第四版-微分几何-第一二章课后答案全

第一章微分几何主要习题解答第一章习题1.113微分几何主要习题解答14微分几何主要习题解答15微分几何主要习题解答16微分几何主要习题解答17微分几何主要习题解答18微分几何主要习题解答19微分几何主要习题解答20微分几何主要习题解答21微分几何主要习题解答22微分几何主要习题解答23微分几何主要习题解答24微分几何主要习题解答25微分几何主要习题解答26微分几何主要习题解答27微分几何主要习题解答28微分几何主要习题解答29微分几何主要习题解答30微分几何主要习题解答31微分几何主要习题解答32微分几何主要习题解答33微分几何主要习题解答微分几何主要习题解答第二章§1曲面的概念1.求正螺面r={ucosv ,usinv,bv}的坐标曲线.解 u-曲线为r={ucosv ,usinv,bv{cosv,sinv,0}，0 0 0 0 0 0为曲线的直母线；v-曲线为r={u cosv,u sinv,bv}为圆柱螺线．0 0２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r={a（u+v）,b（u-v）,2uv}={av,bv,0}+u{a,b,2v}0 0 0 0 0 0avbv,0}以{a,b,2v}为方向向量的直线;0 0 0v-曲线为ruu u u,bu u }0 0 0 0 0 0表示过点(au,bu ,0)以{a,-b,2u }为方向向量的直线。0 0 0求球面r={acossinacossinasin上任意点的切平面和法线方程。解r

={asincos,asinsin,acos} ，

={acossin,acoscos,0}xacoscos yacossin zasin任意点的切平面方程为asincosacossin

asinsinacoscos

acos 0即xcoscos +ycossin +zsin-a=0；法线方程为 xacoscosyacossinzasin 。coscos cossin sin34求椭圆柱

x2y2a2 b2

1曲面只有一个切平面。解椭圆柱面

x2y2a2 b2

1的参数方程为x=cos,y=asin,z=t,r{asin,bcos,0} r

}。所以切平面方程为：rtracosasin0

ybsinbcos0

zt0 0，即xbcos+yasin－ab01此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 a3证明曲面r {u,v, }的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常uv数。}rr证a3 ，}rr

a3}xyuv

z3 。u u2v

uv2

u v a3与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,2uv 1 V 3|u|3|v| a3是常数。6 |uv| 2

)。于是，四面体的体积为：§２曲面的第一基本形式求双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 r {a,b,2v},r {a,b,2u},Er2a2b24v2,u v u Fr r a2b24uv,Gr2a2b24u2,u v v∴ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 =35(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2。２．求正螺面r={ucosv ,usinv,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线相垂直。 解 r {cosv,sinr sinv,ucosv,，Er21，Fr

0，u v u u vGr2u2b2，∴错误!未找到引用源。du2u2b2)dv2，∵Ｆ＝０，∴v坐标曲线互相垂直。du2sinh2udv2u=vds2du2sinh2udv2,沿曲线uv有du=dvds2得ds2du2sinh2udv2cosh2vdv2，dscoshvdvuv上，从v到v的1 2弧长为|v2coshvdv||sinhvv 21

sinhv|。14．设曲面的第一基本形式为错误!未找到引用源。=du2(u2a2)dv2，求它上面两条曲线u+v=0,u–v=0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。E1，Fv

0，Gu2a2，uv0uv0u0,v0,E1，F 0Ga2u+v=0du=-dv,u–v=0δu=vEdu2Gdv2 22δv,设两曲线的夹角Edu2Gdv2 22

1a2 。1a2求曲面z=axy上坐标曲线x=x,y=y 的交角.0 0解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x的向量表示为036r={

,y,ax0

yr

yy0

的向量表示为r={x,y ,axy0

}，其切向量rxr r

={1，0，ay0

x=

yy0

的夹角为，则有cos= |rx

r0 01a20 01a2x2 1a2y20 0ry

a2xyu-v-曲线的正交轨线的方程.解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为δu:δv,则有Eduδu+F(duδv+dvδu)+Gdvδv=0,dv=0duu-Eδu+Fδv=0.同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu+Gδv=0.du,dvPdu2+2Qdudv+2＝０，确定两个切方向dudv）和（u：v，证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQGP=0.证明 因为du,dv不同时为零假定dv 0则所给二次方程可写成为P(du)2+dv2Qdu+R=0,设其二根du,, 则du=R

，du+=

2Q……错误!未找到引dv dv dvP dv P用源。又根据二方向垂直的条件知Edu+F(du+)+G=0 错误!未找到引用源。

dvdv 将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。则得ER-2FQ+GP=0.Edu2=Gdv2.证用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，vdu:dv,根据题设条件,又交角公式得(EduvFdvu)2(FduvGdvv)2，即(EduFdv2(FduGdv2。2ds2 Gv2ds2 E G37uu=avV=1ovu=-avE(EG-F2du2=G(EG-F2dv2EG-F2>0，EG-F2得坐标曲线Edu2uu=avV=1ovu=-av错误!未找到引用源。=du2(u2a2)dv2，求曲面上三条曲线u=av,v=1相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是2S=0 u2

2 2 a du dv u

12 2 a u 0 a a 1 a u=2u2a2dudv=2 ) u2a2dua0 u 0au2au2a2=[ (u2a2)2u3a

a2ln(u u2a2)]|a02 2=2 23

2)] 。求球面r={acossinacossinasin的面积。r解={asincos,asinsinacos}r

{acossin,acoscos,0}，=r，=rEr2a2,F=r r0 G=r2 a2cos2 .球面的面积为： 2S=2

a cos2a22424

cosd2sin|2

4a2.2 0 2 2证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos,tsin,t21}u21(t>1,0<<2)之间可建立等距映射u2138分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu+v,t=u21有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.=2du2+2dudv+(u2+1)dv2,旋转曲面的第一基本形式为

t2)dt2t2d ,在旋转曲t21u21面上作一参数变换u21

,则其第一基本形式为:u21 u2 1 ) du2(u2dudv)2u2 u

1 1u2u21 1=( 2

du

2dudv(u

2=2du2+2dudv+(u2+1)dv2=错误!u2 1u2未找到引用源。.u21所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射u21§3曲面的第二基本形式计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式. 解r={sinhucosv,sinhusinv,1},ru

={-coshusinv,coshucosv,0} r ={coshucosv,coshusinv,0},ruu

={-sinhusinv,sinhucosv,0}, r ={-coshucosv,-coshusinv,0},Er2=cosh2u,Fr r=0,Gr2=cosh2u.vv u u v v所以错误!未找到引用源。=cosh2udu2+cosh2udv2 . = r r=EGFEGF2

= 1cosh2u

{coshucosv,coshusinv,sinhusinv},39sinh21L= sinh21

,M=0,N=coshu

=1.sinh21所以错误!未找到引用源。=-du2sinh21计算抛物面在原点的2x

5x24xx 2x2第一基本形式,第二基本形式.3 1 1 2 2 5解曲面的向量表示为r{x,x, x22x

x2},1 2 2 1

1 2 2 r x 11

2x2

}(0,0)

,rx2

{0,1,2x1

2x2

}(0,0)

rxx11

{0,0,5}, r ,r2xx xx21 2

{0,0,2},E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,错误!未找到引用源。=dx2dx2,错误!未找到引用源。=5dx24dxdx 2dx2.1 2 1 1 2 2证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-∞<u,v<∞EN-2FM+GL=0。 解r {cosv,sinv,0},ru

{usinv,ucosv,b}，ruu

={0,0,0}, r ={-uucosv,cosv,0},r ={-ucosv,-usinv,0},Er21，Fr

0，uv vv b

u u vu2b2Gr2u2u2b2v

,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.z

(ax2by2在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.2 解r x

(0,0)

,ry

(0,0)

,rxx

,rxy

{0,0,0} adx2bdy2r ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率k .yy n dx2dy2已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<1),求与(S与法曲率.1d2解设平面1d2401d21d1d21d21

,所以1d2(C)的法曲率为1d2nkn本量成比例。

=1.II,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基IR1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，II Ldu22MdudvNdv2 1 1 L M N 1k 或-所以 ( )即第一第二n I Edu22FdudvGdv2 R R E F G R类基本量成比例。证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv}， r {cosv,sinv,0},

{usinv,ucosv,b}，

={0,0,0}，

={-ucosv,-usinv,0}，u(

v

uu vvrL=u

,r,r EGEGF2

=0,

(r,r,r EGEGF2

=0.所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。zxy2的渐近线. 解曲面的向量表示为rx,yxy2rx

{1,0,y2},ry

rxx

{0,0,0}, r {0,0,2r {0,0,2x},Er214y4,Fr r 2xy2,Gr214x2y2.2214x14x2y2y4

,N 2x .14x2y2y4渐近线的微分方程为Ldx22Mdxdy14x2y2y4ycc2ydx=-xdy,即lnx2yc或x2ycc为常数..1 1 2证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.41证在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线:rr(s)，它的主法线曲面为S:(s,t)r(s)t(s)，(s)t(s)t()(1t)，，t(1t)在曲线上，t0,s t

,曲面的单位法向量n

s tEGF

，即n，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线.z=f(x)+g(y)x=常数,y=常数构成共轭网.证曲面的向量表示为r={x,y,f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。 r f'},rx

g'}.rxx

{0,0,f''},rxy

{0,0,0},ryy

{0,0,g''},因为Mr xy构成共轭网。

rrx yEGF

0,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族x=常数,y=常数确定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率线.解rr {cosv,sinv,0},解rru

{usinv,ucosv,b} ，

r ={0,0,0} ，uu r ={-ucosv,-usinv,0}，r ={-sinv,cosv,0},Er21，Fr

0 ，vv uv b

u u vu2b2Gr2u2u2b2v

,N=0,曲率线的微分方程为:dv100b

du2u2b2u2b20,即dvu2b2u2u2b2

du,积分得两族曲率线方程:v u2b2)c1

和vln(

u)c.2u2u2b2421a2x2a2y2解E1a2y2Fa2x2y2G1a2x1a2x2a2y2

a ,N=0.dy21a2x20

dxdy1a2x2a2y21a2x2a2y2

dx21a2x2=0得a2y2)dx2a2x2)dy2,积分0得两族曲率线为ln(ax 1a2x2)ln(ay 1a2y2)c.r求曲面r

a uv b uvuv上的曲率线的方程.{ ), 2 2 2{ ), 解E

a2b2v2,Fa2b2uv,Ga2b2u2,L0,4 4 4ab2ab2EGF2(a2b2u2)dv2(a2b2v2)du2,积分得:a2b2v2 a2b2u2)ln(va2b2v2L,设LL LLdn

drLn

n=常数,求微商得

0而//

//

,所以

0,即-

=0,或n n ·n=0.

n dn

dr与正交 n

·n=0,则有若=0,L=0L

=0，n

dn0nL平面曲线.43

n，所以为常向量，L 证法二：若n ，则因ndr‖ ，所以n‖ ，所以dn‖，由伏雷d‖（）LLd‖，所以有=0,从n n而曲线为平面曲线；

nn0,L若不垂直于nn=常数,求微商得 以沿L有dn‖dr，所以n0，所以n0，即- ·n=0，若=0，则 问题得证；否则·n=0，则因n0，有n‖，dn‖d‖（-）‖ 矛盾。如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。成定角，由上题结论知正确。求正螺面的主曲率。解设正螺面的向量表示为r={ucosv,usinv,bv}.解 {cosv,sinv,0},

{usinv,ucosv,b}，

={0,0,0}，r ruuu vuu r ={-ucosv,-usinv,0}，r ={-sinv,cosv,0},Er21，Fr

0 ，vv uv b

u u vu2b2Gr2u2u2b2v

,N=0,代入主曲率公式（EG-F2）2N

-（LG-2FM+EN）

+LN-M2=0得2N

=(u

a2 。a2)2所以主曲率为

a a 。1 u2a2 2 u2a2z=a(x2y2)在（0，0）点的主曲率.解曲面方程即ryy

{0,0,2a}{x,y,a(x2y2)}x

2ax}ry

{0,1,2ay}，44r {0,0,2a}xx

{0,0,0},ryy

{0,0,2a}点,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0N=2a.所以

2-4aN

+4a2=0，两主曲率分别为N 1

=2a,

=2a.2证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证曲面上的给定点处两主曲率分别为1

、 ，任给一方向及与其正交的方2向+ ，则这两方向的法曲率分别为()cos2 sin2，2 n 1 22 2 )cos2 sin2 )sin2 cos2，即2 2 n 1 2 1 22 为常数。2n n 1 2证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数.证由n

cos21

sin2 得tg2

1 ,即渐进方向为212121

, =-arctg12

.又-2

+=21 1

为常数,所以为1

为常数,即1为常数.2求证正螺面的平均曲率为零证 由第3题或第16题可知.z=axyx=y=0x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=0,H=LG2FMNE0,2(EGF2)2LNMK= =-a .2EGF2证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.45 证法一： 由H=1 22

=0=1

=0或1

=- 0.2若=1 2

=0,则沿任意方向n

()1

cos2/r