大学物理课件：刚体2

第3章

刚体的定轴转动

刚体力学(2)转动中的功和能对定轴的角动量定理及角动量守恒定律主要内容：进动1.力矩的功z§3.3转动中的功和能

刚体在外力作用下转过一微小角位移。力的作用点的位移为在上的元功为：刚体在外力矩M作用下转过一有限角位移时，力矩的总功力矩做功计算式2.刚体的转动动能转动动能定理转动刚体中任意一质元的动能刚体的转动动能z物体平动动能m是物体平动惯性大小的量度J是物体转动惯性大小的量度（1）刚体的转动动能mi（2）定轴转动的动能定理即：合外力矩对刚体做的功，等于刚体转动动能的增量。把质点系动能定理应用于刚体质点系动能定理

对刚体，因为，只需把换成外力矩的功，平动动能换成转动动能,就得到刚体定轴转动的动能定理注意：动能定理中的功W，指合外力矩的功。3.刚体的重力势能机械能（1）刚体的重力势能

刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力势能之和。任一质元的重力势能刚体的重力势能设刚体的质心相对零势能位置的高度为则即：刚体的重力势能等于刚体的质量全部集中在质心处的质点的重力势能miz（2）刚体的机械能

例7.

一质量为M、半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为m的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，求物体由静止下落h高度时的速率？解：隔离圆盘和重物，受力图如图所示解得对圆盘：由转动动能定理或功能原理，有对物体：由质点动能定理或功能原理，有Mm例8.

质量为3m

、长为2l

的均质细杆，转轴在o

点，两端各固定质量分别为2m和m的小球。系统从静止开始由水平位置绕o点转动。求:(1)系统对o轴的转动惯量；

(2)水平位置时系统的角加速度；（3)转到垂直位置时系统的角速度。解：o(1)系统对o轴的转动惯量(2)水平位置时系统的角加速度由转动定律所以（3）通过垂直位置时的角速度,

有三种解法o(解1)用转动定律求解任意位置θ处,系统受到的合外力矩为：求得为一变力矩，由转动定律(解2)用转动动能定理求解求得力矩的元功：从水平位置转到铅垂位置，力矩的总功：由转动动能定理oθ处取角位移,上系统受到的合外力矩此刚体组+地球系统,转动过程中，只有重力矩做功,系统机械能守恒(解3)用机械能守恒定律求解求得取过最低点的水平面为零势能面，由机械能守恒定律，有o1.质点的角动量(angularmomentum)okg·m2·s-1§3.4对定轴的角动量定理及角动量守恒定律质点作匀速率圆周运动：角动量动量矩质点的动量对O点的矩称为动量矩或称角动量2.刚体对定轴的角动量miz的方向沿定轴，可用正、负表示方向。

刚体看成许多质点组成,任意一质元对轴的角动量大小为

刚体的角动量3.定轴转动的角动量定理由刚体定轴转动定律：对力矩作用的时间积分即：刚体角动量的增量等于合外力矩的冲量矩。式中是力矩对时间的积分,称为冲量矩。定轴转动的角动量定理写成矢量式4.角动量守恒定律

角动量定理中，若刚体受到的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。即：角动量（动量矩）定理的积分形式角动量定理的微分形式跳水运动员角动量守恒实例

(1)在r处取一宽度为dr的圆环,如图所示.其质量、受到的摩擦阻力及摩擦阻力矩分别为解:

oRdrr例9.质量为m，半径为R

的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的角速度为，盘与桌面间的滑动摩擦系数为，求:(1)圆盘转动时受到的摩擦阻力矩；(2)经多长时间圆盘停止转动。圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为

(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法解1

用转动定律求oRdrr求得:因恒定，也可直接由求得oR解2

用角动量定理求碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为

例10.质量为m1,长为l

的均质细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，可绕通过其端点o并与桌面垂直的固定光滑轴转动。今有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰,设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度大小分别为v1和v2，方向如图所示。求碰后细棒开始转动到停止转动所需的时间。设碰后棒开始转动的角速度为解:碰撞瞬时忽略摩擦阻力矩,则m1、m2系统对o轴的角动量守恒,取逆时针转动的方向为正方向,由角动量守恒定律,有又设棒开始转动到停止转动所需时间为t,由角动量定理联立①②③解得①②③例11.一长为l，质量为M

的杆垂直悬挂,杆可绕支点O自由转动。一质量为m

，速度为

v

的子弹射入距支点为a

的棒内,若棒偏转角为30°，问子弹的初速度为多少?解：子弹与杆碰撞的过程角动量守恒子弹连同杆上摆的过程机械能守恒oalv30°*§3.5进动高速自转的陀螺在重力矩作用下发生进动

角动量陀螺对O点的角动量

重力矩垂直于重力、对称轴；

由角动量定理重力矩垂直于，在作用下，只改变方向，不改变大小（

不变）结论问题1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的（A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒,（C）机械能不守恒,角动量守恒