2020高三理科数学一轮复习讲义27《函数图象》

2020高三理科数学一轮复习讲义2.7《函数的图象》2020高三理科数学一轮复习讲义2.7《函数的图象》2020高三理科数学一轮复习讲义2.7《函数的图象》2020高三理科数学一轮复习讲义2.7《函数的图象》最新考纲1.在实质情境中，会依照不相同的需要选择适合的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象解析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)谈论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(特别注意特别点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象关于x轴对称y＝－f(x)的图象；――→y＝f(x)的图象关于y轴对称――→y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象关于原点对称y＝－f(－x)的图象；――→关于直线y＝x对称y＝ax(a>0，且a≠1)的图象――——————————→y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换纵坐标不变1y＝f(x)―——————————————————―→各点横坐标变为原来的（a>0）倍y＝f(ax).a横坐标不变y＝f(x)―——————————————————―→各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍y＝Af(x).(4)翻折变换第1页（共19页）x轴下方部分翻折到上方y＝f(x)的图象―————————————————―→y＝|f(x)|的图象；x轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧y＝f(x)的图象―————————————————―→y＝f(|x|)的图象.原y轴左侧部分去掉，右侧不变[微点提示]记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.基础自测1.判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位获取.()(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.()(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()解析(1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位获取y＝f(－1－x)，故(1)错.(2)两种说法有实质不相同，前者为函数的图象自己关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不相同，故(3)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(必修1P24A7改编)以下列图象是函数y＝x2，x<0，的图象的是()x－1，x≥0解析其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.第2页（共19页）答案C3.(必修1P23T2改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通拥堵停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件切合得最好的图象是()解析小明匀速运动时，所得图象为一条线段，且距离学校越来越近，消除A；因交通拥堵停留了一段时间，与学校的距离不变，消除D；此后为了赶时间加快速度行驶，消除B.只有C满足题意.答案C4.(2019西·安月考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A.f(x)＝ex＋1B.f(x)＝ex－1C.f(x)＝e－x＋1D.f(x)＝e－x－1解析依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.答案D5.(一题多解)(2018全·国Ⅲ卷)以下函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x)＝ln(2－x)＝ln(1＋x)＝ln(2＋x)解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x).第3页（共19页）法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，消除A，C，D，选B.答案B6.(2019南·昌检测)已知函数f(x)的图象以下列图，则函数g(x)＝logf(x)的2定义域是________.解析当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)2有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8].答案(2，8]考点一作函数的图象【例1】作出以下函数的图象：|x|1(1)y＝2；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.x1x1x解(1)先作出y＝1的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于2221|x|的图象，如图①实线部分.y轴的对称部分，即得y＝2(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可获取函数y|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)∵y＝x2－2x－1，x≥0，[0，＋∞)上的图象，再依照对称性作出且函数为偶函数，先用描点法作出x2＋2x－1，x<0，(－∞，0)上的图象，得图象如图③.规律方法作函数图象的一般方法第4页（共19页）(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，即可依照这些函数的特色描出图象的要点点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称获取，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的序次对变换单位及解析式的影响.【训练1】分别作出以下函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.解(1)先作出函数y＝lgx的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y＝|lgx|的图象，如图①实线部分.(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完好相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.考点二函数图象的鉴别sinx【例2】(1)(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋x2的部分图象大体为()(2)(2016全·国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大体为()第5页（共19页）sinxsinx解析(1)法一易知g(x)＝x＋x2为奇函数，故y＝1＋x＋x2的图象关于点(0，1)对称，消除C；当x∈(0，1)时，y>0，消除A；当x＝π时，y＝1＋π，消除B，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，消除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，消除B，而D满足.f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，消除选项A，B；当x≥0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，所以f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0，所以函数f(x)在(0，2)上有解，故函数f(x)在[0，2]上不只一，消除C，应选D.答案(1)D(2)D规律方法1.抓住函数的性质，定性解析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右地址；从函数的值域，判断图象的上下地址；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特色，定量计算：从函数的特色点，利用特色点、特别值的计算解析解决问题.【训练2】(2018·浙江卷)函数y＝2|x|·sin2x的图象可能是()第6页（共19页）解析设f(x)＝2|x|sin2x，其定义域为R且关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以kπy＝f(x)是奇函数，故消除选项A，B；令f(x)＝0，所以sin2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，即x＝2(k∈Z)，故消除选项C.应选D.答案D考点三函数图象的应用多维研究角度1研究函数的性质【例3－1】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则以下结论正确的选项是()A.f(x)是偶函数，递加区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递加区间是(－∞，0)解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得x2－2x，x≥0，f(x)＝x2－2x，x<0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.第7页（共19页）答案C角度2求不等式的解集【例3－2】已知函数y＝f(x)的图象是以下列图的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)”，则不等式f(x)≥g(x)的解集是()A.{x|－1<x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1<x≤1}D.{x|－1<x≤2}解析令g(x)＝y＝log2，(x＋1)作出函数g(x)图象如图，x＋y＝2，x＝1，由得y＝log2（x＋1），y＝1.∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.答案C角度3求参数的取值范围|x|，x≤m，【例3－3】(2019·合肥一中质检)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得x2－2mx＋4m，x>m，关于x的方程f(x)＝b有三个不相同的根，则m的取值范围是________.解析在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，第8页（共19页）∴要使方程f(x)＝b有三个不相同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.答案(3，＋∞)规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质关于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但必然要注意性质与图象特色的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的会集，表现了数形结合思想.【训练3】(1)(2019·明检测昆)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________.解析(1)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，所以h(x)有最小值－1，无最大值.(2)先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，以下列图，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线第9页（共19页）11g(x)＝kx过A点时斜率为2，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为2，1.1答案(1)C(2)2，1[思想升华]1.识图关于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注妄图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，能够研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还能够判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.[易错防范]1.图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移12个单位，先作1以下变形f(－2x＋1)＝f－2x－2，可防范出错.2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不相同，前者是自己对称，且为偶函数，后者是两个不相同函数的对称关系.3.当图形不能够正确地说明问题时，可借助“数”的精确，侧重数形结合思想的运用.直观想象——函数图象的活用直观想象是发现和提出问题，解析和解决问题的重要手段，在数学研究的研究中，经过直观手段的运用以及借助直观张开想象，从而发现问题、解决问题的例子俯拾皆是，并贯穿于数学研究过程的向来，第10页（共19页）而数形结合思想是典型的直观想象模范.种类1依照函数图象特色，确定函数解析式函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可依照需要，相互转变.【例1】已知函数f(x)的图象以下列图，则f(x)的解析式能够是()ln|x|exA.f(x)＝xB.f(x)＝x11C.f(x)＝x2－1D.f(x)＝x－x1解析由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应消除B，C.若函数为f(x)＝x－x，则x→＋∞时，f(x)→ln|x|＋∞，消除D.只有选项A中f(x)＝x满足.有兴趣的同学能够研究函数的性质作出判断(略).答案A种类2利用函数的图象研究函数的性质关于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但必然要注意性质与图象特色的对应关系.【例2】(2019·安徽江淮十校联考)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值.若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________.解析在同素来角坐标系中，画出函数y＝e|x|，y＝e|x－2|的图象(图略)，可知f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝ex，x≥1，e2－x，x<1.当x≥1时，f(x)＝ex≥e，且当x＝1时，获取最小值e；当x<1时，f(x)＝e2－x>e.故f(x)的最小值为f(1)＝e.答案e【例3】(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的第11页（共19页）m交点为(x1，y1)，(x2，y2)，，(xm，ym)，则∑xi＝()i＝1解析由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称(图略).不如设x1<x2<<xm，则x1＋xm＝1，即x1＋xm＝2，2同理有x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，，mmm又∑xi＝xm＋xm－1＋＋x1，所以2∑xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋＋(xm＋x1)＝2m，所以∑xi＝m.i＝1i＝1i＝1答案B评析1.由函数图象对称性，函数y＝f(x)与y＝|x2－2x－3|图象分别关于直线x＝1对称，则两图象的交点关于x＝1对称.2.解此类求图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解.种类3利用函数的图象求解方程或不等式若研究的方程(不等式)不能够用代数法求解，但其与基本初等函数有关，常将方程(不等式)问题转变为两函数图象的交点或图象的上下地址关系，尔后由图象的几何直观数形结合求解.π【例4】(1)函数f(x)＝2sinxsinx＋2－x2的零点个数为________.|x|＋2，x<1，设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥x＋a在R上恒成立，则a的取值(2)已知函数f(x)＝2x＋x，x≥1.2范围是()A.[－2，2]B.[－23，2]C.[－2，23]D.[－23，23]解析(1)f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，函数f(x)的零点个数可转变为函数y1＝sin2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin2x与y2＝x2的图象以下列图：第12页（共19页）由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.xx(2)作出f(x)的图象以下列图，当y＝2＋a的图象经过点(0，2)时，可知a＝±2.当y＝2＋a的图象与y＝x＋2x的图象相切时，由x2＋a＝x＋2x，得x2－2ax＋4＝0，由＝0，并结合图象可得a＝2.x要使f(x)≥2＋a恒成立，只需f(0)≥|a|，当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0；当a>0，需满足a≤2，所以－2≤a≤2.答案(1)2(2)A基础牢固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1－x21.(2019长·郡中学联考)函数f(x)＝ex的图象大体为()1－x2解析∵f(－x)＝e－x≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，消除选项B，C，第13页（共19页）1－43又f(2)＝e2＝－e2<0，消除A，选D.答案D2.若函数f(x)＝ax－b的图象以下列图，则()A.a>1，b>1B.a>1，0<b<1C.0<a<1，b>1D.0<a<1，0<b<1解析由图象从左向右下降，知0<a<1.又y＝f(x)与y轴的交点(0，1－b)，0<1－b<1，则0<b<1.答案D3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称.而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值是()11A.－eB.－eD.e1解析由题意知g(x)＝lnx，则f(x)＝ln(－x)，若f(m)＝－1，即ln(－m)＝－1，解得m＝－e.答案B4.(2019黄·山一模)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()A.y＝f(|x|)＝f(－|x|)＝|f(x)|＝－f(|x|)解析观察函数图象，图②是由图①保留y轴左侧部分图象，并将左侧图象翻折到右侧所得，所以图第14页（共19页）②中对应的函数解析式为y＝f(－|x|).答案B5.已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象成中心对称的点为()A.(1，0)B.(－1，0)11C.2，0D.－2，0解析f(2x＋1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平11移2个单位获取的，故关于点2，0成中心对称.答案Cex，x≤e，6.(2018广·州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(e－x)的大体图象是()lnx，x>e，ee－x，e－x≤e，解析令g(x)＝f(e－x)，则g(x)＝ln（e－x），e－x>e，ee－x，x≥0，即g(x)＝ln（e－x），x<0，所以g(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，消除A，C；又ee－0>ln(e－0)＝1，消除D，所以B项成立.答案Bd7.(2018衡·阳二模)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c，d∈R)的图象以下列图，则()第15页（共19页）A.a>0，b>0，c<0，d>0B.a<0，b>0，c<0，d>0C.a<0，b>0，c>0，d>0D.a>0，b<0，c>0，d>0解析由题图可知，x≠1且x≠5，则ax2＋bx＋c＝0的两根为1，5，c由根与系数的关系，得－a＝6，a＝5，a，b异号，a，c同号，d又f(0)＝c<0，∴c，d异号，只有B项适合.答案B8.关于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出以下三个命题：f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值.其中正确的个数为()解析作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确.答案B二、填空题9.(2019石·家庄模拟)若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象必然经过点________.解析由于函数y＝f(4－x)的图象能够看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得第16页（共19页）到.点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度.所以函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1).答案(3，1)10.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.解析当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0).k＋b＝0，k＝1，则得∴y＝x＋1.b＝1，b＝1，当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0).∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝14.x＋1，－1≤x≤0，答案f(x)＝14（x－2）2－1，x>011.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是________.解析在同素来角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0).答案(－1，0)12.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的