工程数学-线性代数课件-第一章

例如24232221a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a

a

a

aa11

a12

a13

a14D

444241141211a

aaa

a

aM

23

a31

a32

a342323A

123

M

M

23

.定理３.1

n阶行列式D=|aij|n等于它的任意一行式乘积之（列）的各元素与其对应的代数和。即D

ai

1,2证anna1na11

a12

an1

an2D

aa11

a12

ai

1ann

ann

an1

an

2ai

2a1na1n

a11

a12

0

0

0

0

annainan1

an

2a1nan1

an

2a11

a12

0

0

i

1,2,,

n定理3.2

n阶行列式D中某一行（列）的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数

式乘积之和等于零。即ak1

Ai1

ak

2

Ai2

akn

Ain

0,

i

k.

j

k0a1k

A1

j

a2k

A2

j

ank

Anj或证明只证第一个式子。等号左端的表达式可视为一个行列式按第i行的展开式，该行列式的特点

是：第i行的元素就是D中第k行的元素，而且它的第i行与D的第i行对应的元素有相同的代数

式。于是知该行列式为an1

an2

annak1

ak

2

aknak1

ak

2

akna11

a12

a1nB

ik由于B中第i行与第k行相同，则B＝0，故i

k.ak1

Ai1

ak

2

Ai2

akn

Ain

0,j

k.a1k

A1

j

a2k

A2

j

ank

Anj

0,同理可证证毕把定理3.1及定理3.2结合起来,便得到了两个重要公式：设n阶行列式D，则nt

1kt

it

0,当i

k;a

A

D

,当i

k,nt

1tk

tj

0,当j

k;a

A

D

,当j

k,例1

计算行列式

D

0

0

解D

0

0

10

0

10

0

20

42

12

2

00

2

1

25

20r3

r1r2

2r1例2

计算行列式D=|aij|n，其中aij=|ij|.解：写出此行列式观察其特征n

2=(1)n+1(n

1)2n-2.例3计算n阶行列式xx100x10Dn

00x1anan1

a2

a1

解按第1列展开nn1

n1Dn

xDn1

a

(1)

(1)

xDn1

an

x(xDn2

an1)

ann2

n1

n

x2

D

a

x

anx

an11

2

xn1D

a

xn2

aD1

a1

xnn1而所以

D

xn

a

xn1

a

xn2

a

x

an 1

2练习：计算1

aa00011

aa00011

aa00011

aa00011

a行列式的展开定理3.1可以进一步推广。为此我们将元素的

式和代数

式的概念加以推广。定义在n阶行列式D中选取k行、k列(1k

n)，由这些行、列相交处的元素所构成的k阶行列式，称为D的k阶子式。记作N。在行列式D中去掉k阶子式N所在行、列以后得到的nk阶行列式称为该k阶子式的式。记作M。若N所在的行序数为i1,i2,·,ik，所在的列序数为j1,j2,·,jk，那么1)(1称做N的代数

k

1

iijjkM式。定理3.3

[拉 斯(Laplace)定理]设在n阶行列式D中任意选取k个行（列）

(1kn-1)，找出位于这k行（列）中的一切k阶子式N1,N2,

·,

Nt及其对应的代数

式A1,A2,

·,

At，则有ti1NttA

NiiA

,D N

A其中N

A2211

nt

Ck

.例4计算五阶行列式5

6

0

0

01

5

6

0

0D

0

1

5

6

00

1

5

60

0

0

1

5解利用定理3.3，把行列式D按前二行展开，前二行共有

C52=10

个二阶子式，但其

中不为0的只有三个N1

50

366

19

N

5 0

30

N

62

31

5

1

6

5

6与N1,

N2,

N3对应的代数

式分别为15

6

05 6

65,0

1

5A

(1)1212

1D

N1A1

N

2

A2

N3

A319

653019

665所以,23121A

)1(30606500,5101)1(223A

例5计算2n阶行列式dcdca

bc

dbabaD2n

解法1按第一行展开有a

bc

dac0b

0d

0

0

dD2n

ada

bc

db

o0

cc

00

a

b(1)12n

adD2(n

1)

bc(1)2n11

D2(n

1)

(ad

bc)D2(n

1)以此作递推公式，即可得D2n

(ad

bc)D2(n

1)

(ad

bc)2

D2(n

2)

(ad

bc)n1

D2bc

d

(ad

bc)n1

a

(ad

bc)n解法2利用定理3.3，按第n,n+1行这两行展开行列式，立即可得c

db

D2(n

1)D2n

a

(ad

bc)D2(n

1)

(ad

bc)2

D2(n

2)

(ad

bc)n1

D2

(ad

bc)n例6

计算n阶行列式1222223222n例7

计算2n阶行列式112nann

.c11

c1n

a11

a1n

cnn

a1n

b

b1n

0

0

bn1

bnn

0

0D

cn1例3

证明n

cos

n

.D

cos10

0012cos1

00012cos

00

000

1000

12cos证明2

2cos2

1

cos

2

,D

cos

11

cos

2对阶数n用数学归纳法因为D1

cos

,所以,当n

1,n

2时,结论成立.假设对阶数小于n