教程chapter-7弯曲变形

对工程中承受弯曲的杆件，强度条件 工作应力不超过材料的许用应力刚度条件 变形方面满足要求2中心架、跟刀架3中心架的使用对工程中承受弯曲的杆件，强度条件 工作应力不超过材料的许用应力刚度条件 变形方面满足要求车床加工4挠曲线平面弯曲时，梁的轴线将变为一条在梁的纵称面内的平面曲线，称为梁的挠曲线。挠度横截面的形心沿与轴线垂直方向的线位移，称为该截面的挠度，用y

表示。FM0q(

x)xyOx转角横截面相对其原来的位置转过的角度，称为此截面的转角，用θ表示。x

7.1

梁的挠度与横截面转角y5y

=

f

(x)称为梁的挠曲线方程。挠曲线方程x

轴：变形前的梁轴(向右为正)y

轴：垂直于x

轴向上的轴(向上为正)梁各截面处的挠度y

是x

的函数，表达式为挠度转角的正负号规定在图示坐标系中挠度：向上为正转角：逆时针转向为正x

7.1

梁的挠度与横截面转角FM0q(

x)xyOxy6挠度与转角的关系tan

dydx在小变形情况下

tan

dydx挠曲线上任意一点处切线的斜率或其一阶导数等于该点处横截面的转角。挠度的单位：m，cm，mm。转角的单位：rad。x

7.1FM0q(

x)x梁的挠度与横截面转角yOxy7x

7.2梁的挠曲线近似微分方程FM0q(

x)xOxy

(

x)剪力对变形影响很小，忽略，上式仍成立。在横力弯曲中，弯矩和曲率都随截面位置而变化。y1

M

EI纯弯曲情况下

1

M

(x)(x)

EI横力弯曲8d2

y3dx21(x)

dy

2

21

dx

d2

y M

(x)dx2

EI

则挠曲线近似微分方程x

7.2

梁的挠曲线近似微分方程平面曲线y

=f(x)的曲率表达式小变形情况下d2

y232dx2M

(x)

dyEI

1

dx

正负号：依赖于所选取的坐标轴、弯矩正负号的规定

1

(x)

E9取正号，挠曲线的近似微分方程应写为d2

y

M

(x)dx2

EI：线弹性小变形条件下梁的弯曲变形计算的基本微分方程由挠曲线近似微分方程→梁的转角方程和挠曲线方程。d2

y M

(x)dx2

EI10转角方程

dy

M

(x)

dx

Cdx

EIy

EIM

(x)

dx

dx

Cx

D

积分常数C、D由位移的边界条件(某些截面的已知转角和挠度)和分段交界截面处的位移连续条件确定。x

7.3

用积分法求梁的变形挠曲线近似微分方程d2

y

M

(x)dx2

EI挠曲线方程lx

7.3

用积分法求梁的变形边界条件x

0,

y

0

x

l,

y

0简支梁悬臂梁x

0,

y

0dyx

0,

0dxl11x

0x

lx

0x

lx

7.3

用积分法求梁的变形位移连续条件(分段梁)挠度、转角都是连续的，在挠曲线上任意点，挠度和转角分别有唯一确定的值y1

y212x

a,

dy

dy

x

a,

dx

dx

al12ABFC13x

7.3

用积分法求梁的变形AB

xlFlABM0lABCFl/2l/2

l/2FABM0=FlCxlqBA

l14用积分法求挠度和转角的步骤：选取坐标轴计算梁的支反力建立梁的弯矩方程建立梁的挠曲线近似微分方程将梁的挠曲线近似微分方程积分由位移条件确定积分常数写出转角方程和挠曲线方程确定梁的最大挠度若外载情况较复杂，则要分段处理。简单载荷下梁的挠度与转角制成表格备用P168~169

表7.1。15简单载荷下梁的挠度与转角制成表格备用P168~169

表7.1。1617x

7.4

用叠加法求梁的变形用积分法求梁的变形的缺点如果梁上的载荷很多，就要分段建立弯矩方程。分段越多，积分常数也越多，确定积分常数的运算繁琐。在实际的工程问题中，梁上的载荷通常比较复杂，但常常只需要计算某些特定截面的转角和挠度。因此，一般不采用积分法，而采用叠加法计算梁的变形。18或挠度等于各个载荷单独作用时该截面的转角或挠度的代数和。若梁内应力不超过材料比例极限，且符合小变形梁的支反力、剪力和弯矩、正应力和剪应力以及挠度、转角等，都与梁的载荷成正比。叠加原理(力的独立作用原理)每个载荷单独产生的上述各量，都不受其他载荷作用的影响。梁上几个载荷同时作用时产生的上述各量，等于各载荷分别单独作用所产生相应各量的代数和。叠加法当梁上有几个载荷共同作用时，某一横截面的转角x

7.4

用叠加法求梁的变形l/2

l/2FABM0=FlCI2I1FaaABCABal/2FFl/2CDx

7.419用叠加法求梁的变形x

7.5梁的刚度条件梁的刚度梁的变形

过规定的

范围——

梁的刚度。桥式吊车大梁在起吊重物时，若梁的挠度偏大，会行驶 ，造成振动。齿轮轴的弯曲变形过大，造成啮合不良，轴与轴承配合不好，传动不平稳，增加轴与轴承之间的磨损。轧辊机的辊轴，若弯曲变形过大，生产出的产品就会厚薄不均，成为废品。20

maxx

7.5

梁的刚度条件在工程设计中，处理梁的弯曲问题，常须同时考虑强度条件与刚度条件。梁的刚度条件刚度校核的目的，为控制梁的变形，使最大挠度和最大转角在规定 范围内，故梁的刚度条件为fmax

f

2122例简支梁。跨度中点C

点作用一集中力F=20kN，跨度l=8.76m，根据工作性质规定[f]=l/500=17.52mm。若选用No.32a

工字钢，其E=210GPa，试校核梁的刚度。AB

xFl/2l/2C解查型钢表，No.32a

工字钢的惯性矩I=11

100×10-8m4查表7-1

得Fl3ymax

48EI20103

8.76348

210106

11100108

0.012m

12mm满足刚度要求

[

f

]

17.52mmx

7.6

简单静不定梁静不定梁梁的约束反力数目多于静力平衡方程的数目，因而仅凭静力平衡方程不能确定全部反力。这种梁称为静不定梁。反力数目与静力平衡方程数目之差，称为静不定次数。静不定梁就是在原来静定梁的基础上增加约束，静不定 相应的静定梁提高了强度和刚度。23多余约束在维持平衡必须约束的基础上额外增加的约束。x

7.6

简单静不定梁多余约束24多余约束多余约束多余约束(限制转动)25多余约束在维持平衡必须约束的基础上额外增加的约束。基本静定系统(相当系统)撤除静不定梁的多余约束，代之以相应的约束反力，得到在原有外载及未知反力共同作用下的静定梁。此系统称为原静不定梁的基本静定系统或相当系统。在多余约束处，必须符合静不定梁的变形协调条件。x

7.6

简单静不定梁26这样梁的反力可以全部解出多余约束在维持平衡必须约束的基础上额外增加的约束。基本静定系统(相当系统)变形协调条件每个多余约束，都限制了梁在某一截面处的某个位移(挠度或转角)，即提供了一个变形限制条件，也称为变形协调条件。可根据叠加原理来求解，建立一个补充方程。补充方程数=静不定次数。x

7.6

简单静不定梁求解静不定梁的方法和步骤确定梁的静不定次数；解除多余约束，代之约束反力，得到相当系统；根据