自适应及部分阵列处理技术

课程内容回顾阵列信号处理定义阵列信号处理又称空域信号处理。它是将多个传感器

置

空间的不同位置组成传感器阵列，并利用这一阵列对空间信号场进行接收（多点并行采样）和处理。快拍snapshot2波束形成的基本原理（Beamforming）12Nd·

基本思想求和，在同一时间内“

”1w*w*2Nw*到一个方向上。的功率，对期望信号得到给出波达方向估计。34主要任务形成阵列接收的方向性进行空域滤波，抑制空间干扰与环境噪声，提高信噪比估计信号到达方向，进行目标分辨为信源定位创造条件为目标识别提供信息如何评价波束形成器？评价空域滤波性能？12.

N·Beamforming阵列输出为：y

t

wH

xt

st

wH

a

d1w*2w*Nw*x

t

实际上是空域采样信号，波束形成实现了对方向角

的选择，即实现了空域滤波。这一点可以对比时域滤波，实现频率选择。记：，称为方向图或波束图。

Hwp

w

a

当

w

对某个方向的信号同相相加时，pw

得5的模值最大。定义：阵列输出的绝对值与来波方向之间的关系称为天线的方向图。给定阵列全矢量对不同角度信号的阵列响应p

2定义方向图增益：G

p

22Gu

max

p

Gu

dB

10log

Gu

均匀直线阵下

01

eHHp

w

a

a

a

j

2

dN

sin

sin

0

0j

2

d

sin

sin

1

e由其结构形状、阵元数目及处理算法等因素决定？6o

，d

/2八元均匀线阵，来波方向指向0

0-1008-2046幅度-40-30归一化阵列响应dB2-5050-50-100-500到达角()p

5010000到达角()Gu7o

，d

/2八元均匀线阵，来波方向指向0

08方向图有以下特点：246幅度sinx

/x

形状，其最p

-100-500501000到达角()1、波束成N。宽度为：0.886Nd

/

50.8Nd

/

B

(rad

)

(o)-100-40-30-20归一化阵列响应dB主瓣宽度正比于天线孔径的倒数2、最大副瓣为

一副

，且为-13.4dB。-5050-500到达角()Gu

sin

N

0

p

2

sin

N

d

sin

/

sin

d

sin

/

为了降低副瓣，须采用幅度（又称为加窗）sin

0

28N=8N=3283035620254幅度1015幅度025-100-50501000到达角()1000-100

-500

50到达角()9随着阵元数的增加，波束宽度变窄，分辨力提高波束宽度主瓣宽度一般定义为半功率宽度，即相对最大增益下降3dB的宽度主瓣宽度决定了阵列的分辨率令

20.5usin

N

d

sinG

0.50.50.5

sin

0解得0.5/

N

sin

d

sin

/

-20-1051o

0.89BW

20.5

D

/

D

/

rad-40-30归一化阵列响应

dB10波束宽度在DOA估计中，线阵的测向范围为90o，90o

即对于ULA，波束宽度为：BW

其中D为天线的有效孔径，可见波D束/

宽

度D与/

天线孔径成反比。分辨力目标的分辨力是指在多目标环境下

能否将两个或两个以上邻近目标区分开来的能力。波束宽度越窄，阵列的指向性越好，说明阵列的分辨力随阵元数增加而变好，故与天线孔径成反比。51o

0.89

rad116050N=8N=128N=1024403020100波束宽度()0208010040

60到达角()12d

/2d

20-100-10-30-20-30-20-40归一化阵列响应dB-40归一化阵列响应dB-5050-500到达角()-5050-500到达角()13当阵元间距

d

/

2。时，会出现栅瓣，导致353025幅度按定义的方向图权向量作fft2015105类似于时域滤波，方向图是最优权的变换0-100

-80

-60

-40

-200

20

40到达角()608010014·

空时等效性x(n)x(n-1)x(n-N+1)z-1z-1z-11w**w2*wNw1(n)w2

(n)wN

1(n)wN(n)自适应算法y(n)e(n)d(n)

nNNw

xej

2

ux

p

u

w

n

ej

2

u

n

1

dNHj

2

n

1d

sin

n

1p

w

a

w

n

enn1n

1u

sinxn

n

1d空间频率空间采样位置w

x

wn空间角频率

2u

2

sinn15s时间谱与空间谱时间谱：表示

号在各个频率上的能量分布空间谱：表示信号在各个方向上的能量分布空间谱实际上就是信号的波达方向（

Directiono

Arrival，DOA

），故空间谱估计又称为DOA估计，或者方向估计，或角度估计或测向。因为空间谱估计技术具有

的空间信号的分辨能力，能突破并进一步改善一个波束宽度内的空间不同来向信号的分辨力，所以DOA估计是一种

分辨的谱估计。1617NN

u

n

1

dn1p

u

w

n

e

j

2nj

2

uxnw

xen1空域与时域FIR滤波器FIR:

在时域对时间信号作离散采样阵列:在空域对空间信号作离散采样空域信号空间角方向可视为空间角频率信号在各个角方向的功率分布可为空间功率谱或所谓的角功率谱可对信号作一系列的运算，如滤波、分离和参数估计等时间采样与空间采样时域采样定理：Nyquist理论，如果一个信号在频率f之外无其它频率分量，那么该信号由其整个持续期内的采样频率2f的信号采样值完全确定，从而。

空间采样：采样频率必须足够高才不会引起空间模糊（即空间混叠），但由于受到实际条件的限制，，

，所以会出现旁瓣泄漏。18空时等效性信号类型名称时域信号空域信号采样变元时间采样空间采样

快拍谱频谱空间谱（角谱）系统函数传递函数方向图滤波处理对某些频率的信对某些方向的信19S-1：低副瓣CBF的方向图增益

300d

/

2-100，，

，0？-30-20使得ULA的CBF方向图第一副瓣电平低于-20dB，画出其方向图增益。比较、分析不同

后的副瓣电平-40归一化阵列响应dB-5050-500到达角()说明对阵列方向图的

方法及加权系数的设计方法*

设计第一副瓣电平低于-30dB，甚至达到更低dB数Gu

p

2max

p

2Gu

dB

10log

Gu

20阵列信号模型Stochastic信号的基本模型Output

data（X）=Signal（S）+Noise（N）DesiredUndesired(Jamming)Non-GaussianGaussianStationary21Q1:均匀圆阵（UCA）的

a

？nxz

n

2

n

/

N则M元均匀圆阵的导向矢量：

e

jkRsin

cos(

0)a

e

jkRsin

cos(

1

)

xUCA圆阵半径为R阵元数为Ne

jkRsincos(

N

1

)

以均匀圆阵的中其中k

2

/22S-2：CA的方向图增益0，，，0N

16

30

d

/

2求UCA方向图增益。比较分析不同阵元数、不同间距下的方向图增益分析副瓣电平和主瓣宽度的变化*

非均匀

阵和圆阵）的方向图增益波束指向：

/4,

23Q2:如何描述阵列观测值？x

t

s

(t)

n(t)ObservationsSignal协方差矩阵covariance

matrixxsnR

E

x(t)

xH

(t)

R

RE

n(t)nH

(t)E

s

t

s

H

t

R

is

Hermitian24Q2-3：怎样计算常规波束形成的输出信噪比？Q2-4：在色噪声背景下，普通波束形成的空域滤波器是否最优？Q2-5：如何区分四个信源?Four source

scene25·

普通波束形成的优缺点优点：是一个匹配滤波器，在主瓣方向信号相干积累，实现简单，在白噪声背景下它是最优的。缺点：1)

波束宽度限制了方向角的分辨。2)

存在旁瓣，强干扰信号可以从旁瓣进入。3)

加窗处理可以降低旁瓣，但会同时展宽主瓣。总之，普通波束形成依赖于阵列几何结构和波26达方向角，而与信号环境无关，抑制干扰能力弱。27阵列的空域滤波性能由其结构形状、阵元数目及处理算法等因素决定。波束形成器的优劣：阵增益、稳健性、旁瓣级、主瓣宽度、主瓣响应、频率响应波束形成器的优劣：阵增益高，提高系统对弱目标的检测能力稳健性高，减小各种失配对波束形成的性能影响旁瓣级低，有效抑制旁瓣干扰，降低虚警概率主瓣宽度窄，提高目标方位分辨能力Dolph-Chebyshev波束设计方法1946Capon波束形成器

Cox稳健自适应波束处理方法1969

19872829介绍自适应控制最优准则及最优权的稳态解，以及最优权的求解算法（递推算法、梯度算法）介绍部分自适应阵列处理中的降维算法、降秩算法3.1

自适应滤波回顾·

维纳滤波最小均方误差（Minimal

Mean

Square

Error,MMSE）准则下的线性滤波，通过求解维纳-夫方程对平稳信号进行最优

2ˆE

e

n

和滤波。d

nen

2ˆE

d

n

d

n22

E

n

E

n

d

n

mindˆnx

nwxWiener-Hopf

方程Rxw

r

xdWiener

filter

结构平稳随机信号Wiener解1w

Rx

r

xd30自适应滤波应用时域、空域及空时自适应滤波确定自适应权矢量的常用准则最大信干噪比（MSINR）准则最小均方误差（MMSE）准则最小噪声方差（MNV）准则线性约束最小方差准则（LCMV）准则……31H·

常规波束形成（conventional

beamforming,

CBF）是一个空间匹配滤波器，在主瓣方向信号相干积累，在白噪声背景下它是最优的。Q2-3：怎样计算常规波束形成的输出信噪比？

y

t

w

x

t

0

0H

w

a

st

n

t

aH

a

s

t

aH

n

t

0

0

0

00w

a

22

2

Ns0

t

a

n

t

H0HP

2

0ssNs

tP

E

00nn2nP

N

E

a

R

t

a

Nn2nPSNR

CBF

s

N s

N

SNR

e单个阵元输入信噪比CBF阵列增益G

SNRCBF

NCBF32eSNR.

自适应波束形成y

t

wH

x

t

对于平稳随机信号，输出信号功率为：

33E

y

t

2

E

wH

x

t

wH

x

t

H

E

wH

x

t

xH

t

w

wH

E

x

t

xH

t

w定义：阵列信号相关矩阵

Rx

E

x

tx

H

t

它包含了阵列信号所有的统计知识（二阶）3.2

自适应波束形成阵列接收信号：QPxin

tx(t)

a

k

sk

(t)

a

l

sl

(t)

n

t

k

1

l

1干扰、噪声向量与信号不相关阵列输出信号：

y

t

wH

x

t

wH

x

t

wH

x

ts

in输出功率：

2H

HEy

ts

in

w

R

w

w

R

w信号功率干扰加噪声功率

PHHt

a

aR

E

x

t

x

2QHHl

lnt

xint

a

a

IinR

E

xinss

s2kkkk

12l34

l13.2.1

最大信干噪比（MSINR）准则使系统的输出信干噪比最大：wH

R

wmax

SINR

max

s

inwH

R

w

1w

wwH

R

win用日乘子法，目标函数为：L

w

wH

R

w

I

wH

RwsinRs

w

Rin

w求导有：wH

R

w

s

wH

R

winwoptmax353.2.1

最大信干噪比（MSINR）准则单点源下广义特征值求解：Rs

wopt

max

Rin

wopt

20

0HHss

sstR

E

x

t

x

a

a

20Hopts

0in

opt

a

a

w

R

w

2

H0opt

max

w

/

s

a10in

opta

R

wwopt

阵列最优全矢量对应的最大输出信干噪比为：0R

a

2

aH

R

a

1in

0

max

s

0

in

02

Hopts

wHR

wopt

s

opt

R

a

1in

0SINR

awH36R

wopt

in

opt·

几个特例：2n

ni

n1.

在

白噪声条件下，

R

IRs

wopt

max

Rin

wopt2s

opt

max

n

optR

w

w可见：wopt

是Rs

的最大特征值对应的特征向量。.，

，

a

0

wopt如何应用SINR准则设计最优波束形成器，关键在于

否分别计

号、干扰及噪声功率当既有信号又有噪声时，可利用参考单元估计噪声协方差矩阵。37-100信号方向图增益干扰方向图增益Normalized

Spectrum/dB-20-30-40-60-50-80oo-60-40-20204060800DOAs/degreeMSINR

，38

0

0

，1

20附录

数学基础·

线性代数知识点线性空间、

空间、线性无关、子空间、最大线性无关组、正交性、子空间分解、正交分解、线性变换、正交投影算子

、正交变换、正交矩阵、矩阵分解、矩阵求导39以常用字母加低杆表示矢量和矩阵，并且用小写字母表示矢量，大写字母表示矩阵，如：

a1

21112bb

ba

a

B

b

21 22

·

正交变换与正交矩阵a

3

线性变换是正交变换，如果对线性空间中的任意矢量

,，有内积关系：九

,九

,

，有时又称为保角变换、酉变换。相应于正交变换九的矩阵A为正交矩阵或酉矩阵，如果满足关系：AH

A

AAH

I40关于正交变换的两个重要例子：例1：离散傅氏变换DFT是正交变换x(n)有限长序列

(0

n

N

)有N个样本，它的变换

X

(e

j

)在频率区间

0,

2

的N个等间隔分布的点

k

上也有N个取

2k

/

NN

1

j

2

N

2

k

/

N样值。X

(

k

)

X

(

e

j

)

x

(

n

)

e

knn

011N

1N

1j

2

knNNN

knNx

(

n

)

X

(

k

)ek

0X

(

k

)Wk

041写成矩阵形式并归一化

得：1N,1j2kNWN,k

eN,N1B

1

1

.

1

1 W

.

WN,11

WN1N,N1NNN

；

；；

k

1,2,.,N

1.WN1j2k

i1

；则DFT变换X

CN1,Nx

ey

BX

i；N1矩阵B常称为一种Bulter矩性情况）。4243正交变换是可逆变换，变换后无信息损失。在阵列信号处理中，对阵列空间抽样数据作

DFT，相当于把数据变换到角频域，分析波达方向（DOA）。DFT

，在高分辨谱估计和自适应滤波技术中，DFT变换—

。DFT变换是一种不依赖数据的变换（data-independent），下面再介绍一种依赖于数据的正交变换（data-dependent），随机矢量的线性变换

K-L变换（karhuen-loeve，卡-洛变换）例2：连续卡－洛展开在0，T

区间的连续随机信号x(t)可展开为：x(t

)

yi（ii

1t）

(0

t

T

)随

量

基函数上式满足：0i

(t

)

j

(t

)dt

ijT取连续情况的x(t)与i

(t)的N个均匀时间取样值，得：1x

x(t

),x(t2),

.,

x(tN

)i

2

i

Ni

i(t1),

(t

),

.,

(t

)令12y

y

,

y

,

.

,

yN，则有

y

TxT

1

2,

,

.

,

N44所以对于随机序列，

其自相关函

Nx

nn1为

Rx

N

N

，则K-L变换为：Y

TXTHT

I*Nki

kj

i

j

ijT

T

HT

T

T

T1

…TN

:1k

12)

Rx

T

i

iT

i

,i

1,…,

NY

2

*ii

j

i

ij

iiy,

E若E

y

0,则E y

y

特点：1)2)Ry

diag(i),1

…

N物理意义：按随机序列的能量大小逐次作N个正交方向分解。Y的各分量去相关且按能量从大到小排列。K-L变换又称最佳变换。45

HH1

N

v

v

i

i

iA

Tdiag

,…,

T

·

矩阵分解特征值分解对任一N维Hermite矩阵

A

AH，其特征矢量构成N

的一组标准正交

此，存在一正交矩阵T

使得A

与一对角阵相似，即：特征值i

i

1,2,...,N

正定（半正定）性：若Hermite阵A

对任一非零矢量，有

X

H

AX

0

0，则称A

为正定（半正定）的。正定的Hermite矩阵A

的所有特征值为正数，即：Ni1特征值称上式的分解为特征分解（EVD

）