小学数学讲义暑假五年级第9讲数阵图综合超常体系

第九讲站牌五年级秋季神奇的级秋季的最值级春季级暑假图综合级春季字谜复习数阵图；在数阵图进阶的基础上综合释义第9级上超常体系教师版1引入发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，中华文化起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这是借鉴思维的开端化思维的方式已成为科学灵感的来源之一.发端的幻方等数阵图在数千年后的今天更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题.目标1.能熟练掌握数阵图的基本解题思路，并能运用基本解题思路解决基本数阵图问题；2.掌握并运用幻方解决数阵图问题；3.能够理解并能利用数阵图的基本解题思路解决复杂数阵图问题.精讲把一些数，按照一定的要求，排成各种各样的几何阵列，这样的图形叫做数阵图，数阵图是一类非常有趣而且奇特的数学问题．这类问题中，最早出现的是纵横图，也就是把数纵横排列成正方为三类：1、辐射型数阵图2、封闭型数阵图3、复合型数阵图决数阵图问题的基本思路如下：1、区分数阵图中的普通格和关键格；与幻和可能值；3、运用已经得到的信息进行尝试填图．2 第9级上超常体系教师版思路1例3：幻方变化型数阵图例4：简单复合型数阵图例5：综合复合型数阵图67例8：六角数阵图1心圆内填的数相同，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法.相等.第9级上超常体系教师版3（学案对应：超常1）【分析】（1）首先确定中间数：设每边和为k，(abc)(cd(abcde282c3k

e)(cfg)kkkfg)2c3k

第9级上超常体系教师版大正方形顶点的数之和的一半.（学案对应：带号1）【分析】按图将圆圈依次编号：abcdefgh(acfh)(bdeg)2(bdeg)(bdeg)3(bdeg)1234567836bdeg123612为k(abd)(bce)(fdg)(geh)4kabcdefgh(bdeg)4k(1238)(bdge)4k36124k12k最大是多少？并请给出一种填法.第9级上超常体系教师版5【分析】设每条边三个数之和为S，则4S=（1+2+…+8）+A+B+C+D=36+A+B+C+D，这说明（36＋A+B+C+D）是4的倍数，所以A+B+C+D之和为4的倍数，最大为24.此时S=15，3等．（2）下图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等．（3）把1，2，…，16填入图中16个空白圆圈内，使得四个长方形及四条线段上4个数之和都相等．（学案对应：超常2、带号2）2中选同一行(列)三数放入任一线段或三角形中，而对应的同一列(行)三数放入对应的三角形段中．下图是两种基本放法．6 第9级上超常体系教师版个数的和为15只有两种分法，三阶幻方的三横或三竖.设三条直线上四个数的和为S，则.92图1 图2 图3阵图的一条线段上，接着把幻方的第二行填在数阵图的第二条线段上，但是要保证16和5在数阵图第三条线段上，同时保证16,5,9在同一正方形上，2,11,7在同一正方形，3,10,6在其它的每一竖行在一个正方形就可以了，见右下图（本题答案不唯一）

11 第9级上超常体系教师版7方与反幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的几个数反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和49都相等，那么这个相等的和为_______.A=3果A=9的话，那么右下角的圆圈内只能填1或者2了，此时就要求左下角的数至少为10，因此就要D+6+B=C+D+12=13，是不可能的.一种填数的方法，使得每条直线上圆圈内所填数之和就等于.答案如下图：8 第9级上超常体系教师版分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数++数之和都相等.（对应学案：超常3）S首先考虑图1的五条直线，可得5S=（1+2+…+11）+4A=66+4A，其次，考虑图2的四条直线，可得，4S=66+A，联立两式，解得A=6,S=(66+6)÷4=18.18=11+5+2=11+4+3=10+7+1=10+5+3=9+8+1=9+7+2=9+5+4=8+7+3，其中同时出现在三个算第9级上超常体系教师版9 6.（学案对应：带号3）【分析】如图1，首先，我们把注意力放在下面的和右面的圆圈中，可以得到：A+B+2+5=B+C+7+8，D以不可能 10第9级上超常体系教师版7下图是奥林匹克五环标志，五个圆圈内共分成了九个部分.请在这九个部分中填入1～9这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等.请问：这个和最大是多少？（学案对应：带号4）【分析】设每个大圆圈内数之和为S，3S=1+2+3+4+5+6+7+8+9-c-g=45-c-g，要使S最大，则c和g8的各数之和相等.美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了然数，请你完成这个“六角幻方”.（学案对应：超常4）【分析】首先，根据每条线上的和相等，设这个和为s,只看横行可以得到5s=1+2+3+…+19=190，所设外围12个数之和为x，因为A13B38，E11L38 M19I38，所以C1217x383，同理13+19+11=x-383，所以x157C+12+17=13+19+11=43，C=14从而J38146171，K38111197，H38177122，D38192134，G190x684271190157285，如图表示：第9级上超常体系教师版11株十行栽十行。意思就是有九棵树，种成十行，要求每行要有三棵树，应该怎么种?答案：图中点表示树点总结数阵图大体可以分为三类：1、辐射型数阵图2、封闭型数阵图3、复合型数阵图解决数阵图问题的基本思路如下：12第9级上超常体系教师版1、区分数阵图中的普通格和关键格；幻和可能值；3、运用已经得到的信息进行尝试填图．1、将1～9分别填入图中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都相等.现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.3=15 2、把1～6这六个数填入图的六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最大是多少最小是多少【分析】设每边之和为k，第9级上超常体系教师版13kkk12343k21abc

56abck最大时3k2145k12k最小时3k123k93共有（1）能否将（2）能否将

10个圆圈，6条直线.请问：1～10填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？0～9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？（3）请从1～11中去掉一个数后，将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等.【分析】（1）如果把6条直线上的每一个数都加起来，则说明1到10每一个数加两遍，设幻和为k…

不符.（2）如（1）的方法，可以得到幻和为15，那么上下两横线的和为30，中间两个圆圈的和.上，不能满足要求，所以不能.（3）如（1）的方法，有6k=2×（1+2+……+11-x），可知，x为3的倍数，只能为3、614第9级上超常体系教师版1、将1～5这5个数填入图中的圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等.大圆周和于把每个圆圈里的数加两遍（1+2+3+4+5）×2=30.而这个相等的和加了三遍，这个相等的和为30÷3=10，经过调整，可填一种.，果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整1 分析

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7 ，所以每条边上各数之和为：116421

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次填入即等于14.16第9级上超常体系教师版三个数之和都相等.首先考虑图1的五条直线，可得5S=（1+2+…+11）+4A=66+4A，其次，考虑图2的四条直S立两式=6,S÷4=18 【分析】ad3，bd7，cd5所以a+b+c+d+2d=15，而a+b+c+d=13，所以第9级上超常体系教师版17使得每个圆环内的各数之和都相等.请问：这个和最小是多少？【分析】计算五个圈内各数之和的和，其中b、d、f、h被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+b+d+f+h，而这个和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入小数时能使这个和取得最小值，b、d、f、h为1、2、3、4时，这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11．构造如图：个相等的和是多少？6班学案，都相等.如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法.18第9级上超常体系教师版数，因此A可以取１，4，7，10，对应的S分别为19，21，23，25然后填出四组解分别如【超常班学案2】在下图中，将1~9这九个数填入圆圈内，使每个三角形三个顶点的数之和都相等．6)(2、4)(2、5)(3、5)(27、6)(384)(456)在上述8种情况下出现的次数看，数2、4、5、6、8都均出现了三次及以上，其他数均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的中间三个圆圈内，这就得到本题的两个基本解．么，标有★的圆圈中所填的数是多少？第9级上超常体系教师版19 abedc234，axdxcebx234，可知abedc234234，所以3x234，x78．【超常班学案4】把1～12分别填入下图所示六角星的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整.【分析】627cc51a,9a,每行和93b618b627c18b,c3

b1183,c11，b

8,x10备武器？20第9级上超常体系教师版掩体 掩体 掩体 掩体 城堡 掩体 掩体 掩体 【分析】设各边和为k，4k(12310)abcd55abcd55abcd最大为5578