引函数微分与反函数微分课件

隱函數的微分(ImplicitDifferentiation)雖然方程式中的x和y並沒有函數關係,但若我們將y限制為大於等於0,則x和y有函數關係且(如下圖的圖(b)所示)。隱函數的微分(ImplicitDifferentiatio圖1圖1由此函數關係,我們可求y對於x,|x|<r的微分為所以對於圓(r≠0)上的一點我們可得其切線為由此函數關係,我們可求y對於x,引函数微分与反函数微分课件但是並不是所有的方程式都如此容易地利用限制變數的範圍以獲得明確的函數關係,進而求取方程式所代表之曲線上某一點的切線。但不管如何我們都可限制變數的範圍而使得兩變數具有一種函數關係,此種利用限制方程式中的變數範圍所獲得的函數關係我們稱之為隱函數。但是並不是所有的方程式都如此容易地利用限制變數的範圍以獲得明如下所示,圖2(a)為曲線f(x,y)=0,若我們取點附近的一段如虛線框框所示的曲線,則如圖2(b)所示y和x將有函數關係y=y(x),利用微分法則我們可求得其微分。圖2(a)(b)如下所示,圖2(a)為曲線f(x,y)=0,若我們取點例如上例中y對x,|x|<r的微分,利用微分法則可得例如上例中y對x,|x|<r的微分,利用微分法則例1:(a)求(foliumofDescartes)中的。(b)求曲線在點(3,3)的切線。(c)在曲線上的何點,其切線為水平。解:(a)利用隱微分(隱函數微分),可得例1:(a)求(b)

當x=y=3,曲線在點(3,3)的切線為y-3=-1(x-3)或x+y=6(b)當x=y=3,(c)當切線為水平時,,故得代入,可得

將上式化簡成,可解得x=0或。經由上述的計算,我們可知在曲線上的點(0,0)和,其切線為水平。(c)當切線為水平時,,故得例2:求中y對x的微分。解:將兩邊同對x微分。例2:求例3:求的隱微分。解:例3:求例4:求的隱微分。解:例4:求例5:求的隱微分。解:例5:求例6:求曲線上通過點(0,1)的切線。解:例6:求曲線將(0,1)代入上式,得曲線上通過點(0,1)的切線斜率為,故切線為將(0,1)代入上式,得曲線例7:方程式xy=c,c≠0代表一組雙曲線。方程式,k≠0代表另一組雙曲線,其漸進線為y=x。驗證這兩組雙曲線互相垂直,亦即其交點的切線互相垂直。解:將方程式xy=c做隱微分,可得例7:方程式xy=c,c≠0代表一組雙曲線。方程式將方程式做隱微分,可得由於故兩組雙曲線交點的切線互相垂直。將方程式做隱微分,例8:利用隱微分驗證橢圓在點的切線為例8:利用隱微分驗證橢圓解:解:將點代入上式,可得橢圓過點的切線斜率為切線則為將點代入上式,可得橢圓過點將上式兩邊同除以,可得將上式兩邊同除以,可得例9:求雙曲線在點的切線方程式。解:利用隱微分例9:求雙曲線將點代入上式,可得雙曲線過點的切線斜率為將點代入上式,可得雙曲線切線則為將上式兩邊同除以,可得切線則為例10:求橢圓過點(1,1)的切線。解:利用隱微分,可得例10:求橢圓將點(1,1)代入上式,可得橢圓過點(1,1)的切線斜率為切線則為將點(1,1)代入上式,可得橢圓例11:求拋物線過點(1,2)的切線。解:利用隱微分,可得例11:求拋物線將點(1,2)代入上式,可得拋物線過點(1,2)的切線斜率為切線則為將點(1,2)代入上式,可得拋物線例12:若,且f(1)=2,求。解:利用隱微分,可得例12:若將f(1)=2代入上式,可得將f(1)=2代入上式,可得例13:求的隱微分。解:

例13:求例14:驗證曲線上任一點的切線,其x-截距和y-截距之和等於c。解:設為曲線上的一點。例14:驗證曲線將點代入上式,可得曲線過點的切線斜率為切線則為將點代入上式,可得曲線x-截距為y-截距為x-截距為x-截距+y-截距等於x-截距+y-截距等於例15:利用隱微分驗證以O為原點的圓,此圓上的任一點P,其切線垂直半徑OP。解:設O對應直角座標的原點(0,0),而此圓的半徑為r,其所對應的方程式為。由於幾何性質不受座標選取的影響,故我們可設P點的座標為(x,y),且x≠0,y≠0。利用隱函數微分,可得例15:利用隱微分驗證以O為原點的圓,線段OP的斜率為,而切線斜率為

,兩者的乘積為故得証。線段OP的斜率為,而切線斜率為例16:求的隱微分。解:

例16:求例17:利用隱微分求曲線上點的切線。解:例17:利用隱微分求曲線將點代入上式可得切線斜率為故切線為將點代入上式可得切線斜率為例18:利用隱微分求曲線上點的切線。解:例18:利用隱微分求曲線將點(3,1)代入上式可得切線斜率為將點(3,1)代入上式可得切線斜率為曲線過點(3,1)的切線為曲線例19:利用隱微分求曲線上點的切線。解:將點代入上式,可得曲線過點的切線斜率為

例19:利用隱微分求曲線

切線則為

例20:求的隱微分。解:

例20:求例21:求的隱微分。解:

例21:求例22:利用隱微分求曲線上點的切線。解:例22:利用隱微分求曲線將點(0,-2)代入上式可得切線斜率為切線則為將點(0,-2)代入上式可得切線斜率為例23:求的隱微分。解:

例23:求例24:求曲線上的點,其切線為水平。解:例24:求曲線切線為水平,則切線的斜率為0,故所以x=0或圓上的點滿足。切線為水平,則切線的斜率為0,故將x=0代入,得但是x=0,y=0這一點必須排除,因為將(0,0)代入,分母將為0,故不合。將x=0代入將代入方程式可得將代入方程式將代入上式,可得所以點和點的切線為水平。將代入例25:求的隱微分。解:

例25:求例26:求的隱微分。解:

例26:求反函數微分定理1(反函數微分定理)設函數f在區間I為嚴格遞增(或遞減)且可微分。若f在區間I內的一點x,其微分值則f的反函數在x的對應點y=f(x)為可微分,且反函數微分定理1(反函數微分定理)證明:函數f在區間I為嚴格遞增(或遞減),則函數f為1對1函數,故其反函數存在。根據微分的定義

令,但是由於,所以再根據反函數的定義證明:函數f在區間I為嚴格遞增(或遞減),則函數f為1對1將上述結果帶入將上述結果帶入可得由於y=f(x)為可微分,故y=f(x)為連續,亦即可得所以將之帶入前面的式子,可得所以利用極限定理,可得定理得證。利用極限定理,可得定理得證。在第一單元裡我們已定義過指數函數和對數函數,以下我們將探討其微分。對於指數函數的微分函數,根據定義:在第一單元裡我們已定義過指數函數和由上式可知若在x=0可微分,則為可微分。以下我們接受在的事實,其中的一個無理數滿足故得。由上式可知若在x=0可微因為,所以利用微分法則中的ChainRule可得因為我們利用前面的反函數微分定理求的反函數的微分。令y=lnx,則。由於所以我們利用前面的反函數微分定理求由於,所以由於,所以例27:求對x的微分。解:利用ChainRule,令,則例27:求對x例28:求對x的微分。解:雖然我們可用微分除法法則(QuotientRule)來求得解答,但若將上式兩邊同取自然對數ln後再微分,計算上可能會較容易。例28:求將兩邊同對x微分,可得將兩邊同對x微分,可得引函数微分与反函数微分课件例29:求對x的微分。解:同上例將上式兩邊同取自然對數ln,得,然後兩邊同對x微分:例29:求對x的微分。另一種解法為將直接對x微分:另一種解法為將引函数微分与反函数微分课件隱函數的微分(ImplicitDifferentiation)雖然方程式中的x和y並沒有函數關係,但若我們將y限制為大於等於0,則x和y有函數關係且(如下圖的圖(b)所示)。隱函數的微分(ImplicitDifferentiatio圖1圖1由此函數關係,我們可求y對於x,|x|<r的微分為所以對於圓(r≠0)上的一點我們可得其切線為由此函數關係,我們可求y對於x,引函数微分与反函数微分课件但是並不是所有的方程式都如此容易地利用限制變數的範圍以獲得明確的函數關係,進而求取方程式所代表之曲線上某一點的切線。但不管如何我們都可限制變數的範圍而使得兩變數具有一種函數關係,此種利用限制方程式中的變數範圍所獲得的函數關係我們稱之為隱函數。但是並不是所有的方程式都如此容易地利用限制變數的範圍以獲得明如下所示,圖2(a)為曲線f(x,y)=0,若我們取點附近的一段如虛線框框所示的曲線,則如圖2(b)所示y和x將有函數關係y=y(x),利用微分法則我們可求得其微分。圖2(a)(b)如下所示,圖2(a)為曲線f(x,y)=0,若我們取點例如上例中y對x,|x|<r的微分,利用微分法則可得例如上例中y對x,|x|<r的微分,利用微分法則例1:(a)求(foliumofDescartes)中的。(b)求曲線在點(3,3)的切線。(c)在曲線上的何點,其切線為水平。解:(a)利用隱微分(隱函數微分),可得例1:(a)求(b)

當x=y=3,曲線在點(3,3)的切線為y-3=-1(x-3)或x+y=6(b)當x=y=3,(c)當切線為水平時,,故得代入,可得

將上式化簡成,可解得x=0或。經由上述的計算,我們可知在曲線上的點(0,0)和,其切線為水平。(c)當切線為水平時,,故得例2:求中y對x的微分。解:將兩邊同對x微分。例2:求例3:求的隱微分。解:例3:求例4:求的隱微分。解:例4:求例5:求的隱微分。解:例5:求例6:求曲線上通過點(0,1)的切線。解:例6:求曲線將(0,1)代入上式,得曲線上通過點(0,1)的切線斜率為,故切線為將(0,1)代入上式,得曲線例7:方程式xy=c,c≠0代表一組雙曲線。方程式,k≠0代表另一組雙曲線,其漸進線為y=x。驗證這兩組雙曲線互相垂直,亦即其交點的切線互相垂直。解:將方程式xy=c做隱微分,可得例7:方程式xy=c,c≠0代表一組雙曲線。方程式將方程式做隱微分,可得由於故兩組雙曲線交點的切線互相垂直。將方程式做隱微分,例8:利用隱微分驗證橢圓在點的切線為例8:利用隱微分驗證橢圓解:解:將點代入上式,可得橢圓過點的切線斜率為切線則為將點代入上式,可得橢圓過點將上式兩邊同除以,可得將上式兩邊同除以,可得例9:求雙曲線在點的切線方程式。解:利用隱微分例9:求雙曲線將點代入上式,可得雙曲線過點的切線斜率為將點代入上式,可得雙曲線切線則為將上式兩邊同除以,可得切線則為例10:求橢圓過點(1,1)的切線。解:利用隱微分,可得例10:求橢圓將點(1,1)代入上式,可得橢圓過點(1,1)的切線斜率為切線則為將點(1,1)代入上式,可得橢圓例11:求拋物線過點(1,2)的切線。解:利用隱微分,可得例11:求拋物線將點(1,2)代入上式,可得拋物線過點(1,2)的切線斜率為切線則為將點(1,2)代入上式,可得拋物線例12:若,且f(1)=2,求。解:利用隱微分,可得例12:若將f(1)=2代入上式,可得將f(1)=2代入上式,可得例13:求的隱微分。解:

例13:求例14:驗證曲線上任一點的切線,其x-截距和y-截距之和等於c。解:設為曲線上的一點。例14:驗證曲線將點代入上式,可得曲線過點的切線斜率為切線則為將點代入上式,可得曲線x-截距為y-截距為x-截距為x-截距+y-截距等於x-截距+y-截距等於例15:利用隱微分驗證以O為原點的圓,此圓上的任一點P,其切線垂直半徑OP。解:設O對應直角座標的原點(0,0),而此圓的半徑為r,其所對應的方程式為。由於幾何性質不受座標選取的影響,故我們可設P點的座標為(x,y),且x≠0,y≠0。利用隱函數微分,可得例15:利用隱微分驗證以O為原點的圓,線段OP的斜率為,而切線斜率為

,兩者的乘積為故得証。線段OP的斜率為,而切線斜率為例16:求的隱微分。解:

例16:求例17:利用隱微分求曲線上點的切線。解:例17:利用隱微分求曲線將點代入上式可得切線斜率為故切線為將點代入上式可得切線斜率為例18:利用隱微分求曲線上點的切線。解:例18:利用隱微分求曲線將點(3,1)代入上式可得切線斜率為將點(3,1)代入上式可得切線斜率為曲線過點(3,1)的切線為曲線例19:利用隱微分求曲線上點的切線。解:將點代入上式,可得曲線過點的切線斜率為

例19:利用隱微分求曲線

切線則為

例20:求的隱微分。解:

例20:求例21:求的隱微分。解:

例21:求例22:利用隱微分求曲線上點的切線。解:例22:利用隱微分求曲線將點(0,-2)代入上式可得切線斜率為切線則為將點(0,-2)代入上式可得切線斜率為例23:求的隱微分。解:

例23:求例24:求曲線上的點,其切線為水平。解:例24:求曲線切線為水平,則切線的斜率為0,故所以x=0或圓上的點滿足。切線為水平,則切線的斜率為0,故將x=0代入,得但是x=0,y=0這一點必須排除,因為將(0,0)代入,分母將為0,故不合。將x=0代入將代入方程式可得將代入方程式將代入上式,可得所以點和點的切線為水平。將代入例25:求的隱微分。解:

例25:求例26:求的隱微分。解:

例26:求反函數微分定理1(反函數微分定理)設函數f在區間I為嚴格遞增(或遞減)且可微分。若f在區間I內的一點x,其微分值則f的反函數在x的對應點y=f(x)為可微分,且反函數微分定理1(反函數微分定理)證明:函數f在區間I為嚴格遞增(或遞減),則函數f為1對1函數,故其反函數存在。根據微分