模块一 极限（计算） 考研数学资料

模块一极限（计算）Ⅰ经典习题一．四则运算1、2、3、已知，则.4、5、6、已知，其中是常数，则（）(A)(B)(C)(D)7、8、9、10、11、存在，不存在，则正确的是（）（A）不一定存在(B）不一定存在（C）必不存在（D）不存在12、假设可导，有不可导点，则下列函数中一定有不可导点的有个。（1）（2）（3）（4）二．洛必达法则13、求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）14、设函数在点处有，，则______.15、设函数在点处具有连续的二阶导数，试求极限.16、设函数在点处二阶可导，.试求极限.17、设函数在点处可导，.试求极限（1）；（2）.三．泰勒公式18、求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）19、当时，是比高阶无穷小，则（）（A）(B)(C)(D)20、设则（）(A)2(B)4(C)6(D)821、设点处二阶可导，求.22、设三阶可导，且，则下列说法错误的是（）(A)(B)(C)(D)23、设二阶可导，，证明：当时，是的高阶无穷小.24、设，求.四．幂指函数的处理25、求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）26、设函数在有定义，且满足，求.五．夹逼定理与定积分定义27、设且则（）（A）都收敛于(B)都收敛，但不一定收敛于（C）可能收敛，也可能发散(D)都发散28、求下列极限（1）（2）29、设，则（）（A）(B)(C)(D)30、设则31、求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）六．单调有界收敛定理32、设，，求.33、设，，求.34、

Ⅱ参考答案一．四则运算1、【答案】：【解析】：原式2、【答案】：【解析】：，，3、【答案】：.【解析】：，.4、【答案】：.【解析】：5、【答案】：.【解析】：6、【答案】：(C)【解析】：由得：，所以此时必有：，，故7、原式8、【答案】：.【解析】：9、【答案】：.【解析】：10、【答案】：.【解析】：.11、【答案】：（D）【解析】：若存在，必得存在，从而应得存在，这与已知矛盾，故A、B不正确.对于（C），只需取反例说明即可例存在，不存在但是存在的，故（C）必不正确.12、【答案】：.【解析】：（1）（3）（4）有不可导点.二．洛必达法则13、（1）【解析】：（2）【解析】：（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：原式（6）【解析】：原式14、【答案】：0【解析】：由，知，，于是当时，.故.15、【解析】：16、【解析】：17、（1）【解析】：（2）【解析】：.三．泰勒公式18、（1）【解析】：（2）【解析】：原式（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：故 （7）【解析】：（8）【解析】：19、【答案】：(B)【解析】：利用泰勒公式由题设20、【答案】：(C)【解析】：利用泰勒公式代入可得，也即从而有，可知，故选(C).21、【解析】：由泰勒公式得代入可得.22、【答案】：(D)【解析】：利用泰勒公式从而有，可知，故选(D).23、【解析】：由泰勒公式得从而24、【解析】：可知.四．幂指函数的处理25、（1）【解析】：原式，在此数列的极限可以转化为函数的极限问题，考虑极限，所以原式=（2）【解析】：（3）【解析】：令，则.故.（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：，故，（7）【解析】：（8）【解析】：（9）【解析】：（10）【解析】：.26、【解析】：.由极限存在与无穷小量的关系知，上式可改写为，其中满足.由此解出.从而.五．夹逼定理27、【答案】：（A）【解析】：由得又由及夹逼定理得，因此，由此得，故应选（A）28、（1）【解析】：，有界，故.（2）【解析】：，有界，故.29、【答案】：(B)【解析】：，由于且，按极限的夹逼定理得30、【答案】：【解析】：令，则故当，利用夹逼定理可得31、（1）【解析】：由于再由，则原式（2）【解析】：（3）【解析】：，。，。可知。（4）【解析】：，。，。可知。（5）【解析】：（6）【解析】：六．单调有界收敛定理32、【解析】：易证，同时，可知单调有界。令，可得，