《金新学案》高考数学总复习 9.3空间中的垂直关系 文 大纲人教

第3课时空间中的垂直关系1．直线和平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的

直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的

．(2)直线和平面垂直的判定定理定理：如果一条直线和一个平面内的

直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号表示：若aα，bα，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.任何一条垂面两条相交编辑ppt(3)直线和平面垂直的性质定理定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线

．符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.作用：可作为线线平行的判定定理．(4)三垂线定理①三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的

垂直，那么它也和这条斜线垂直．②三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条

垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

平行射影斜线编辑ppt编辑ppt2．平面和平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是

，就说这两个平面互相垂直．(2)两个平面垂直的判定定理如果一个平面

另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．直二面角经过编辑ppt(3)两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号语言形式：如果α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l，那么a⊥β.编辑ppt1．在三棱锥V－ABC中，VA＝VC，AB＝BC，则下列结论一定成立的是(

)A．VA⊥BC

B．AB⊥VCC．VB⊥ACD．VA⊥VB答案：

C编辑ppt2．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.答案：

A编辑ppt3．关于直线m、n与平面α、β，有以下四个命题：①若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n∥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是(

)A．①②

B．③④C．①④

D．②③解析：很明显①错，故排除A、C，②正确，排除B.答案：

D编辑ppt4．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件______时，有m∥β；(填所选条件的序号，下同)(2)当满足条件________时，有m⊥β.解析：先画出①②③④⑤的图形．答案：

(1)③⑤

(2)②⑤编辑ppt5.△ABC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是________．解析：

BC⊥平面PAB，故△PBC是直角三角形，从而图中直角三角形的个数共有4个．答案：

4编辑ppt1．判定定理可以简单地记为“线线垂直线面垂直”，定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”．2．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义，在用定义时注意“平面内任意一条直线”与“平面内无数条直线”是两个不同的概念，直线与平面内无数条直线垂直时，直线与平面不一定垂直．编辑ppt(2)线面垂直的判定定理．(3)两条互相平行的直线的性质.3．直线和平面垂直的性质定理可以作为直线与直线平行、平面与平面平行的判定，实现平行与垂直的相互转化．编辑pptRt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC.证明：

(1)如图所示，取AB中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，编辑ppt∴SE⊥AB.∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，(2)若AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC，∴SD⊥BD，∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D，∴BD⊥面SAC.编辑ppt[变式训练]

1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；编辑ppt证明：

(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)连结PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.编辑ppt1．三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂直关系：一是直线与平面垂直；二是平面内一条直线与斜线的射影(或斜线)垂直；三是这条直线与斜线(或射影)垂直．构成定理的五个元素是“一面四线”．运用三垂线定理及其逆定理的步骤是：确定平面→作出垂线→找到斜线→连成射影→找面内线，其关键是确定平面及平面的垂线．编辑ppt2．三垂线定理及其逆定理主要用于：(1)立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直；(2)立体几何的计算问题，如求空间一点到平面内某一直线的距离，求两平行直线间的距离，求两条异面直线所成的角等；(3)二面角问题，主要是构造二面角的平面角．编辑ppt

如图，△ABC所在平面α外一点P，已知PA⊥BC，PB⊥AC，求证：(1)P在平面α内的射影是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.编辑ppt证明：

(1)作PO⊥平面α于O点，连结AO，并延长交BC于D.连结BO并延长交AC于E.∵PA⊥BC，∴BC⊥AD(三垂线定理逆定理)．同理，AC⊥BE，∴O为△ABC的垂心．(2)连结OC，∵O为△ABC的垂心，∴AB⊥CO.又∵PO⊥平面α，∴AB⊥PC(三垂线定理)．编辑ppt[变式训练]

2.如图所示，四面体A－BCD中，若顶点A在平面BDC上的射影H是△BDC的垂心，求证：顶点C在平面ADB上的射影H′也是△ABD的垂心．证明：由三角形垂心的定义知，连结CH并延长与BD交于E，则CE⊥BD.∵AH⊥平面BDC，∴直线CA在平面BDC上的射影是直线CE.∴BD⊥AC.编辑ppt由H′是C在平面ABD上的射影，知CH′⊥平面ABD，连AH′并延长与BD交于F点，则直线AF是斜线CA在平面ABD内的射影．∵BD⊥AC，∴BD⊥AF.连结DH′，并延长与AB交于G，同理从AB⊥CD可知AB⊥DG，∴H′是△ADB的垂心．编辑ppt证明平面与平面垂直的方法主要有：(1)利用定义证明．只需判定两平面所成的二面角为直二面角即可．(2)利用判定定理．在审题时，要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论．编辑ppt

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面CA1D；(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.编辑ppt证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE，编辑ppt编辑ppt[变式训练]

3.如图，已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕折叠，使点B、C、D重合于一点P.(1)求证：AP⊥EF；(2)求证：平面APE⊥平面APF.证明：

(1)∵∠APE＝∠APF＝90°，PE∩PF＝P，∴PA⊥平面PEF.∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.(2)∵∠APE＝∠EPF＝90°，AP∩PF＝P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.编辑ppt1．垂直关系的转化编辑ppt在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．2．三垂线定理和逆定理大大简化了线线垂直到线面垂直的相互转化过程，同时三垂线定理也是作二面角平面角的重要理论依据，而使用三垂线定理和逆定理的前提就是要会观察点、直线及图形在一个平面内的射影．编辑ppt对近三年高考试题的分析可以看出，本节有以下的命题规律：1．考查热点：直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质的应用．2．考查形式：常以选择题、填空题形式出现，解答题的第一问．3．考查角度：编辑ppt一是将线面、面面平行或垂直的定义、判定和性质结合起来，主要考查灵活运用图形的能力，熟练地将文字语言、符号语言和图形语言进行相互转化的能力．二是综合考查线面、面面平行与垂直问题，从寻找判定定理使用的条件入手是正确证明线面平行与垂直的关键，找到性质定理背后的条件是正确使用性质定理的关键．4．命题趋势：利用线面、面面垂直的判定和性质解决空间问题，体现转化思想．编辑ppt(12分)(2010·山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．编辑