圆内接四边形性质定理

圆内接四边形性质定理证明：D如右图：圆内接四边形ABCD，圆心为O，延长BC至E，AC、BD交于P，则：AP一、圆内接四边形的对角互补：∠ ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180°·O二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠ DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似：△B CP∽△ADP四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD

B C E一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

如图，连接 OB、OD则∠A=1β，∠C=1α2 2∵α+β=360°A

Dα·Oβ

∴∠A+∠C=1×360°=180°2同理得∠B+∠D=180°B C【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形 ABCD证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°

（也可利用四边形内角和等于 360°）（四边形内角和等于 360°）【证明】方法三：利用四边形内角和为 360°及同弧所对的圆周角均相等D8A 1

7连接BO并延长，交⊙O于E。连接AE、CE。则BE为⊙O的直径∴∠BAE=∠BCE=90°∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180°即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE（同弧所对的圆周角相等）∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180°即∠BAD+∠BCD=180°A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°

·O634 5B C连接AC、BD，将∠A、∠B、∠C、∠D分为八个角∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6（同弧所对的圆周角相等）∴∠1+∠2+∠5+∠6=1×360°=180°2∵∠1+∠2=∠A5+∠6=∠C∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°（四边形内角和等于 360°）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明AD∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）P∴∠DCE=∠BADB·OEC如图，求证：∠ DCE=∠BADBCD+∠DCE=180°（平角为180°）三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：△BCP∽△ADP，△ABP∽△DCP证明： ∵∠BAP=∠CDP，∠ABP=∠DCP∵∠CBP=∠DAP，∠BCP=∠ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。） 又∵∠APB=∠DPC（对顶角相等）又∵∠APD=∠BPC（对顶角相等） ∴△ABP∽△DCP∴△BCP∽△ADP仍用上图，求证：AP×CP=BP×DP

四、相交弦定理DA证明：P∵△BCP∽△ADP（圆内接四边形对应三角形相似）·OE∴APBCDP（相似三角形的三边对应成比例）BPCP∴AP×CP=BP×DP五、托勒密定理求证：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB×CD+AD×BC=AC×BD【证明】方法一：作辅助线AE，使∠BAE=∠CAD，交BD于点E∴△ABE∽△ACD∵∠ABE=∠ACD（同弧AD所对的圆周角相等）∴ABBE，即AB×CD=AC×BE(1)ACCD又∵∠BAE=∠CADD∵∠BAE=∠CADAE·OCB∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC ∴BC AC，即BC×AD=AC×DE(2)DE AD即∠BAC=∠EAD(1)+(2), 得又∵∠ACB=∠ADE（同弧AB所对的圆周角相等）∴ AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（ BE+DE）∴△ABC∽△AED=AC×BD【证明】方法二：利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。广义托勒密定理广义托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当ABCD四点共圆时取等号。内容：凸四边形对边乘积和≥对角线的积托勒密定理的推论：任意凸四边形 ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当 ABCD四点共圆时取等号。证明如下：在四边形 ABCD中,连接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD，则△ABE∽△ACD∴△ABC∽△AED∴BC/ED=AC/AD∴ED*AC=AD*BC②①+②,得AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC∴BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD又∵BE+ED≥BD∴BE*AC=AB*CD①,AB/AE=AC/AD∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC即∠BAC=/r/