小学数学讲义暑假五年级第14讲必胜策略优秀A版

第十四讲站牌五年级秋季神奇的级春季情况考虑级暑假级暑假级春季智巧趣题的数学称思想释义第9级上优秀A版教师版1引入我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马定各从自己的马中选个等级的马都不如齐王的好忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马.田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨.这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科.下面我们就研究下游戏中的必胜策略.目标1.掌握对策问题寻找胜局的方法；2.利用数论的知识解决相关的对策问题．精讲小学数学中的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．对策问题研究的是一个“活的”对手，因而在考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所采取的各种可能的方案中都占据有利的局面．这种局面称作“胜局”，么在一种游戏规则下，是否存在“胜局”？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键．概括起来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题．对策问题的3个最基本要素：①局中人在一场竞赛或争斗中的参与者他们为了在对策中取得最终胜利定出对付对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人．局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞”策”．②策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案，在一局对策中，各个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略．③一局对策的得失．在一局对策中，必有胜利者和失败者．比赛成绩的好坏，我们称之为“得失”．每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系．2 第9级上优秀A版教师版思路模块1：例1-3：奇偶性1根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？(学案对应：学案1)【分析】法1：抓不变量，巍巍每次都能保证二人每轮都拿走6根，于是55÷6=9……1，所以先去1胜.想想练练：桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1~3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，甲先取那么谁将获胜【分析】乙胜，和对方凑42根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？【分析】显然，每次只能取走奇数根，55只能是奇数个奇数的和，于是巍巍胜.想想练练：桌子上放着56根火柴，巍巍、涛涛二人轮流取，每次可取走2根、6根或14根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？21.第9级上优秀A版教师版3弈论中诺贝尔奖•J1996年，授予英国剑桥大学的詹姆斯•莫里斯（JamesA.Mirrlees）与美国哥伦比亚大学2001年，授予美国伯克利加利福尼亚大学的乔治•阿克尔洛夫（GeorgeA.Akerlof）生于1940年、美国斯坦福大学的迈克尔•斯宾塞（A.MichaelSpence）和美国纽约哥伦比亚大2005年，授予美国马里兰大学的托马斯•克罗姆比•谢林(ThomasCrombieSchelling)和耶路•2007年，授予美国明尼苏达大学的里奥尼德•赫维茨（LeonidHurwicz）、美国普林斯顿大学的埃里克•马斯金(EricS.Maskin）以及美国芝加哥大学的罗杰•迈尔森(RogerB.2012年，授予美国经济学家埃尔文•罗斯（AlvinE.Roth）与罗伊德•沙普利因（LloydS.一门工具学科能够在经济学中如此广泛运用并得到学界垂青实为罕见。3如果要取胜应采取什么办法(学案对应：学案2)22右；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走，就能发现甲走完之后向上和.方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜4一个，如果最后这个五位数能被4整除，则甲胜；如果不能被4整除，则乙胜．甲先填，谁有必胜策略？(学案对应：学案3)【分析】甲一上来必填E，否则乙在E填1，肯定不是4的倍数，于是甲需要在E填一偶数，如果乙有必胜策略4 第9级上优秀A版教师版想想练练：甲、乙两人玩数字游戏，他们轮流用1～9中任一数字（数字可重复使用）代表五位数88谁有必胜策略？【分析】能被8整除，必能被4整除，此题与例4一样，所以乙有必胜策略.5个数为止．如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜．⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略?必胜策略是怎样的?谁有必胜策略?(学案对应：学案4)划一个数，甲就划去与乙划去的数同组的数，这样最后必然剩下两个在同一组的数．由于同组的数都是互质的，所以甲必胜．⑵乙有必胜策略．无论甲如何划，乙在前47次只划去奇数，并且留下3，9，15这三个奇4733，博弈假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪食供应97槽边，收益比是∶4。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果小猪选择等待还是按控制按钮。小猪选择等待，让大猪去按控制按钮，而自己选择等待的原因很简单：在大猪选择行动的前提下，小猪选择等待的话，小猪可得到4个单位的纯收益，而小猪行动的话，则仅仅可以获得大猪吃剩的1个单位的纯收益，所以等待优于行动；在大猪选择等待的前提下，小1么小猪的收益为零，成本也为零，总之，等待还是要优于行动。第9级上优秀A版教师版5提高甲，乙轮流从1～17这17个数中标记数，规定：（1）每次标记一个数；（2）不能标记已标记的数；

（5）谁没数可标记谁就输.现在甲先标记了8，乙要保证自己必胜，乙接着应该标记____.【分析】甲标了8后，4和16就不能再标记.剩下的数分成以下几组.第一组（，6，12第二组（1，2）（5，10）（7，14）第三组（）（1113）（1517.所以最后一个可标记数是乙标记的.乙必胜.1.甲乙两人轮流在黑板上写2～7之间的正整数，规定在黑板上写过的数，它的任何倍数就不能再2正整数呢？2.如下图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，巍巍、涛涛二人交替地移动这枚棋子，巍巍先涛涛后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．如果巍巍先移，巍巍是否有制胜的策略？ 2 3 4 5 6 …… 20072008】43格，这样还剩下2004格(4的倍数格)；以后涛涛每移动4nk格(k1、2或3)，巍巍就6 第9级上优秀A版教师版3.甲乙两人轮流在黑板上写小于9的正整数，规定在黑板上写过的数，它的任何因数就不能再写了，最后不能写的人为失败者.如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略？6【分析】注意题目中的条件，小兵计算上、下两行6个数的和．即为abcfgh；小强计算左、右两列数的和，即为adfceh．现在看这两个和，其中a、c、f、h为重复项，对于比较大小来说没有意义，真正有意义的是小兵的bg和小强的de，这几个数决定他们谁输谁赢，要想获胜就要尽量把大的数填在自己一方，小的数填在别人一方，下就知道怎么填是必胜的了．自己一方，一种是将1填在小兵那里．若小强将9填在自己一方，则下次小兵将1填在小强那里，小兵必胜，从而小强需将1填在小兵那里，那么下次小兵只能将最小的3填在小(再往自己的格里填)，从而得到，先往自己的格里填大数是不可取的，并不能保证获胜，从而知，必须往别人的格里填小数．还是假设小兵先填，那么，他10915.在一个33的方格纸中，巍巍、铮铮两人轮流(巍巍先)往方格纸中填写1、2、3、4、5、6、7、铮的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜．请你为巍巍找出一种必胜的策略．【分析】应把10填在自己的势力范围之内.(1个数中的一个，数不能重复．最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜．请你为甲找出一种必胜的策略．【分析】上两个问题，由于9个数字的不对称性，策略分别是选择“削弱别人”和“增强自己”.两种不同的方法.而这个问题中，9个数字是对称的，故以上两种方法都不适用.9个格子里面，有2.性，在这个问题里面第一步选择“削弱别人”与“增强自己”都是可以的，关键在于之后怎么走.我们假设甲第一步选择增强自己自己或填无关格，那么甲只要拿到7或8给自己，乙必败.因此乙只能选择削弱甲.里的数字和达到.若甲选择削弱乙，那么只能把剩8只能把8填入无关格.8..7那么甲必然会把2放入乙的格子.因此乙只能先把2放入无关格.第9级上优秀A版教师版7填满，只剩下4,5两个数给乙，甲胜.若甲第一步选择削弱别人，有同样的思路.这时是乙的关键格有10分，甲有11分.7.甲乙两人轮流在黑板上写3～8之间的正整数，规定每次在黑板上写的数要满足以下条件：它的.必胜策略是什么？3～9呢？9.点总结对策问题的3个最基本要素：①局中人在一场竞赛或争斗中的参与者他们为了在对策中取得最终胜利定出对付对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人．局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞”策”．②策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案，在一局对策中，各个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略．③一局对策的得失．在一局对策中，必有胜利者和失败者．比赛成绩的好坏，我们称之为“得失”．每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系．作业1. 果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？【分析】乙胜，和对方凑52. 只能向下，向右走一格．如图中棋子可以走入A、C两格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜．如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？CB8 第9级上优秀A版教师版【分析】一共差8个格，每次走一个格，所以肯定要走8次，肯定乙赢.3. 只能向下，向右或向右下走一格．如图中棋子可以走入A、B、C三格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜．如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？CBCB 【分析】法1（奇偶，重点）甲先走到B处，还需向下走4格，向右走2格，都是偶数，接下来甲保证每次走之后向下和向右都是偶数格，就行了，甲必胜法2（倒推法，选讲）要想最后一步走到右下角的方格1中，必须让对方倒数第二步走入的方格中；依次类推，倒数第六步必须让对方走到标“6”的方格中；倒数第七步必须走到B胜．因此，甲就必胜．4. 中的一个，如果最后这个五位数能被9整除，则甲胜;如果不能被9整除，则乙胜.甲先填，谁有必胜策略？【分析】甲，因为甲写最后一个数字，1～9中必有一个能让数字和是9的倍数，所以甲胜.5. 一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2、3、4、……、1000，两人轮流擦去其中的一个数，由小明先擦，小聪后擦，若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜．问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由．而黑板上恰好有499个奇数，所以一定能将所有奇数擦光，最后剩下两个偶数，它们一定不互质．6. 取1个、2个或5个，取最后一个球的人胜利．应当采取怎样的策略？33第9级上优秀A版教师版9A版学案【学案1】桌子上放着55根火柴，巍巍、涛涛二人轮流每次取走1～3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？【分析】采用逆推法分析．获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1、2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，48只要巍巍第一次取走3根，以后每一次，涛涛取几根，巍巍就取4减几根，使得每次巍巍思考：为什么一定要留给对方4的倍数根火柴，而不是5的倍数根或者其它数的倍数根呢？关键在3的范围内．人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者．问必胜的策略是什么？9行9列，可以先走一步对角线，现在差8行8列，对方无论怎么走，一定会让行或者列差奇数个，先手的任务就是把奇数个都变成偶数个，最后就胜利了.C三点之一．因为：⑴如果你占领了A点，按照游戏规则，对方只能向下走一步，O必然被你占领．⑵如果你占领了C点，按照游戏规则，对方只能向左走一步，O点同样被你占领．10第9级上优秀A版教师版A O 要想占领B点，就必须占领E、F、G三点之一；要想占领C点，就必须占领B、G、H三点之一．如图所示．“制高点”“制高点管对方怎样走，你都可以去占领下一个“制高点”．以必胜的策略是：(1)先走，将棋子向左下对角线走一步，到达一个制高点”“先到达O点．【学案3】甲、乙两人玩数字游戏，甲先乙后，他们轮流用1~9中任一数字（数字可重复使用）代表五位数ABCDE中的一个，如果最后这个五位数能被4整除或者被4除余1，则甲胜；如果被