《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

学习学习 好资料更多精品文档更多精品文档一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感L2的电流强度。【解答】根据基尔霍夫定律得：LxRxx u11 1 3LxRx x2 2 2 3Cxx x3 2 1xRx1x1u1 L 1 L 3 L 1 1 1 R 1x x x 改写为2

L 2 L 32 2

，输出方程为yx2 1 1x x x3 C 1 C 2写成矩阵形式为 L

1 1L x

1x

L1

1 1 122x 0 L L x0u22x

2 2

0 3 1

3 C

0 x 1y

0 1

x2x3（10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为y(k2)5y(k1)3y(k)r(k1)2r(k)回答下列问题：求系统的脉冲传递函数；分析系统的稳定性；3（x31

(k)y(k)，x2

(k)x1

(k1)r(k（4）分析系统的状态能观性。【解答】z变换有：z25z3

(z)

z

R(z)系统的脉冲传递函数：Y(z) z2R(z) z25z3系统的特征方程为z1

4.3，z2

0.7，z1

D(z)z25z301，所以离散系统不稳定。x1

(k)y(k)，x2

(k)x1

(k1)r(k，可以得到由已知得

x(k1)x2

(k2)r(k1)y(k2)r(k1)y(k2)r(k1)2r(k)5y(k1)3y(k)2r(k)5x

(k1)

(k)2r(k

)5x2

(k)

r(k

)3x1

)3x1

(k

5x2

(k

1 13r(k)于是有：x(k1)3x2

(k)5x2

(k)3r(k)又因为x(k1)x1

(k)r(k)所以状态空间表达式为x

(k1) 0 1

(k) 1

r(k)x(k1) 3 5x(k) 3 2 2y(k)0

(k)2 1 2系统矩阵为

x(k) G0 1，输出矩阵为c0，cG00 1 3 5 3 5 能观性矩阵为Q c 1 0，rankQ

2，系统完全能观。o cG 0 1 o （10分回答下列问题：简述线性系统的对偶原理；简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？【解答】121212的能控性。则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于r个独立的单输入单输出系统。（10分）

xxx

cosx设有一个2阶非线性系统，其状态方程为1 1 2

2，判断该系统在坐标原点处的稳定性，并证明你的判断。【解】此系统在坐标原点处不稳定。【证明】

x x2 2取李雅普诺夫函数V(x)x2x2，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：1 2V(x)2xx2xx2xxxcosx222x22xxcosx 2x211 2 2 1 1 2 2

2 1 12 2 21 12x2xxcosx 2x22x2x

cos

x2cos2x2x2 x2cos2x1 12

2 1 1

2 4

2 2 2 2 2 1 2 1 2x xcosx2 cos2xx21 2 2

2 2

22显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。（10分）设某控制系统的模拟结构图如下，试判断系统的能控性、能观性和稳定性。【解答】根据模拟结构图可得状态空间表达式x2x3xu1 1 2写成矩阵形式为

x xu2 11yx1x2 3

11

1 ux

1 0

1 2 2y0x 1x22 3A1 0，b

1

c0。 系统的特征方程为显然系统渐近稳定。

detIA

2 1

2230更多精品文档更多精品文档学习 -资料c系统的能控性矩阵为Q bAbc完全能控。

1 51 ，显然，Q1 co系统的能观性矩阵为Qo

c 10cA 23

，显然，Q 满秩，所以系统状态完全能观。o（10）某系统的状态空间表达式为x00x00x1160y01x设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为10。【解答】设全维观测器方程为00 x 1

1 l01x u 1 y1 6 l 0 l2 20 l 1 lx 1 x u 1 y1 6l 0 l2 2观测器特征多项式为0 ldetI 1

l1 2 6l l1 6l2

1 6l 2 12观测器期望特征多项式为根据多项式恒等的条件得

102 2 20 1006l202l1001l100解得1

，全维状态观测器方程为l142学习学习 好资料更多精品文档更多精品文档0 100 x1 20x0u14y 七.（本题满分10分）证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。【证明】设原线性系统为其特征方程为detsIA0

xAxBuyCxDu设线性变换为xTz，变换后的线性系统为zT1ATzT1BuyCTzDu该系统的特征方程为

det

sIT1

0写成det

sTT1

0det1sIAT0det1sIAdet0det1detA0detA0detIdetsIAdetsIA0显然，其特征方程保持不变。 证毕八.（本题满分10分）开环系统的结构如图所示：试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts

5.65秒（0.02，超调量为的数学表达式。

4.32%，其中一个闭环特征值为5。求状态反馈控制律P【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下：xx1 2x 5x 5x2 2 3写成状态空间表达式为x x，即3 3yx1 0 1 0 0x0 5 5x0u 0 0 y1 0 0x

2闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts4

5.65秒（0.02，可得：t s

5.65，n112

0.707，n超调量为P

e 4.32%，解得 0.707，所以n

1。期望闭环特征多项式为5

s2n

s2n

s2

2s1 22xf*(s)s35 s215 s22x设状态反馈控制律为uk k1 2 3

，代入可得闭环系统的状态方程0 1 0 5x0 5 x52k 2k1 2

2k3闭环特征多项式为

s 0 0