2020年二轮微专题椭圆中与面积有关的取值范围问题

微专题37椭圆中与面积有关的取值范围问题取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.如图37-1所示,已知椭圆C：a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为F(—1,0),左准线方程为x=—2.图37-1(1)求椭圆C的标准方程；⑵若A,B两点满足OA丄OB(O为坐标原点)，求AAOB面积的取值范围．|归也求椭圆中某个三角形的面积的最值或范围问题，一般是从函数角度出发，本题也是如此，而构建函数是本题的关键，先是选择变量，条件OA丄OB启示本题应选直线OA(或OB)的斜率k为变量，根据三角形的几何特征，通过代数计算建立三角形的面积关于k的函数，然后利换元法求出最终结果.2联想问题垂拘网络2联想问题垂拘网络尸如图37-3所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+y2=l,点A是椭圆上异于长轴端点的任一点，F为椭圆的右焦点,直线AF与椭圆交于B点，直线AO与椭圆交于C点，求厶ABC面积的最大值．图37-3丰设椭圆e：H+普=1,p为椭圆c：X2+y2=i上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.如图37-4所示.图37-4⑴求oP的值;3(2)求厶ABQ3(2)求厶ABQ面积的最大值.抽识串联融会费通宙併激话如图37-5所示，已知椭圆C：-2+y2=l,设A],A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x=2、/2上一动点（不在x轴上），直线A]S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N设»,S2分别为△A]SA2,S△MSN的面积，求S1的最大值.图37-5x2y2I■.#已知点A（0，—2），椭圆E：a2+b2=]（a>b>°）的离心率为亨，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为斗3,O为坐标原点.如图37-6所示．图37-6（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．（2020•无锡模拟）在平面直角坐标系xOy（2020•无锡模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：石H-b2=1（a>b>0）的离心率为~2，且过点（\'32），点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.如图37-7所示．图37-7⑴求椭圆C的标准方程；（2）求厶PCD面积的最大值.答题标准减少失分（本小题满分14分）（2019・苏北七市三模）如图37-8所示，在平面直角坐标系xOy平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：02+b2=l（a>b>O）的上顶点为（1）求椭圆C的方程；（2）过点M作直线*交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线*的垂线12交圆O于另一点N.若厶PQN的面积为3,求直线1］的斜率.su（1）罟+等=1；（2）±2・

W1（1）因为椭圆C的上顶点为A（0，屮），所以b=、卩，又圆O:x2+y2=|a2经过点M（0，1），所以a=2.2分（求出a）2.所以椭圆c的方程为普+y2=i.分（求出椭圆方程）⑵若1⑵若1］的斜率为0,则PQ=436,MN=2,所以APON的面积为去6不合题意，所以直线1］的斜率不为0.5分（检验1］的斜率为0是否合理）鼻=1,y=kx+l）消设直线1］的方程为y=kx+1，由丹+葺y，得（3+4k2）x2+8kx—8=0，设P（x］，y］），鼻=1,y=kx+l）消则=—4k_2寸6.寸2k2+1=—4k+2护•寸2k2+1则X］=3+4k2，X2=3+k2'所以IPQI（X］_x2）2+（y］—y2）28分（利用弦=申—x」=48分（利用弦直线12的方程为y=—（x+l，即x+ky—k=0,IklIkl圆心到直线的距离d=严，所以|MN|=2]-i+l22\fl+k2，11分（由IMN\=2、jr2—d2容易求得MN）所以△pqn的面积s=2ipQI・imni=3+4k2y4/6Jl+k272k3+4k2x1；1+2一3解得k=±2，即直线l］的斜率为±2・14分（将求得的PQ,MN代入面积公式求出1］的斜率）答题模板第一步：由圆O过点M,求出a；第二步：求出椭圆的方程；第三步：检验l1的斜率为0时，题设是否成立；第四步：联立方程，由弦长公式求出PQ；第五步：由圆心到直线的距离和半径求出圆的弦长MN；第六步：将求出的PQ,MN代入S^Pqn=3求得斜率k.作业评价「点P为椭圆#+普=1上的动点,行,F2是左右焦点，若"严?=30°,则厶F1PF2的面积是.丁若椭圆X42+b2=1（0<b<2）的左、右焦点分别为F1,F2,B是短轴的一个端点，则△F］BF2的面积的最大值是.L椭圆a2+b2=l(a>b>0)的长轴端点为A，B，短轴端点为C,D,动点P满足PB=2,△PAB面积的最大值为£,△PCD面积的最2小值为3,则此椭圆的离心率为.PT已知A,B分别为椭圆02+b2=l(a>b〉0)的右顶点和上顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆交于C,D两点，若四边形ACBD的面积最大值为3b2,则椭圆的离心率为.I"■厂过椭圆話+普=1上一点P作圆x2+y2=2的两条切线，切点分别为M,N,若直线MN与x轴、y轴分别交于点A,B,贝仏OAB面积的最小值为丁椭圆两焦点分别为行(一4/r/