离散型随机变量的期望市公开课金奖市赛课一等奖课件

离散型随机变量

期望教学要求:使学生了解离散型随机变量期望意义,会依据离散型随机变量分布列求出期望.第1页对于离散型随机变量，确定了它分布列，就掌握了随机变量取值统计规律。在实际问题中，我们还经常希望经过数字来反应随机变量某个方面特征，最惯用有期望与方差。某射手射击所得环数ξ分布列以下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22引例：依据这个射手射击所得环数ξ分布列，在n次射击中，预计有大约0.02n次4环……第2页1、期望类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数ξ分布列，即已知各个P（ξ=i)(i=0,1,2,3,…10），则可预计他任意n次射击平均环数是Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+…+10×P（ξ=10）称Eξ为此射手射击所得环数ξ期望，它刻划了随机变量ξ所取平均值，从一个方面反应了射手射击水平。若离散型随机变量ξ概率分布为ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ数学期望或平均数、均值，又称期望。第3页问：若ξ为上述离散型随机变量，则η=aξ+b分布列怎样？Eη呢？因为P（η=axi+b）=P（ξ=xi），i=1，2，3…所以，η分布图为ηax1+bax2+b…axn+b…Pp1p2…pn…于是Eη=（ax1+b)p1+（ax2+b)p2+…+（axn+b)pn+…=a（x1p1+x2p2+…+xnpn+…）+b（p1+p2+…+pn+…）=aEξ+bE（aξ+b）=aEξ+b第4页2、例题例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球1次得分ξ期望。例2随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数ξ期望。第5页例3有一批数量很大产品，其次品率是15%。对这批产品进行抽查，每次抽出1件，假如抽出次品，则抽查终止，不然继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超出10次。求抽查次数ξ期望。（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1~10整数，从这批数量很大产品中每次抽取一件检验试验能够认为是彼此独立，取出次品概率是0.15，取出正品概率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1，2，…9）取出次品概率P（ξ=k）=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15，（k=1，2，…9）；需要抽查10次即前9次取出都是正品概率P（ξ=10）=0.859（为何？）第6页3、结论(1)：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证实：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)第7页例4一次英语单元测验由20个选择题组成，每个选择题有4个选项。其中有且仅有一个是正确答案，每小题选择正确答案得5分。不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题概率为0.9，学生乙则在测验中对每小题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中成绩期望。服从二项分布随机变量期望若ξ~B(n,p)，则Eξ=np第8页例5：一次英语单元测验由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每小题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题概率为0.9，学生乙则在测验中对每小题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中成绩期望。

第9页解：

设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案选择题个数分别是ξ和η，则ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．因为答对每小题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中成绩期望分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．第10页结论(2)：若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p服从几何分布随机变量期望ξ1

2

3…k

…Pppqpq2…pqk-1…∴Eξ=p+2pq+3pq2+…+kpqk-1+…qEξ=pq+2pq2+3pq3+…+kpqk+…∴(1-q)Eξ=p+pq+pq2+pq3+…+pqk+…第11页例5在独立重复射击试验中，某人击中目标概率为0.2，则他在射击时击中目标所需要射击次数ξ期望是多少？第12页小结：1、随机变量数学期望。2、公式3、若ξ~B(n,p)，则Eξ=npE（aξ+b）=aEξ+b练习：P141~6。作业：习题1.2P161~64：公式：若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p第13页讲评作业:P9习题3,63、某射手射击击中目标概率为0.9，求从开始射击到击中目标所需射击次数ξ概率分布。解：射击次数ξ概率分布为ξ123…n…P0.90.090.009…0.1n-1