《概率论与数理统计》习题及答案-第一章

概率论与数理统计》习题及答案第一章1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：掷一颗骰子，记录出现的点数.A=‘出现奇数点'将一颗骰子掷两次，记录出现点数.a=‘两次点数之和为10'B=‘第一次的点数，比第二次的点数大2'一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球，观察其结果，a=‘球的最小号码为1'；将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，a=‘甲盒中至少有一球'记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，a=‘通过汽车不足5台'b=‘通过的汽车不少于3台'解(1)S={e,e,e,e,e,e}其中e=‘出现i点'TOC\o"1-5"\h\z123456ii=1,2,,6，A={e,e,e}。135•••S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；A={(4,6),(5,5),(6,4)}；B={(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}。⑶S={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}S={(ab,-,-),(一,ab,-),(一,一,ab),(a,b,-),(a,—,b),(b,a,—),(b,-,a),(-,a,b,),(-,b,a)}，其中‘-'表示空盒;A={(ab,-,-),(a,b,-),(a,-,b),(b,a,-),(b,-,a)}。S={0,1,2,},A={0,1,2,3,4},B={3,4,}。2•设A,B,C是随机试验e的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：仅A发生；A,B,C中至少有两个发生；A,B,C中不多于两个发生；A,B,C中恰有两个发生；A,B,C中至多有一个发生。解⑴ABC(2)ABACBC或ABCABCABCABC；uuuuu(3)ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；j(4)U_U丄Juu4)ABCABCABC；⑸AB寸CBC或ABCABCABCABC；—个工人生产了三件产品，，，以a(•=1,2,3)表示第i件产品是正品，试用a表示下列事件：(1)没有一件产品是次品；(2)至少有一件产品是次品；(3)恰有一件产品是次品；(4)至少有两件产品不是次品。解(1)AAA；(2)AAA；(3)123123AAAAAAAAA；(4)AAAA(AAI。123123123121323在电话号码中任取一个电话号码求后面四个数字全不相同的概率。解设a=‘任取一电话号码后四个数字全不相同'则P4126P(A)=斑==0.504104250一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求(1)5只全是好的的概率；(2)5只中有两只坏的的概率。解(1)设a=‘5只全是好的'则P(A)=C5-0.662；40

(2)设B=‘5只中有两只坏的'则C2C3P(B)二—70.0354・C5406•袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求1)3个球的最小号码为51)3个球的最小号码为5的概率；2)3个球的最大号码为5的概率(1)设a=‘最小号码为5'则C21P(A)二4二-；C312102)设2)设B=‘最大号码为5'则C21P(B)二4=-C320107.(1)教室里有厂个学生，求他们的生日都不相同的概率；(2)的概率.(2)的概率.房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月(1)设A=‘他们的生日都不相同'则PrP(A)二3635(2)设B=‘至少有两个人的生日在同一个月'则

41；996n”、C2C1P2+C2C2+C3P241；996P(B)二4―1^T+4124^212124P441P(B)=1-P(B)=1-盂二968．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解设A=‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天'，则P(A)二C；(26—2)二0.01107.为什么769•将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少解设A二‘恰好排成SCIENCE'1将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母c在7个位置中占两个位置，共有C2种占法，字母7E在余下的5个位置中占两个位置，共有c2种占法，字母I,n,C剩下的3个位置上全排列的方法共3!种,故基本事件总数为C2•C2•引二1260，而A中的基本事件只有一个，故75P(AP(A)二11C2•C2•3^126075解七个字母中有两个E,两个C,把七个字母排成一2排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n个，第二种元素有n个…，第k种元素12有n个(nnnn),将这n排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n个，第二种元素有n个…，第k种元素12有n个(nnnn),将这n个元素排成一排称为不尽相k12k异元素的全排列。不同的排列总数为n!,n!n!n!12k对于本题有P(A)141市7!面02T2~!10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：A‘三个数字中不含0和5'，A‘三个数字中不含0或5'，A‘三个数字中含0但不23含5'.P(A)1C3C3C3C314，ct10ct10ct1015Ct10715P(A)2P(A)1P(A)22C11418-Cs1510P(A)3C28-Cs1073011•将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A‘每堆各成一双'的概率.

解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共(2n)!=凹！‘每堆各成一双'共有n!种情况，故2!2!2!(2!)n(2n)!(2n)!12•设事件A与B互不相容，P(A)=0.4,P(B)=0.3，求P(AB)与P(AB)解P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)=0.3因为A,B不相容，所以A二B，于是P(AB)=P(A)=0.613•右P(AB)=P(AB)且P(A)二P，求P(B)・解P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)由P(AB)=P(AB)得UP(B)=1-P(A)=1-p14•设事件A,B及AB的概率分别为p,q,r，求P(AB)及P(AB)P(AB)二P(A)+P(B)—P(AB)二p+q—rP(AB)=P(A)+P(B)-P(AB忆P(A)+1-P(B)-P(A)+P(AB)=1一q+p+q一r=1+p一r-15•设P(A)+P(B)=0.7，且A,B仅发生一个的概率为，求A,B都发生的概率。解由题意有1———0.5=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.7-2P(AB),所以P(AB)=0.1.A,B仅发生一个可表示为AB—AB，故0.5=P(AB)—P(AB)=P(A)+P(—2P(AB),所以P(AB)=0.1.16•设P(A)=0.7,P(A—B)=0.3,P(B—A)=0.2，求P(AB)与P(AB)・解0.3=P(A—B)=P(A)—P(AB)=0.7—P(AB),所以P(AB)=0.4,故P(AB)=0.6；0.2=P(B)—P(AB)=P(B)—0.4・所以P(B)=0.6P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=0.117•设ABuC，试证明P(A)+P(B)-P(C)<1［证］因为ABuC，所以P(C)>P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)>P(A)+P(B)-1故uP(A)+P(B)-P(C)<1证毕.18．对任意三事件A,B,C，试证P(AB)+P(AC)-P(BC)<P(A)・［证］P(AB)+P(AC)-P(BC)<P(AB)+P(AC)-P(ABC)=P(ABAC)=P{A(BC)}<P(A)19．设A,B,C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=-，求A,B,C至少48有一个发生的概率。P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(AB0因为U<P(ABC)<P(AB)=0，所以P(ABC)=0，于是

20•随机地向半圆0<yy2ax-x2（a为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于冗/4的概率.设A二设A二‘原点与该点连线与x由几何概率的定义11A的面积4兀a2+2a211==_+一半园的面积1冗a22兀221•把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.解设A=‘三段可构成三角形'又三段的长分别为解设A=‘三段可构成三角形'又三段的长分别为1解设三段长分别为x,y,z，则0<x<a,0<y<a,0<z<a且x+y+Z二a，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.A发生x/