大工10秋《工程力学》(二)辅导资料八

工程力学（二）辅导资料八主 题：第三章结构力学知识回顾——静定平面桁架的内力计算：结点法截面法，静定结构荷载作用下的位移计算。学习时间：2010年12月6日－12月12内 容：静定结构荷载作用下的位移计算，具体内容如下：1、概述；2、掌握结点法；3、掌握截面法；4、掌握结点法与截面法的联合应用；5、掌握组合结构的计算；6、熟悉静定结构的静力特性。7、刚体体系的虚功方程及其应用8、结构位移计算的一般公式9、静定结构在荷载作用下的位移计算10、图乘法本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移与广义荷载的概念；2、掌握结构位移计算的一般公式；3、熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、梁和刚架位移计算的图乘法。基本概念及类型，虚功原理及应用，结构位移计算的一般公式，图乘法。知识点：组合结构的求解，结构位移的概念及类型，虚功原理及应用，结构位移计算的一般公式，静定结构在荷载作用下的位移计算，图乘法。包含了本周学习的知识点，题型以考试题型为主。第一部分本周主要内容讲解及补充一、概述桁架是一种由若干直杆在其两端用铰联结而成的几何不变的铰结链杆体系。在平面桁架中，通常引用如下假定：各杆两端用理想铰相互联结。各杆的轴线都是绝对平直，在同一平面内并通过铰结点的中心。桁架的各杆都是只承受轴力的二力杆。图8.1 桁架结构示意图桁架的杆件，依其所在位置的不同，可分为弦杆和腹杆两大类。弦杆可分为上弦杆和下弦杆。腹杆又分为竖杆和斜杆。弦杆上两相邻结点之间的区间称为节间，其间距d称为节间长度。一定完全交与一点。桁架的分类按照桁架的外形分为①平行弦桁架。②折弦桁架。③三角形桁架。图8.2 桁架按照外形分类按照支座反力的特点分为①无推力桁架或梁式桁架。②有推力桁架或拱式桁架。图8.3 桁架按照支座反力形式分类按照桁架的几何组成方式分为的桁架。成的桁架。③复杂桁架。图8.4 桁架按照几何组成方式分类二、结点法为避免解联立方程，应从未知力不超过两个的结点开始计算。求支座反力；求各杆轴力；利用对称性可得其它杆的轴力；D三、截面法力系，可建立三个独立的平衡方程。2Ah2Ah3P D6PPP图8.5 结点法示意图截面法可用来求指定杆件的内力。一个方程中只含一个未知力。截面法中的特殊情况：1O111NNO图8.6 截面法示意图11图8.7 结点法与截面法联合使用示意四、结点法与截面法的联合应用拘先后地应用结点法和截面法。那就是要注意：①选择合适的出发点，即从哪里计算最易达到计算目标；②选择合适的截面，即巧取分离体，使出现的未知力较少；③选用合适的平衡方程，即巧取矩心和投影轴，并注意列方程的先后顺序，力求使每个方程中只含一个未知力。五、组合结构的计算组合结构由两类杆件组成：二力杆：只承受轴力。梁式杆：同时承受弯矩、轴力、剪力重结构。钢筋混凝土角钢下撑式五角形屋架钢筋混凝土角钢图8.8 下撑法屋架示意图及计算简图计算组合结构时应注意：①注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）；②前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用；③一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力；④取分离体时，尽量不截断梁式杆。链杆是两端是铰、中间不受力、也无连结的直杆。对称结构受对称荷载作用①N1=N2=0②N1=－N2③N1≠N2④N1=N2≠0六、静定结构的静力特性基本性质 派生性1、静定结构基本性质静定结构解答的唯一性定理：一的。(满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯一解答）2、静定结构派生性质反力和内力与支座移动、温度改变、制造误差无关相对应的自由变形位移，而不产生反力和内力.以上两种现象也可以从静定结构为零，零内力和零反力必然满足各部分的静力平衡条件，并且答案唯一。反力和内力与构件材料，截面形状和尺寸无关构件截面的形状和尺寸无关。静定结构的基本部分和附属部分的受力特征静定结构在平衡力系作用下的局部平衡性静力等效荷载是指具有同一合力的各种荷载。荷载的等效变换就是将一种荷载变换成另一种与其静力等效的荷载。的内力发生变化，而其余部分的反力和内力均保持不变。七、桁架位移计算概述（一）杆件结构的位移移动和转动统称为位移。位移：线位移（水平位移，竖向位移）、角位移（转角）图8.9 位移示意图结构在其他因素（例如温度改变、支座位移、材料收缩和制造误差等）影响下，虽不一定都发生应力和应变，但却会使结构改变原来的位置而产生位移。图8.10 温度及支座位移示意图今后的计算中，还将用到一种相对位移（相对线位移，相对转角）。图8.11 广义位移示意图广义位移-以上线位移、角位移以及相对位移等统称为广义位移（二）计算位移的目的验算结构的刚度。置，以便作出一定的施工措施。例如建筑起拱。为超静定结构的弹性分析打下基础。图8.12 桁架起拱示意图（三）线性变形体系和非线性变形体系移将完全消失。这种体系也称为线性弹性体系。它需要具有下列条件：应力与应变的关系满足胡克定律。约束都为理想约束。位移是微小的。位移计算，可以应用叠加原理。位移与荷载不呈线性关系的体系，称为非线性变形体系。在本章中，只讨论线性变形体系的位移计算。1、虚功的概念系分为虚功和实功。力与位移是无关的。而实功是指力在它自身产生的位移上做的功。2、刚体体系的虚功原理一个力系作的总虚功W=∑P×P---广义力；---广义位移作虚功的力系为一个集中力WF P作虚功的力系为一个集中力偶WM作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶WM M M)MA B A B作虚功的力系为两个等值反向的集中力虚功：WFP

WFP A

FP

F(P

)FB P虚功：WMA A总结虚功的两种状态：力状态和位移状态。注意：两种状态属同一体系。（变形与位移协调:位移）；力状态应满足平衡条件。位移状态与力状态相互独立、完全无关；但相互对应。按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系的虚功原理：（后不断开、不重叠），则外力虚功为零。体位移，平衡力系在位移上所作的虚功为零。3、虚功方程的两种应用要有两种应用形式。第一种应用：虚功原理用于实际已知的平衡力状态与虚设的协调位移状态之间—虚设位移状态求已知力状态的未知力—虚位移原理。建立力状态；建立虚设的位移状态；利用虚功原理求解。F F 0x x P P b刚体虚位移原理：

FF x Px

FPa已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。几点说明：把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状态的平衡方程，即bFFx PaFaFb0 Mx P B M 0B特点：用几何法来解静力平衡问题。所求力与虚设位移的大小无关,故可设单位位移 1X x第二种应用：利用已知的位移状态；建立虚设的力状态；建立虚功方程求解。1、变形体的虚功原理功原理：在具有理想约束的变形体系上，若力状态的力系满足平衡条件（整体平衡、局部平衡），位移状态下的位移满足变形协调条件（包括变形与应变的协调：轴位移与约束的几何相容：位移连续、杆件变形后不断开、不重叠，约束和位移是相对应的作的内虚功。即：W We i2、变形直杆的虚功和虚应变能表达式力状态：位移状态：整体平衡、局部平衡：变形协调：整个变形体的内力虚功为：wBd

BF

Fd Mkdi A wi单根变形直杆的虚功方程：

A N x

Q 0 x xBP(MkdBxA

FdN

Fd)Q0 xP为广义力：包括杆端力、杆件受的均布荷载、集中荷载、约束反力等。也是广义位移，包括角位移、线位移等。杆系结构虚功方程的建立PB(MkdsA

FdN

Fd)Q0 s变形体虚功原理的注意点：以用来代替平衡方程也可以用来代替几何方程。既适用于一切线性、非线性、静定、超静定结构。满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。3、单位荷载法：将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介绍过——单位荷载法。程为：P

B(MkdsA

FdN

Fd)Q0 s设待求的实际广义位移为Δ，与Δ对应的广义力为P。设仅在广义力P=1作用下，任意横截面上与之对应的轴力、剪力和弯矩分别为F 、FN Q

和M。又设与内力FN

F和M对应的微段实际变形分别为dQ

、dd。杆系结构虚功方程为：F FCF

F

F

F

Md PK K

R1

R2

R3

N u 杆系结构虚功方程改写为：FdN s

Fd0

Mkds

F cRii一般公式的普遍性表现在：位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构，静定和超静定结构；材料性质：线性、非线性；变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。十、静定结构在荷载作用下的位移计算FN

dFs

rdMkd0 s

FcRii仅在荷载作用时的位移计算一般公式FN

dFP s

r d0P

Mkdp s对于由线弹性直杆组成的结构，有：F kF 1 M NPP EA

, QP, k0P GA

PEI N NP

kFFQ QP

MM PP EA GA EI 公式的适用范围：只适用于线弹性结构。内力的正负号规定如下：轴力F ,FNP 剪力F ,FQP Q

以拉力为正；使微段顺时针转动者为正；MM只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。P一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1、对梁和刚架： MMdsP2、对桁架：P

P EINNPN FF ds FF lNNPN P3、对组合结构：

EA EA MMds

FF lN NPP十一、图乘法已有基础：P

P EI EA1、静定结构的内力计算；2、杆件结构在荷载作用下的位移计算公式，即：

MMdsP

F N N

kFFdsQ QKP刚架与梁的位移计算公式为：

EI EA GAP MMdsPKP EI的图乘法。1、图乘法的推证 MMPds1MMdskp EI EI P1EI

dx(Mxtan)P1xtanMdxEI P

tanEI

xMdxPtanx 1yEI图乘法求位移公式为：

c EI cc yckp EI2、公式应用注意事项：图乘法的应用条件：①等截面直杆，EI为常数；②两个M图中应有一个是直线；③y应取自直线图中。c若yy取正值；反之，取负值。c c∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘时注意应用图乘技巧复杂图形，可分解为简单图形图乘。①直线形乘直线形②非标准抛物线乘直线形③阶梯形截面杆作变形草图：绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。第二部分本周练习题计算题1、已知静定刚架在外力作用下的弯矩图如下图所示，各杆刚度均为EI，用图乘法求CD中点E的