2019苏教版数学选修22讲义第1章13131单调性及

2019苏教版数学选修22讲义：第1章1.31.3.1单一性及答案2019苏教版数学选修22讲义：第1章1.31.3.1单一性及答案10/10芇PAGE10薄肂羃蒇袀肇螅肃莃2019苏教版数学选修22讲义：第1章1.31.3.1单一性及答案2019-2020年苏教版数学选修2-2讲义：第1章+1.3+1.3.1+单一性及答案

导数在研究函数中的应用

单一性

学习目标核心涵养

1.利用导数研究函数的单一性．(重点)的学习，培养数学抽象，直观想2．含有字母参数的函数单一性的讨象涵养．论，单一区间的求解．(难点)2．经过利用导数证明单一性、求3．由单一性求参数的取值范围．(易单一区间等，培养数学运算涵养.错点)

1．函数的单一性与其导数的关系

(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单一性与导数有以下关系：

导数函数的单一性

f′(x)>0f(x)为该区间上的增函数

f′(x)<0f(x)为该区间上的减函数

(2)若是在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在这个区间内是常数函数．

2．导数与函数图象间的关系

(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单一增区间，导函数图象在x轴

下方的区间为原函数的单一减区间．

(2)一般地，若是一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个

范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平

缓”一些．

思虑：利用导数求函数的单一区间，需要先确定什么？

[提示]函数的定义域．函数的单一区间是函数定义域的子集．

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．函数x的单一递加区间是()1f(x)＝(x－3)eA．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)D[f′x＋(x－3)xxxx，(x)＝(x－3)′e(e·)′＝e＋(x－3)e＝(x－2)e由f′(x)>0可得x>2，故f(x)的单一递加区间为(2，＋∞)．选D.]

112．设f(x)＝2x＋x(x<0)，则f(x)的单一递减区间为()A．(－∞，－2)B．(－2,0)C．(－∞，－2)D．(－2，0)11D[f′(x)＝2－x2，令f′(x)<0可得，－2<x<2，又x<0，

∴－2<x<0.

选D.]

3．函数f(x)＝ex－x的单一递加区间为________．

(0，＋∞)[∵f(x)＝ex－x，

∴f′(x)＝ex－1.

由f′(x)＞0得，ex－1＞0，

即x＞0.

∴f(x)的单一递加区间为(0，＋∞)．]

4．函数＝3－1在(－∞，＋∞)内是减函数，则a的取值范围为__________．yax(－∞，0)[由于y′＝3ax2≤0恒成立，解得a≤0.

而a＝0时y＝－1不是减函数，所以a<0.]

判断(证明)函数的单一性

【例1】(1)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，

0)内是减函数．

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lnx(2)判断函数f(x)＝x在区间(0,2)上的单一性．

[解](1)证明：由于f(x)＝ex－x－1，

所以f′(x)＝ex－1，

当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0.

故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，

当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.

故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．

lnx(2)由于f(x)＝x，1x·x－lnx＝1－lnx.所以f′(x)＝2x2x由于0<x<2，所以lnx<ln2<1，x2>0.

1－lnx故f′(x)＝x2>0.

∴函数f(x)在区间(0,2)上是单一递加函数．

1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单一性，实质上就是证明f′(x)>0(或

f′(x)<0)在给定区间上恒成立．

2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单一性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)

确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．

1．证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．

[证明]显然函数的定义域为{x|x>0}，

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1又f′(x)＝(lnx＋x)′＝x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，

故y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．

求函数的单一区间

【例2】求以下函数的单一区间：

x(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝x－e2；

(3)f(x)＝－x3＋3x2.

[思路研究]第一确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单一区间．

[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

12x－12x＋1f′(x)＝2x－x＝x.由于x>0，所以2x＋1>0，2由f′(x)>0，解得x>2，所以函数f(x)的单一递加区间为22，＋∞；2由f′(x)<0，解得x<2，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单一递减区间为，2.02(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

exx－2－exexx－3f′(x)＝x－22＝x－22.

由于x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，

x2所以e>0，(x－2)>0.

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由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单一递加区间为(3，＋∞)；

由f′(x)<0，解得x<3，

又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，

所以函数f(x)的单一递减区间为(－∞，2)和(2,3)．

(3)函数f(x)的定义域为R.

f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．

当0<x<2时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单一递加区间为(0,2)；当x<0或x>2

时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单一递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．

利用导数求函数单一区间的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围；当f′(x)>0时，f(x)在相应

的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数．

(4)结合定义域写出单一区间．

2．若函数f(x)＝x2－2x－4lnx，则函数f(x)的单一递加区间为________．

(2，＋∞)[由已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，42x2－2x－4f′(x)＝2x－2－x＝x，

由f′(x)>0得x2－x－2>0，

解得x<－1或x>2，

又x>0，

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所以函数f(x)的单一递加区间为(2，＋∞)．]

已知函数的单一性求参数的取值范围

[研究问题]

1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单一递加，反之也成立

吗？

[提示]不用然成立．比方y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于

零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单一递加的充分不用要条件．

2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单一递加(或递减)函数，则f′(x)

满足什么条件？

[提示]f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．

【例3】已知函数f(x)＝x3－ax－1为单一递加函数，求实数a的取值范围．

[思路研究]fx单一递加―→f′x≥0恒成立―→分别参数求a的范围

[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，

由于f(x)在(－∞，＋∞)上是单一增函数，

所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立，由于3x2≥0，

所以只需a≤0.

又由于a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，

f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.

1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单一减区间为(－1,1)，求a的取值范围．

[解]f′(x)＝3x2－a，

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①当a≤0时，f′(x)≥0，

∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意．

23a②当a＞0时，令3x－a＝0，得x＝±3，3a3a当－3＜x＜3时，f′(x)＜0.∴f(x)在3a3a上为减函数，－3，33a3a∴f(x)的单一递减区间为－3，3，

3a∴3＝1，即a＝3.

32．(变条件)若函数f(x)＝x－ax－1在(－1,1)上单一递减，求a的取值范围．

[解]由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴f′－1≤0，即f′1≤0，

3－a≤0，

∴a≥3.3－a≤0，

即a的取值范围是[3，＋∞)．

3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不只一，求a的取值范围．

[解]∵f(x)＝x3－ax－1，

23a∴f′(x)＝3x－a，由f′(x)＝0，得x＝±3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不只一，

3a∴0＜3＜1，即0＜a＜3.故a的取值范围为(0,3)．

1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单一递加(或单一递减)的充要条件

是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不

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恒等于0.

2．已知f(x)在区间(a，b)上的单一性，求参数范围的方法

(1)利用会集的包含关系办理f(x)在(a，b)上单一递加(减)的问题，则区间(a，

b)是相应单一区间的子集；

利用不等式的恒成立办理f(x)在(a，b)上单一递加(减)的问题，则

f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意考据等号可否成立．

1．求函数单一区间应依据“定义域优先”原则．

2．由函数单一性求参数范围时，函数单一递加?f′(x)≥0，函数单一递减?f′(x)≤0，不要忽略“等号”.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.()1(2)函数f(x)＝x在其定义域上是单一减函数．()(3)3)函数f(x)＝x－2x在(1，＋∞)上单一递加．((4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．设函数f(x)的图象以下列图，则导函数f′(x)的图象可能为()

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[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；

当1＜x＜4时，f′(x)＞0.应选C.]

3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单一减区间是________．

(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]

124．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝2ax＋2x，a≠0.

若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单一递减，求a的取值范围．

12[解]h(x)＝lnx－2ax－2x，x∈(0，＋∞)，

1所以h′(x)＝x－ax－2.

由于h(x)在[1,4]上单一递减，

1所以x∈[1,4]时，h′(x)＝x－ax－2≤0恒成立，

1212即a≥x2－x恒成立，令G(x)＝x2－x，

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