它在平面解析,由柯西公式有在,.所以.4.解令,则.故,.四.证明题.1.证明设在.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入(2)则上述方程组变为.消去得,.若,则为常数.若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(为常数).所以为常数.2.证明的支点为.于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在的幅角为,故.《复变函数》考试试题（二）参考答案二.填空题1.1，，；2.；3.；4.1；5..6.，.7.0；8.；9.；10.0.三.计算题1.解.2.解令.则.又因为在正实轴去正实值，所以.所以.3.单位圆的右半圆周为,.所以.4.解=0.四.证明题.1.证明(必要性)令,则.(为实常数).令.则.即满足,且连续,故在内解析.(充分性)令,则,因为与在内解析,所以,且.比较等式两边得.从而在均为常数,故在内为常数.2.即要证"任一次方程有且只有个根”.证明令,取,当在上时,有..由儒歇定理知在圆,方程与有相同个数的根.而在内有一个重根.因此次方程在内有个根.《复变函数》考试试题（三）参考答案二.填空题.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10..三.计算题.1.解.2.解.所以收敛半径为.3.解令,则.故原式.4.解令,.则在上均解析,且,故由儒歇定理有.即在,方程只有一个根.四.证明题.1.证明证明设在.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入(2)则上述方程组变为.消去得,.1),则为常数.若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(为常数).所以为常数.2.证明取,则对一切正整数时,.于是由的任意性知对一切均有.故,即是一个至多次多项式或常数.《复变函数》考试试题（四）参考答案.二.填空题.1.,;2.;3.;4.;5.整函数;6.亚纯函数;7.0;8.;9.;10..三.计算题.1.2.解,.故原式.3.解原式.4.解=，令，得，而为可去奇点当时，而为一阶极点.四.证明题.1.证明设,在下半平面内任取一点,是下半平面内异于的点,考虑.而,在上半平面内,已知在上半平面解析,因此,从而在下半平面内解析.2.证明令,,则与在全平面解析,且在上,,故在.在上,,故在.所以在内仅有三个零点,即原方程在内仅有三个根.《复变函数》考试试题（五）参考答案一.判断题.1．√２．√３．×４．√５．×6．×７．×８．√９．√10．√.二.填空题.1.2,,;2.;3.,;4.;5.0;6.0;7.亚纯函数;8.;9.0;10..三.计算题.1.解令,则.故,.2.解连接原点及的直线段的参数方程为,故.3.令,则.当时,故,且在圆只以为一级极点,在上无奇点,故,由残数定理有.4.解令则在内解析,且在上,,所以在,,即原方程在内只有一个根.四.证明题.1.证明因为,故.这四个偏导数在平面上处处连续,但只在处满足条件,故只在除了外处处不可微.2.证明取,则对一切正整数时,.于是由的任意性知对一切均有.故,即是一个至多次多项式或常数.《复变函数》考试试题（六）参考答案二、填空题：1.2.3.4.15.16.阶7.整函数8.9.010.欧拉公式三、计算题：解：因为故.2.解：因此故.3.解：4.解：5．解：设,则.6．解：四、1.证明：设则在上，即有.根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6.2.证明：设，则,由于在内解析，因此有,.于是故，即在内恒为常数.3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的*邻域内解析且，于是由可知存在的*邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.《复变函数》模拟考试试题《复变函数》考试试题（一）判断题（4*10=40分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的*个邻域内可导。（）2、有界整函数必在整个复平面为常数。（）3、若函数在D内连续，则u(*,y)与v(*,y)都在D内连续。()4、cosz与sinz在复平面内有界。（）5、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。（）6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（）7、若存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（）8、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（）9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（）10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内*个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（）二、填空题（4*5=20分）1、若是单位圆周，n是自然数，则__________。2、设，则_________。3、设，则f(z)的定义域为___________。4、的收敛半径为_________。5、_____________。三、计算题（8*5=40分）：1、设，求在内的罗朗展式。2、求。3、求函数的幂级数展开式。4、求在内的罗朗展式。5、求，在|z|<1内根的个数。《复变函数》考试试题（二）一、判断题（4*10=40分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（）2、有界整函数必为常数。（）3、若收敛，则与都收敛。()4、若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）。（）5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的*个邻域内可以展开为幂级数。（）6、若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件。（）7、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（）8、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（）9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（）10、cosz与sinz的周期均为。（）二、填空题（4*5=20分）1、__________。2、设，则f(z)的孤立奇点有__________。3、若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________。4、_________。5、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。三、计算题（8*5=40分）：1、2、求3、4、求在内的罗朗展式。5、求在|z|<1内根的个数。《复变函数》考试试题（三）一、判断题（3*10=30分）：1、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（）2、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的*个邻域内可导。（）3、如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在。()4、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（）5、若函数f(z)=u(*,y)+iv(*,y)在D内连续，则二元函数u(*,y)与(*,y)。（）6、函数与在整个复平面内有界。（）7、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的*个邻域内可以展开为幂级数。（）8、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。（）9、存在整函数将复平面映照为单位圆内部。（）10、若函数f(z)是区域D内解析且在D内的*个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数。（）二、填空题（2*10=20分）1、若，则__________。2、若是单位圆周，n是自然数，则__________。3、函数的周期为___________。4、设，则的孤立奇点有__________。5、幂级数的收敛半径为__________6、若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点。7、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内_________。、8、函数的不解析点之集为________。9、____________，其中n为自然数。10、公式称为_____________.三、计算题（8*5=40分）：1、设，其中，试求2、求。3、设，求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求四、证明题（6+7+7=20分）：1、设是函数f(z)的可去奇点且，试证：。2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且，则。3、证明方程在内仅有3个根。《复变函数》考试试题（四）一、判断题（3*10=30分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的*个邻域内可导。（）2、如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在。（）3、若存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点。()4、若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析。（）5、若数列收敛，则与都收敛。（）6、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（）7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。（）8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。（）9、若函数f(z)是区域D内的解析函数，且在D内的*个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（）10、。（）二、填空题（2*10=20分）1、函数ez的周期为__________。2、幂级数的和函数为__________。3、函数ez的周期为__________。4、设，则的孤立奇点有__________。的收敛半径为_________。5、幂级数的和函数为____________。6、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。7、若，则______________。8、________，其中n为自然数。9、方程在单位圆内的零点个数为________。10、函数的幂级数展开式为__________。三、计算题（5*6=30分）：1、2、求3、4、求函数在内的罗朗展式。5、求方程在单位圆内零点的个数。6、求。四、证明题（6+7+7=20分）1、设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析。2、如果函数在上解析，且，则。3、设方程证明：在开单位圆内根的个数为5。《复变函数》考试试题（五）一、判断题（3*10=30分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（）2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（）3、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件。()4、若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则。（）5、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（）6、若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（）7、若，则函数f(z)在是D内的单叶函数。（）8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（）9、如果函数f(z)在上解析，且，则。（）10、。（）二、填空题（2*10=20分）1、若，则__________。2、设，则的定义域为__________。3、函数sinz的周期为___________。4、________。5、幂级数的收敛半径为_____________。6、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是的______零点。7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。9、方程在单位圆内的零点个数为_________。10、公式称为__________。三、计算题（5*6=30分）：1、2、设，其中，试求3、设，求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求的值。四、证明题（6+7+7=20分）1、方程在单位圆内的根的个数为6。2、若函数在区域D内解析，等于常数，则在D内恒等于常数。3、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。《复变函数》考试试题（六）一、判断题（3*8=24分）1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的*个邻域内可导。（）2、若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件。（）3、如果z0是f(z)的可去奇点，则一定存在且等于零。()4、若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则。（）5、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（）6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内*个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（）7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（）8、。（）二、填空题（2*10=20分）1、若，则__________。2、设，则的定义域为__________。3、函数的周期为___________。4、________。5、幂级数的收敛半径为_____________。6、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是的______零点。7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。9、方程在单位圆内的零点个数为_________。10、_____________。三、计算题（5*6=30分）1、求2、设，其中，试求3、设，求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分：四、证明题（6+7+7=20分）1、方程在单位圆内的根的个数为7。2、若函数在区域D内解析，等于常数，则在D内恒等于常数。3、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘保形映射为w平面的单位圆盘。《复变函数》考试试题（七）一、判断题（2*10=20分）1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（）2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（）3、如果z0是f(z)的极点，则一定存在且等于无穷大。()4、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（）5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的*个邻域内可以展开为幂级数。（）6、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（）7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内*一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（）8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（）9、如果函数f(z)在上解析，且，则。（）10、。（）二、填空题（2*10=20分）1、若，则__________。2、设，则的定义域为__________。3、函数sinz的周期为___________。4、________。5、幂级数的收敛半径为_____________。6、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是的______零点。7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_______。8、函数的不解析点之集为__________。9、方程在单位圆内的零点个数为_________。10、_____________。三、计算题（5*6=30分）1、2、设，其中，试求3、设，求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分。四、证明题（6+7+7=20分）1、方程在单位圆内的根的个数为6。2、若函数在区域D内解析，等于常数，则在D内恒等于常数。3、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域保形映射为w平面的单位圆盘。《复变函数》考试试题（八）判断题（4*10=40分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的*个邻域内可导。（）2、如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在。（）3、若函数在D内连续，则u(*,y)与v(*,y)都在D内连续。()4、cosz与sinz在复平面内有界。（）5、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。（）6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（）7、若存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（）8、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（）9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（）10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内*个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（）二、填空题（4*5=20分）1、函数ez的周期为__________。2、幂级数的和函数为__________。3、设，则f(z)的定义域为___________。4、的收敛半径为_________。5、_____________。三、计算题（8*5=40分）：1、2、求3、。4设。求，使得为解析函数，且满足。其中（D为复平面内的区域）。5、求，在|z|<1内根的个数《复变函数》考试试题（九）一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，25=10分）1．当复数时，其模为零，辐角也为零。（）2．若是多项式（）的根，则也是的根。（）3．如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数。（）4．设函数与在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的，有。（）5．若是函数的可去奇点，则。（）二、填空题（每题2分）1．。2．设，且，，当时，。3．函数将平面上的曲线变成平面上的曲线。4．方程的不同的根为。5．。6．级数的收敛半径为。7．在（n为正整数）内零点的个数为。8．函数的零点的阶数为。9．设为函数的一阶极点，且，则。10．设为函数的m阶极点，则。三、计算题。（50分）设。求，使得为解析函数，