特殊平行四边形《正方形的性质与判定的综合应用》课件(北师版九上)

BS版九年级上3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形第3课时正方形的性质与判定的综合应用BS版九年级上3正方形的性质与判定第一章特殊平行四4提示：点击进入习题1234提示：点击进入习题1231．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE交DF于点M.求证：AM⊥DF.1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∴∠AOE＝∠DOF＝90°.∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE≌△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时解：仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E，则∠EAM＝∠NAM＝45°.易证△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.解：仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：过点A作AE⊥AN

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．

DN－BM＝MN.理由如下：如图，在DN上截取DE＝BM，连接AE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.3．如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE，连接BE.(1)求证：BF＝DE.3．如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足特殊平行四边形《正方形的性质与判定的综合应用》课件(北师版九上)

(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是正方形吗？请说明理由．(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，问四∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.∵BE＝AF，∴四边形AFBE为平行四边形．∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴平行四边形AFBE是正方形．∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)求证：在任何时刻，连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何时刻，四边形PQRS是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何时刻，四边形PQRS总是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝

(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？解：当P，Q，R，S四个小球刚出发时或到达终点时面积最大，此时的面积等于正方形ABCD的面积．当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形ABCD四边中点时，四边形PGRS的面积为正方形ABCD面积的一半。(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？解：当P，Q，R，BS版九年级上3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形第3课时正方形的性质与判定的综合应用BS版九年级上3正方形的性质与判定第一章特殊平行四4提示：点击进入习题1234提示：点击进入习题1231．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE交DF于点M.求证：AM⊥DF.1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∴∠AOE＝∠DOF＝90°.∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE≌△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时解：仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E，则∠EAM＝∠NAM＝45°.易证△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.解：仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：过点A作AE⊥AN

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．

DN－BM＝MN.理由如下：如图，在DN上截取DE＝BM，连接AE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.3．如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE，连接BE.(1)求证：BF＝DE.3．如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足特殊平行四边形《正方形的性质与判定的综合应用》课件(北师版九上)

(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是正方形吗？请说明理由．(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，问四∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.∵BE＝AF，∴四边形AFBE为平行四边形．∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴平行四边形AFBE是正方形．∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)求证：在任何时刻，连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何时刻，四边形PQRS是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何时刻，四边形PQR