1996年全国高考数学试题

一九九六年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集I=N，集合（C），。则（A）（B）（C）（D）（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（A）(A)y(B)y(C)y(D)yo1xo1xo1xo1x（3）若，则x的取值范围是（D）（A）（B）（C）（D）（4）复数等于（B）（A）（B）（C）（D）（5）如果直线、与平面、、满足：（A）和，那么必有（A）（C）且（B）（D）且且且（6）当时，函数的（D）（A）最大值是1，最小值是-1（B）最大值是1，最小值是（C）最大值是2，最小值是-2（D）最大值是2，最小值是-1（7）椭圆的两个焦点坐标是（B）（A）（-3，5），（-3，-3）（B）（3，3），（3，-5）（C）（1，1），（-7，1）（D）（7，-1），（-1，-1）（8）若，则等于（A）（A）（B）（C）（D）（9）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为（D）（A）（B）（C）（D）（10）等比数列（B）的首项，前n项和为，若，则等于（A）（B）（C）2（D）-2（11）椭圆的极坐标方程为（C），则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（A）（3，0），（1，）（B）（），（）（C）（2，），（2，）（D）（），（）（12）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）（A）130（B）170（C）210（D）260（13）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（A）（A）2（B）（C）（D）（14）母线长为1的圆锥的体积最大时，其侧面展开图圆心角等于（D）（A）（B）（C）（D）（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于（B）（A）0.5（B）-0.5（C）1.5（D）-1.5二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（16）已知圆答：2与抛物线的准线相切。则p=__________（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）答：32(18)的值是_______DCAFBE答：（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______答：三．解答题：本大题共5小题;共50分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（20）（本小题满分11分）解不等式解：（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：因为所以（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：由（1）得，由（2）得，综上，当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为（21）（本小题满分12分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A+C=2B，求的值。解：由题设条件知：B=600，A+C=1200利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式并整理得从而得（22）（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1ACBEA1C1B1（Ⅰ）求证：BE=EB1;（Ⅱ）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）。（Ⅰ）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足。AFCBGEA1DC1B1①∵面A1EC⊥侧面AC1，∴EG⊥侧面AC1;取AC中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，②∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。③∵BE∥侧面AC1，∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，④∵BE∥AA1，∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，⑤∵AF=FC，∴FG=AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D∵EB1∥CC1，EB1=BB1=CC1，∴DB1=DC1=B1C1=A1B1，∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=600，∠DA1B1=∠A1DB1=（1800-∠DB1A1）=300，∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=900，即DA1⊥A1C1。∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C所以∠CA1C1是所求二面角的平面角。∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=900，∴∠CA1C1=450，即所求二面角为450。（23）（本小题满分10分）某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？（=，=）解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意得不等式化简得答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。（24）（本小题满分12分）已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。（Ⅰ）求的斜率k1的取值范围;（Ⅱ）若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组（1）有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得（2）若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。故，即。方程（2）的判别式为设的斜率为k2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组（3）有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得（4）同理有，又因为，所以有于是，与双曲线各有两个交点，等价于（Ⅱ）设A1（x1,y1）B1（x2,y2）.由方程（2）知同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得由|A1B1|=|A2B2|，得|A1B1|2=5|A2B2|2.将（5）、（6）代入上式得解得取时，取时，（25）（本小题满分12分）已知是实数，函数当（Ⅰ）证明：时，（Ⅱ）证明：当（Ⅲ）设当时，时，的最大值为2，求.（Ⅰ）证明：由条件当取x=0得时，，即，（Ⅱ）证法一：当时，在[-1，1]上是增函数，由此得当时，在[-1，1]上是减函数，由此得当时，综上得证法二：由可得当时，有根据含绝对值的不等式的性质，得即（Ⅲ）因为时，在[-1，1]上是增函数，当x=1时取最大值2，即因为当时，，即根据二次函数的性质，直线x=0为的图象的对称轴，由此得由（1）得所以文科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.则（C）（A）（B）（C）（D）（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（A）(A)y(B)y(C)y(D)yo1xo1xo1xo1x（3）若，则x的取值范围是（D）（A）（B）（C）（D）（4）复数（A）等于（B）（B）（C）（D）（5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（C）（A）720种（B）360种（C）240种（D）120种（6）已知是第三象限角且，则（A）（B）（C）（D）（D）（7）如果直线、与平面、、满足：（A）和，那么必有（A）（C）且（B）（D）且且且（8）当时，函数的（D）（A）最大值是1，最小值是-1（B）最大值是1，最小值是（C）最大值是2，最小值是-2（D）最大值是2，最小值是-1（9）中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是（A）（C）（B）（D）（A）（10）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为2400，该圆锥的体积是（A）（B）（C）（D）（C）（11）椭圆的两个焦点坐标是（B）（A）（-3，5），（-3，-5）（B）（3，3），（3，-5）（C）（1，1），（-7，1）（D）（7，-1），（-1，-1）（12）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为（D）（A）（B）（C）（D）（13）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）210（D）260（C）（A）130（B）170（14）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（A）（A）2（B）（C）（D）（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于（B）（A）0.5（B）-0.5（C）1.5（D）-1.5二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（16）已知点（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=__________答：4（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）答：32(18)的值是_______DCAFBE答：（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______答：三．解答题：本大题共5小题;共50分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（20）（本小题满分11分）解不等式解：（Ⅰ）当（Ⅱ）当综上，当当时，原不等式等价于不等式组：时，原不等式等价于不等式组：时，不等式的解集为时，不等式的解集为（21）（本小题满分12分）设等比数列的前n项和为.若S3+S6=2S9，求数列的公比q.解：q=1，则有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，故.又依题意S3+S6=2S9可得（22）（本小题满分12分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A+C=2B，求的值。解：由题设条件知：B=600，A+C=1200利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式并整理得从而得（23）（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标本①的写法，在标本②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程;并解答（Ⅱ）.】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=，CF=2A1C1B1FEACB（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF;（Ⅱ）求三棱锥A1-AEF的体积。（Ⅰ）证明：①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD。∴△DBE∽△DCF，∴②∵BE:CF=1:2，∴DC=2DB，∴DB=BC，∴DB=AB.③∵△ABD是等腰三角形，且∠ABD=1200，∴∠BAD=300，∴∠CAD=900，∴DA⊥AC.④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，且CA⊥AD，∴FA⊥AD.⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA面ADF，A1GB1C1FEABDC∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.（Ⅱ）解：∵VA1-AEF=VE-AA1F在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，垂足为G.B1G=..面A1B1C1⊥面A1C，∴EBB1，而BB1∥面A1C，∴三棱锥E-AA1F的高为.S△A1AF=·AA1·AC=.∴VA1-AEF=VE-AA1F=（24）（本小题满分10分）某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？（=，=）解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意的不等式化简得答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。（25）（本小题满分12分）已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。（Ⅰ）求的斜率k1的取值范围;（Ⅱ）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值。解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组（1）有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整