关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计

PAGE-4-PAGE-5-关于向量组线性相关性的几种判定摘要向量组线性相关性在线性代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识。本文从介绍向量组线性相关性的定义着手，然后论述了若干种判定向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定，并比较了不同判定方法的适用条件及范围。正是为了研究线性方程组解的存在性与唯一性，才引入诸如线性相关性、秩、极大线性无关组等基本概念。使用了这些概念，不仅可以圆满地解决线性方程组的问题，还使我们更深刻地认识了线性方程组。同时构建了一座通向向量组线性相关性判定方法的桥梁，使二者之间可以相互转化。在判定向量组线性相关性的问题上，我们可以通过构造线性方程组，在解线性方程组的过程中便可以得到向量组线性相关与否的结论。向量组线性相关性的判定理论作为数学知识中的基础理论，在现实世界中，有着深入的广泛应用。三角网格自适应loop细分方法就是根据线性相关的三个向量在同一个平面的原理，提出了一种新的三维表面自适应loop细分算法，即对网格模型过同一顶点1邻域上的所有三个紧邻边组成的三个向量判断其是否线性相关来断定该顶点的1邻域是否平坦，从而进一步判断该顶点是否参与细分。但是三角网格模型上的三条边不可能都严格地在同一个平面上，当这些向量组成的行列式值趋于零时，便认为它们在同一平面上。实验表明，该方法减少了细分的数据量和处理速度。关键词：向量组；线性相关；行列式；判定方法；矩阵；克莱姆法则；线性方程组等。

SeveralMethodsforJudgingtheRelatedLinearityofVectorsGroupAbstractTheRelatedLinearityofVectorsGroupinLinearAlgebraisonecornstone,thebasisofitsderivationandderivedfromourmanyothertheories.Soskilledmasterlinearvectortodeterminetherelevanceofthemethodallowsustobetterunderstandtheothertheories.ThisarticlefromtheVectorGroup,introducedthedefinitionofalinearcorrelationtoproceed,andthendiscussedanumberofVectorGrouptodeterminethemethodoflinearcorrelation.Forexample,thedefinitionoftheuseoflinearcorrelation,thevalueofthedeterminant,rankofmatrix,homogeneoussolutionoflinearequations,Cramer'sruleappliedtovectorgroups,suchasknowledgeofthelinearcorrelationfound.Andcomparedifferentmethodstodeterminetheconditionsandscopeoftheapplication.Istostudysolutionsoflinearequationsexistenceanduniquenessofbeforetheintroductionofsuchalinearcorrelation,rank,andsoagreatgroupoflinearlyindependentbasicconcepts.Theuseoftheseconceptscannotonlycompletesolutiontotheproblemoflinearequations,butalsogivesusadeeperunderstandingofthesystemoflinearequations.Atthesametime,awaytobuildalinearvectormethodtodeterminetherelevanceofthebridge,sothatconversionbetweeneachother.Linearvectorinthedeterminationoftherelevanceoftheissue,wecanstructurethelinearequations,solvinglinearequationsintheprocessofvectorcanbelinearornottheconclusionsoftherelevant.VectorGrouptodeterminethelinearcorrelationoftheoreticalknowledgeasthebasisofmathematicaltheory,intherealworld,withextensiveuseofdepth.Anewadaptivesubdivisionschemeispresentedbasedontheprinciplewhichisthatthreecomposedofeverythreeadjacentvectorsfromavertexoftrianglemeshiscomputedtoverifywhethertheyarecoplanar.Ifthedeterminatevalueisapproximatelyequaltozero,thesurfacesurroundingthatvertexcanbeconsideredasfairlyflatandthecorrespondingtriangleneedn’tbesubdivided.Suchanapproachcancutdowntheamountofsubdivisionsduringrefiningameshmodelandeffectivelyacceleratetheprocessingspeed.Keywords:Vectorsgroup;Relateddependence;Determinant;Judgingmethod;Matrix;Cramerrule;Solutionofsystemoflinearequations目录引言1 第1章绪论2 第2章向量组线性相关性的定义3 2.1向量组线性相关性的定义…………………….3 2.2小结…………….4 第3章向量组线性相关的判定方法……………………5 3.1定义法………….5 3.2利用向量组内向量之间的线性关系判定…….5 3.3利用齐次线性方程组的解进行判定………….6 3.4利用矩阵的秩判定向量组线性相关性………6 3.5利用行列式的值来判定向量组线性相关性………………….9 3.6反证法………………………..11 3.7利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定………...11 3.8利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性…………..123.8.1引言……………………123.8.2预备知识………………123.9方程组法…………………….17 3.10数学归纳法…………………18 3.11有限维向量空间中向量组的线性关系的判别法…………19 第4章向量组线性相关的具体应用………………….21 4.1引言…………..21 4.2Loop细分模式………………..22 4.3自适应细分曲面……………..23 4.3.1向量相关性的几何意义………………..24 4.3.2顶点平坦度……………24 4.3.3算法的具体步骤………940\h25 4.4实验结果与分析……………..26 4.5结论…………..27 结论与展望……………...28 致谢………………...29 参考文献………………...PAGEREF_Toc231998945\h30 附录A外文文献及翻译……………….31 附录B主要参考文献的题录及摘要 43

插图清单图4-1loop细分模式模板示意图 22图4-2三维空间中3个向量线性相关 23图4-3顶点平坦度定义的示意图 24图4-4三角形分裂的4种情况 26

表格清单表4-1两种方法的实验结果对比 27

引言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用。它与矩阵、线性方程组构成一个整体并且可以实现相互转化。若一个向量组线性相关则意味着在线性方程组中有一个方程可以由其他的方程线性表示。现实世界中往往需要我们分辨判别不同事物的关系，这就是需要我们将待考察的不同事物抽象为不同的向量或是不同的方程——构成向量组或是方程组，研究它们之间的相关性。在统计学中，我们已经将向量组的线性相关性的思想应用到实处。相关分析就是一种统计分析方法，它是对客观存在的具有相互联系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用以表达现象间的平均数量变化关系。线性相关分析在探讨不同类型的糖代谢紊乱与老年危重病人APACHEⅡ评分中得到较深的应用，利用向量线性相关找到了三角网格自适应loop的细分方法，同时在化学、物理、建筑、经济、管理、计算机应用等各领域也都有着广泛的应用，且难度相对于其他数学分支低一些，为人们解决实际问题提供了有利的判断依据。随着科学技术的不断发展，随着数学知识与其他学科结合的不断深化，向量组线性相关性的理论必将深入到我们的日常生活中。为此，我们应当熟练的掌握判定向量组线性相关性的判定方法。关于向量组线性相关性的判定方法，我们可以利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定，从而给出若干种关于线性相关与线性无关的判定方法。向量组的线性相关性反映的是线性方程组中方程间的线性表示，即是否存在可删去的方程。而向量组的一个极大无关组，则反映了由线性方程组中部分方程所构成的与原方程组同解的一个“最简”方程组。那么矩阵的秩(或者行向量组的秩)就是这样一个“最简”方程组中所含方程的个数。PAGE44PAGE43

第1章绪论线性相关性这个概念在数学专业许多课程中都有体现，如解析几何、高等代数和常微分方程中等等。它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基、微数)、子空间等概念有密切关系，同时在解析几何以及常微分方程中都有广泛的应用。因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决问题的重要的理论根据。向量组的线性相关与线性无关实际上可以推广到函数组的线性相关与线性无关。在线性代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。它可以将线性代数中的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起。若能熟练地掌握向量组的线性相关性则能更好的理解线性代数的各部分知识，理清线性代数的框架，做到融会贯通。本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法，从定义及性质下手，熟悉了一些重要理论，从而能在各领域中得到更好的运用。本文的第二章就是介绍了向量组线性相关的定义以及相关理论，熟悉定义就能更清晰的掌握向量组线性相关性的本质。而本文的第三章主要给出了向量组线性相关的若干种判定方法，比较了不同判定方法的优劣及适用范围，并给出了一些详细证明，附带了一些证明题和例题，从而能更深刻地熟悉这些理论知识。第四章主要给出了向量组线性相关性的具体应用。而后面的就是结论与展望及一些参考文献还有一些附录关于引用的具体文献。

第2章向量组线性相关性的定义2.1向量组线性相关性的定义定义2.1给定向量组，如果存在不全为零的数，使(2-1)则称向量组A是线性相关的，否则称它为线性无关。说向量组线性相关，通常是指的情形。但上述定义也适用于的情形。当时，向量组只含有一个向量，对于只含一个向量的向量组，当时是线性相关的，当时是线性无关的。对于含2个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线。3个向量线性相关的几何意义是三向量共面。向量组线性相关，也就是在向量组A中至少有一个能由其他m-1个向量线性表示。这是因为：如果向量组A线性相关，则有不全为0的数，使(2-1)式成立。因不全为0，不妨设，于是便有，即能由线性表示。如果向量组中有某个向量能由其余个向量线性表示，不妨设能由线性表示，即有使，于是因为这m个数不全为0(至少)，所以向量组是线性相关的。向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组。当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组是线性相关的；当方程组中没有多余方程，就称该方程组线性无关。向量组构成矩阵，向量组A线性相关，就是齐次线性方程组，即有非零解。2.2小结只有充分理解了向量组线性相关的定义，我们才能找到不同的判定方法来判定某组向量是否是线性相关的，并比较不同的判定方法的适用条件。第3章向量组线性相关的判定方法3.1定义法这是判定向量组的线性相关性的基本方法。定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组，也适用于分量已经给出的具体向量组。其定义是，给定向量组，如果存在不全为零的数，使，则称向量组A是线性相关的，否则称它为线性无关。也就是说，只有当都为0时，才成立，则称向量组A是线性无关的[1]。例3.1[1]：设，证明向量组线性相关。证明：设存在4个数使得将代入上式有：，，取，则有由向量组线性相关的定义可知，向量组线性相关。3.2利用向量组内向量之间的线性关系判定即向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余个向量线性表示。比如上例，取，则，即可由三个向量线性表示，所以向量组线性相关。这种判定方法就是利用向量组内向量之间的线性关系进行判定的[1]。3.3利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性。即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定。对于各分量都给出的向量组，若以为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解向量，则此向量组是线性相关的。若以为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解向量，则此向量组是线性无关的。例如：例3.2[1]：证明向量组线性相关。证明：以为系数向量的齐次线性方程组是，即利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵，即由行阶梯型矩阵可知，，即齐次线性方程组有非零解，所以向量组线性相关。3.4利用矩阵的秩判定向量组线性相关性设向量组是由个维列向量所组成的向量组，则向量组的线性相关性可由向量组所构成的矩阵的秩的大小来判定。即当时，则向量组是线性无关的。当时，则向量组是线性相关的。主要结论[1]：我们将向量已行排成矩阵(为阶梯型矩阵)于是有如下结论：定理3.1[1]向量组线性相关的充分必要条件是矩阵中出现零行。证明：阶梯型矩阵中出现零行；矩阵的秩；；齐次线性方程组有非零解；向量组线性相关。推论3.1[1]向量组线性无关的充分必要条件是矩阵B中不出现零行。对矩阵进行初等行变换化为阶梯型矩阵B的过程，其实就是对进行向量的线性运算。如果中出现零行，则向量组中一定有某个向量能被其余的个向量线性表示，从而知向量组是线性相关的；反之，如果B中没有零行，则向量组中没有任何一个向量能被其他的向量线性表示，从而知是线性无关的。例3.3[1]：判断向量组的线性相关性。解：将以行排成矩阵矩阵A化为阶梯型矩阵后没有出现零行，则中每个向量都不能被剩下的向量线性表示，故由推论知，向量组是线性无关的。我们注意到，定理中的矩阵在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦出现零行，就可以断定中必有一个向量能被其余剩下的n-1个向量线性表示，从而知向量组线性相关。例3.4[1]：判定向量组的线性相关性。解：将以行排成矩阵所以，矩阵A经过初等行变换后出现了零行，则中必有一向量可以由其余的向量线性表示，故向量组是线性相关的。推论3.2如果向量组中含有零向量，则向量组是线性相关的。推论3.3如果向量组中有个部分组，(其中)线性相关，则向量组也一定线性相关。例3.5：设，问当为何值时，向量组线性相关，并将表示为和的线性组合。解：利用矩阵的秩有可见，当时，向量组线性相关，并且有，所以利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定。3.5利用行列式的值来判定向量组线性相关性若向量组是由m个m维列向量所组成的向量组，且向量组A所构成的矩阵，即A为m阶方阵，则(1)当时，则向量组是线性相关的。(2)当时，则向量组是线性无关的。若向量组的个数m与维数n不同时，则(1)当时，则向量组是线性相关的。(2)当时，转化为上述来进行判定，即选取个向量组成的维向量组，若此维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的。例3.6[1]：已知，试讨论的线性相关性。证明：令，则，所以线性相关。行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定。例3.7[1]：已知向量组是线性无关的，且有，证明向量组线性无关。证明一：设有，使得，即，整理为因为是线性无关的，所以，由于此方程组的系数行列式，故方程组只有零解，所以向量组线性无关。证明二：将已知的三个向量等式写成一个矩阵等式记作。设，以代入。因为矩阵A的列向量组线性无关，所以可推知。又因为，知方程只有零解，所以矩阵B的列向量组线性无关。证明三：将已知条件可以写为记做，因为，所以k可逆，由矩阵的秩的性质可知，且，由此，所以B的三个列向量线性无关。例3.8：设，证明向量组与等价。证明：=，设为因为，故是可逆矩阵，，故A，B等价。例3.9：已知3阶矩阵与三维列向量满足，且向量组线性无关。(1)记，求三阶矩阵，使。(2)求的值。解：(1)因为，然后可以得到，使得。(2)因为得到了，且，而向量组是线性无关的。故P是可逆的。，所以3.6反证法在有些题目中，直接证明结论常常比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公理相悖的结果，从而结论的反面不成立，即结论成立。此方法是数学中常用的证明方法，欲证命题真，先假设命题假，导出矛盾，从而原命题得证。例3.10：设向量组中任一向量不是它前面个向量的线性组合，且，证明向量组是线性无关的。证明：(反证法)假设向量组线性相关，则存在不全为零的个数，使得由此可知，，否则由上式可得即可由它前面个向量线性表示，这与题设矛盾，因此类似于上面的证明，同理可得，最后得到因为，所以，但这又与不全为0相矛盾。因此向量组是线性无关的。3.7利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定线性空间中向量组线性相关的充要条件是它们的象线性相关。因为由可得反过来，由可得。因为是的，所以只有，所以。3.8利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性3.8.1引言在线性空间中，极大线性无关组的概念是一个重要的概念，求极大线性无关组也就成为一个重要内容之一。目前求极大线性无关组的方法归纳起来有所谓的加法及矩阵的初等变换法。然而如果我们按添加法求极大无关组计算量是比较大的，故一般不采用此法。在按矩阵的初等变换法来求时，如果对变换不加限制则将导致错误。事实上，我们都知道对矩阵进行一次行换法变换，相当于对它连续进行几次行消法变换和倍法变换。因此在对矩阵直接作行消法变换的过程中，其结果可能对矩阵作了行的换法变换[2]。例3.11[2]：对下面的矩阵施行一系列的行消法变换(将第二行加到第四行,再将第四行的-1倍加到第二行)，得矩阵:在此变换中，虽然没有直接交换矩阵A中的第一、二行位置，但可明显的看到，在最后的结果中，已将第一、二行交换了位置。因此，如果因为矩阵的行向量组的极大无关组由第一行、第三行与第四行的行向量构成，就得出结论说的行向量组的极大线性无关组也对应地为第一行、第三行与第四行构成的向量组，这显然是错误的。上例说明，在利用矩阵求极大线性无关组时，如果对行的变换不加限制或仅仅是避免直接作行的换法变换，则不能断定中的极大线性无关组就是对应于矩阵的极大无关组。其实，这个问题的解决，只要对行变换作一点限制即可。3.8.2预备知识以表示数域P上一个n维线性空间，。设是的基，，则可由线性表示：现作一个从到的映射：，，易证，上述映射是一个同构映射。由于同构映射保持线性关系，故对于向量组中的向量组，其部分组是极大线性无关组的充要条件是它们在中的象是极大无关组。所以，求线性空间中的极大无关组就可以转化为求中的极大无关组。故我们只须考虑在中求极大无关组的问题。定义3.1[2]一个矩阵中每个非零行的首元素(指该行左起第一个非零元素)出现在上一行首元素的右边，同时元素全为零的行在下面，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。3.8.3主要结果定理3.2[2]设与是中的两个向量组，其中(3-1)如果则在向量组中去掉零向量后剩余的向量与相应的向量等价。证明：1)显然与等价。2)由(3-1)式知可由表示，可由线性表示，依此类推知，可由线性表示()，所以与等价。3)因为所以由(3-1)式有下式上式说明向量组中的部分组都可以由它前面的向量线性表示，所以可由线性表示，于是与等价。由等价的传递性可知，与等价。定义3.2[2]将矩阵某一行的一个倍数加到该行下面的另一行，称这种变换为下消法变换。由定义3.2，定理3.3可表述为：定理3.3[2]若对一个矩阵施行若干次的下消法变换化为矩阵，则的所有非零行向量与中对应位置的行向量等价。特别注：若的非零行构成极大线性无关组，那么对应A中行也构成极大线性无关组。定义3.3[2]如果一个矩阵只需经若干次换行变换就成为阶梯形矩阵，则称为拟阶梯形矩阵。定理3.4[2]任意一个矩阵必定可以用下消法变换为拟阶梯形矩阵。证明：令设的第一列元素中第一个不为零的元素为则可用下消法变换使的第一列元素中位于下方的元素统统变为零。这时变成如下的矩阵若的第一列元素全为零，则仿上法考虑第二列元素。对于矩阵，考虑第2列元素。设自上而下第一个不为零的元素为。若，则可用下消法变换将下方的元素统统变为零。若在第二列元素中除了第行的元素外全为零则考虑下一列元素。这时变成如下的形式：或依此类推，考虑第三列，第四列，，第列。设在第列中自上而下第一个不为零且又不位于行，行，，的元素为，则可用下消法变换将位于第列的下方的元素全部变为零。这时的矩阵变为(3-2)如果在此列中除去，，，行的元素以外，其余的全为零则终止作变换。这时的矩阵为如下的形式：(3-3)无论(3-2)或(3-3)都是拟阶梯型的矩阵。因为只要将,，，所在行的元素分别移至第一行，第二行，，第行，所得矩阵就是阶梯形矩阵。由此，我们得到下面的重要定理：定理3.5[2]若将矩阵作下消法变换化为一个拟阶梯形矩阵B，则中对应于的非零行就的极大无关组。证明：因为在拟阶梯形的矩阵中非零的行即为极大线性无关组，由定理2的特别注知B的极大无关组对应的就是的极大无关组。例3.12[2]在中，求向量组的极大无关组。解：以该向量组为行作成如下的一个矩阵，并对A作下消法变换：第二行的-2倍加到第三行；第二行加到第四行；第二行的-3倍加到第五行矩阵是一个拟阶梯形矩阵。因为只需要将的第二行换至第一行，第一行换至第二行，其余的行不变，则得下面的阶梯形矩阵最后一个矩阵是一个阶梯形的矩阵，它是由矩阵经适当换行变换而得。按定义是一个拟阶梯形矩阵。由定理5知，相应于的非零行，的行为第一行，第二行，第三行，第四行。故所求极大线性无关组为。3.9方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题。对于各分量都给出的向量组线性相关的充要条件是以的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关。例3.13[7]讨论向量组的线性相关性。解：以为系数的齐次线性方程组解得之，，即是方程组的一组非零解，故线性相关。例3.14[7]论。(1)当为何值时，向量组线性无关？(2)当为何值时，向量组线性相关？(3)当向量组线性相关性，将表示为和的线性组合。解：设有实数使，则得方程组，其系数行列式(1)当时，，方程组只有零解，，这时向量组线性无关。(2)当时，，方程组有非零解，即存在不全为0的数，使,此时线性相关。(3)当时，由有令得，，因此有，从而。3.10数学归纳法此方法，即数学中常用的数学归纳法。例3.15[4]设线性无关的向量组可由向量组线性表示，且，则可从中选出个向量组，使得向量组与向量组等价。证明：用数学归纳法当时，有，由于，且，则不全为零，在中设，，故与等价。设时结论成立，推证时结论成立。由于与向量组等价，而又可由向量组线性表示，故有，而题设是线性无关的，故有不全为零，设，则因此，与等价。由上述分析可知，当时结论成立。由数学归纳法知命题成立。3.11有限维向量空间中向量组的线性关系的判别法定义3.4[12]设是数域上维向量空间的一组基，是中任意个向量，而在基中的坐标是令则把叫做向量组在基下的坐标矩阵，显然此定义下的坐标矩阵是唯一的。定理3.6[12]设是数域上维()向量空间上的一个基，是中的任意个向量，令是向量在基下的坐标矩阵，则线性相关的充要条件是秩。证明：构造到的一个映射，，有容易验证是到的一个同构映射，于是线性相关的充要条件是线性相关。由定理5知，线性相关的充要条件是它们的秩。定理3.7[12]维向量空间中向量的线性关系不依赖于向量组的坐标矩阵的选取。证明：设和都是的基，由基到的过渡矩阵是。设是中任意个向量，它在基和下的坐标矩阵分别是和由定理5知，要证定理6只需证秩=秩。由题设条件可以得到如下等式：(3-4)(3-5)(3-6)把(3-4)代入(3-6)中，(3-7)比较(3-5)和(3-7)得：于是和都是向量组在基下的坐标矩阵，由坐标矩阵的唯一性可得：因为T是可逆矩阵，于是秩=秩()=秩。第四章向量组线性相关的具体应用4.1引言曲面造型是CAD/CAM、CG、计算机动画、计算机仿真、计算机可视化等众多领域的一项重要内容，主要研究在计算机图像系统环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。经过30多年的发展，它已形成了以有理B样条曲面参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系。在80年代后期，参数曲面是CAD/CAM曲面的主要表示方法，尤其形成了NURBS理论，使它成为工业产品几何形状定义的唯一数学描述方法。但随着计算机设计的几何对象不断朝着多样化、特殊化、拓扑结构复杂化方向的发展，参数曲面的局限性也越来越明显。通常用参数曲面构造复杂拓扑结构的物体表面时，需要对曲面片进行剪裁或直接在非规则的四边形网格上构造曲面片，无论哪种情况都要考虑片与片之间的光滑拼接，这是很困难的。对于影视动画领域的活动模型，需要采用更加简便的方法来构造任意拓扑结构曲面。细分方法正是在这种情况下迅速发展起来，其基本思想是：采用一定的细分规则，在给定的初始网格中渐进地插入新的顶点，从而不断细化出新的网格。重复运用细分规则，在极限时，该网格收敛于一个光滑曲面。细分曲面就是由初始控制网格按照一定的细分规则反复迭代而得到的极限曲面，它具有以下优点：适应任意拓扑结构、仿射不变、算法简洁通用高效、应用规模可大可小。正是由于细分曲面有着传统参数曲面所不具备的优点，现已广泛应用于计算机辅助几何设计、计算机动画造型及商业造型软件等领域。Loop细分网格具有局部性质，如果移动初始网格上的一个顶点，在最终细分网格或细分曲面上，只会在邻近该顶点的有限区域内发生改变。现有的细分模式主要分为插值和逼近两类，Doo-Sabin，Catmull-Clark和Loop模式属于逼近模式，Kobbelt、、蝶型模式以及改进的蝶型模式属于插值模式。然而，用以上所有细分模式对模型进行细分的过程中，如：Loop方法的细分规则是一分为四，每一层都是全局均匀细分的，随着细分次数的增多，网格的面片数呈指数级增长。而在实际应用中通常只需对不平坦或曲率较高的区域进行细分，使这部分区域更加光滑或者达到用户需要的曲面形态。对一块原来已光滑的区域，再细分也不会得到明显的效果，只会增加数据量；当模型较大时，过多细分不但会给计算机的处理能力增加负担，而且还会影响模型的处理速度，使模型难以控制并影响后续操作。解决这类问题的办法是在细分某一层时，根据实际需要进行误差检测，在满足精度的范围内确定哪些区域不再参与细分，尽可能以相对较少的面片来逼近目标曲面，这就是自适应细分所要达到的目的。所以根据线性代数中的判别准则：当空间3个向量线性相关时，则这3个向量在同一平面上，提出了一种新的Loop自适应细分方法。它利用顶点的局部信息来衡量该顶点的1邻域是否平坦进而决定该区域是否参与细分。向量线性相关的充要条件是三者组成的行列式的值为零。然而，在曲面模型上，三个紧邻边组成的向量不可能严格地落在同一个平面上，通过测试过同一顶点的各组三条紧邻边所构成的三维向量的行列式的平均值是否趋近于零，来判断此顶点的1邻域是否平坦，从而断定此顶点是否参与细分。在此，可用微分几何中向量函数的极限来证明该理论成立。该算法的速度比传统顶点平坦度算法的速度有所提高。4.2Loop细分模式1987年Utah大学的Loop提出一种基于三角网格的面分裂细分模式，所生成的曲面是盒式样条曲面的推广。通过对非三角网格进行三角化处理，Loop模式也可以应用于任意多边形网格。它是一种逼近的细分模式，所生成的曲面在正则曲面上是C2连续，在奇异点处是C1连续。Loop模式采用1-4三角形分裂。为了说明Loop细分方法所涉及的变量和名词，在这里统一做出以下规定[13]：奇点：当前网格上新插入的点；偶点：从前一层网格上继承下来的点；价：网格中每一顶点连接的边数；正则点：网格上价为6和边界上价为4的点；否则为奇异点；正则网格：没有奇异点的网格；模板：计算顶点位置时各顶点加权值的图示表；顶点1—邻域：由该顶点的紧邻三角形组成的三角网格集；大写的字母V并带有数字下标的都表示顶点，小写字母并带数字下标的表示向量，小写字母、、并带数字下标的表示顶点3个坐标，大写字母N表示顶点法向量，表示顶点的价。Loop细分模式各种顶点的模板如图4-1所示：图4-1loop细分模式模板示意图内部奇点V的计算如下：内部偶点V的计算如下：设V的邻接顶点，k是顶点V的价，的定义如下：边界上的奇点和偶点，可用图1中(c)、(d)的模板来计算。4.3自适应细分曲面自适应细分只选那些不光滑和曲率相对较高的曲面区域进行细分。到目前为止，已经有人对此做了大量研究，提出了很多自适应方法，常见的有：按网格面间夹角(或网格面法向间的夹角)，以二面角方法最多；按控制顶点V与它的极限位置间的距离，其中包括欧氏距离准则、顶点极限距离准则、边点极限距离准则、1邻域顶点到它的极限顶点法平面距离准则等；顶点曲率准则；顶点平坦度准则[13]。4.3.1向量相关性的几何意义在三维空间中，一个非零向量是线性无关的。设两个非零向量线性相关，那么可以由线性表示，即(k是不为零的常数)，则这两个向量在同一条直线上；否则它们线性无关，那么这两个向量不在过原点的同一直线上，则确定了一个平面。当非零向量在确定的平面上时，那么可写成的线性组合，它们线性相关，则在同一个平面上(如图4-2所示)；否则它们线性无关，确定了一个三维空间。图4-2三维空间中3个向量线性相关向量线性相关的充要条件为它们组成的行列式为零。4.3.2顶点平坦度该文提出另一种以顶点平坦度作为阈值标准的自适应细分方法。对网格模型上的一个顶点来说，过同一顶点的两条边确定了一个平面，如果可以判断过该顶点的第三条边也在这个平面上，这三条边所组成的向量就线性相关。再依次前进判断上两条边和紧邻的那一条新边是否也在同一平面上，反复迭代，直到回到第一条边，这样顶点V的1邻域上所有相邻的三条边都参与了运算。图3为顶点平坦度的示意图，计算公式为其中，，分别为图4-3顶点平坦度定义的示意图然而，网格模型是曲面的，不可能严格的在一个平面上。如果小于一个给定的阈值，趋于零的话，就可以认为这个顶点是平坦的，不再参与细分。如果考虑的是顶点法向和顶点1邻域各面片法向量的夹角，需要计算顶点法向量和各三角面法向量，而该算法只计算三维向量的行列式，相对更简单。用该算法对那些不平坦或者是高曲率的区域进行细分。4.3.3算法的具体步骤为了更简洁地描述本算法步骤，定义几个相关概念。如果三角网格中某个顶点的平坦度满足给定的阈值，则称该点为死点，否则称其为活点。当三角形一条边的两个端点都为死点时，称该边为死边，其余情况称为活边。如果三角形的三个顶点都为死点，则称该三角形为死面，其余情况称其为活面。该算法利用顶点的局部信息来决定该局部区域是否参与下层细分。初始时，所有的控制点、三角形的边和三角形本身都分别标记为活点、活边和活面。在具体细分某个三角形时，其分裂的形式由其所含死边的个数(Degreeofdeadness,Dod)决定。死边不再插入新点。通过设置阈值来控制其自适应细分过程。基于顶点平坦度的自适应细分算法的具体步骤如下[13]：(1)遍历网格模型所有顶点，计算出每个顶点的价。(2)根据式(4-1)计算各个顶点的平坦度，如果满足给定的阈值ε，则标记其为死点。(3)由三角形所含死点的情况，标记该三角形的死边和活边，并标记该三角形为死面还是活面。(4)产生奇点(新点)。对于死边，不在其上插入新点。对于活边，新点的插入及方式和计算位置采用的模板与Loop细分模式一样。(5)产生新面。对于死面，由于其含有死边的个数(Dod)至少为2，不再将其分裂，如图4(d)所示。对于活面其分裂的方式又可分为两种：·当Dod=0时，该活面采用Loop细分分裂成4个小三角形，如图4(a)所示。·当Dod=1时，不在死边插入新点，新的三角形生成方式取决于另外两条边端点的平坦度大小。图4(b)为V1的平坦度大于V2时的新面生成方式，图4(c)为V1的平坦度小于或等于V2的处理方式。(6)更新所有偶点的位置。采用的模板与通常的Loop细分相同。(7)进行下次细分，直至满足用户需要。图4-4三角形分裂的4种情况4.4实验结果与分析表4-1在给定同一阈值的情况下对比了这两种方法的实验结果。从表4-1中可以看出，传统方法经三次细分所得的面片数多于该文方法的，但两者差距不是很大(最多为247个)。由于该文方法计算简单，细分次数越多，速度上的优势越明显。表4-1两种方法的实验结果对比4.5小结根据过同一起点的3个向量线性相关在同一平面上的原理，提出了一种新的自适应细分方法，即对网格模型1邻域上过同一顶点的所有3个紧邻边组成的3个向量计算其是否线性相关来判断该顶点的1邻域是否光滑，从而进一步判断该顶点是否参与细分。实践证明该方法是有效的，可应用在复杂表面建模和细化，有效地对模型局部进行快速逼近。结论与展望本章对全文的内容及意义进行了总结并对以后的研究工作进行了展望。1)本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行研究，从而等到一些基本的判定方法，在具体的问题中应用这些判定方法，可以迅速得到解答，也得到了一些结果和认识。本文的研究成果及意义可概括如下：1.介绍了向量组线性相关的定义及其重要性质及定理，让我们更加深刻的了解向量组的线性相关。从中又给出了判定向量组线性相关的多种方法，在以后解决具体问题时有一定的帮助。2.在得到了向量组线性相关的基本判定方法的基础上，通过深入研究和递推，得出了几种特殊的判定方法，例如反证法，利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定的方法等。3.在基于推出的判定向量组线性相关性的若干方法的基础上，运用这些知识我们可以在各种证明题和解答题中加以运用。2)今后的工作展望针对本论文展开的研究内容及所取得的结果可以看出，还有一些问题有待于进一步深入研究：1.如何寻求新的判定方法来实现对向量组线性相关性的判定。2/r/