雪莹圆锥曲线与向量综合题

圆锥曲线与平面向量考纲透析考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.圆锥曲线与平面向量的综合.新题型分类例析1.中心在原点的双曲线C的右焦点为〔2，0〕，右顶点为〔1〕求双曲线C的方程；〔2〕假设直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且〔其中O为原点〕.求k的取值范围.解：〔Ⅰ〕设双曲线方程为由得故双曲线C的方程为〔Ⅱ〕将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，那么而于是②由①、②得故k的取值范围为2..椭圆C：＋＝1〔a＞b＞0〕的左．右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.〔Ⅰ〕证明：λ＝1－e2；〔Ⅱ〕确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.〔Ⅰ〕证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.所以点M的坐标是〔〕.由即证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以因为点M在椭圆上，所以即解得〔Ⅱ〕解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即设点F1到l的距离为d，由得所以即当△PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是，那么，由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得从而于是即当时，△PF1F2为等腰三角形.3.设，为直角坐标平面内轴、轴正方向上的单位向量，假设，且.〔Ⅰ〕求点的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕假设A、B为轨迹C上的两点，满足，其中M〔0，〕，求线段AB的长.[启思]4.椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等根本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.总分值12分.〔1〕解：设椭圆方程为那么直线AB的方程为，代入，化简得.令A〔〕，B〕，那么由与共线，得又，即，所以，故离心率〔II〕证明：〔1〕知，所以椭圆可化为设，由得在椭圆上，即①由〔1〕知[变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，准线l与x轴相交于点A(–1，0)，过点A的直线与抛物线相交于P、Q两点.〔1〕求抛物线的方程；〔2〕假设•=0，求直线PQ的方程；〔3〕设=λ〔λ>1〕，点P关于x轴的对称点为M，证明：=-λ..6.在平面直角坐标系中，向量，且.〔I〕设的取值范围；〔II〕设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.7.，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，，.〔Ⅰ〕当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；〔Ⅱ〕过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.8.点C为圆的圆心，点A〔1，0〕，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且〔Ⅰ〕当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；〔Ⅱ〕假设直线与〔Ⅰ〕中所求点Q的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，且，求△FOH的面积椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕假设直线：〔〕与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．10．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ，证明(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。10.平面上一定点和一定直线Ｐ为该平面上一动点，作垂足为，.(1)问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；点Ｏ是坐标原点，两点在点Ｐ的轨迹上，假设求的取值范围．11.如图，E、F为平面上的两个定点，，且，·，〔G为动点，P是HP和GF的交点〕〔1〕建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；〔2〕假设点的轨迹上存在两个不同的点、，且线段的中垂线与GFPHE〔或的延长线〕相交于一点，那么＜〔为的中点〕．GFPHE12．动圆过定点，且与直线相切.(1)求动圆的圆心轨迹的方程；(2)是否存在直线，使过点〔0，1〕，并与轨迹交于两点，且满足？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，说明理由.13．假设动点P满足〔1〕求动点P的轨迹方C的方程；〔2〕设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线的距离的最小值.19．如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=CBCBDA〔Ⅰ〕建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；〔Ⅱ〕假设点E满足,是否存在斜率两点，且，假设存在，求K的取值范围；假设不存在，说明理由。解〔1〕双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，∴所求的椭圆方程为〔2〕由,，设点P的坐标为，那么由得那么，解之得，由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分〔3〕直线，设点M是，那么点M到直线AP的距离是，于是，又∵点M在椭圆的长轴上，即∴当时，椭圆上的点到的距离又∴当时，d取最小值2．解：〔1〕由，得…………………3分∴夹角的取值范围是〔〕………………6分〔2〕…………………………8分………………10分∴当且仅当或…………12分椭圆长轴或故所求椭圆方程为.或…………14分解：〔Ⅰ〕∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，那么x1x2＋y1y2＝0，……1分又P、Q在抛物线上，∴y12＝2px1，y22＝2px2，∴eq\f(y12,2p)·\f(y22,2p)＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2，∴|y1y2|＝4p2，……3分又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p=1．……4分〔Ⅱ〕设E(a,0〕，直线PQ方程为x＝my＋a,联立方程组eq\b\lc\{(\a\al\col(x＝my＋a,y2＝2px)),……5分消去x得y2－2pmy－2pa＝0,……6分∴y1y2＝－2pa,①……7分设F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：y1y3＝－2pb,②……8分由①、②可得eq\f(y3,y2)＝eq\f(b,a),③……9分假设eq\o(TR,\s\up6(→))＝3eq\o(TQ,\s\up6(→))，设T(c,0)，那么有(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0),∴y3＝3y2即eq\f(y3,y2)＝3,④……10分将④代入③，得b＝3a．……11分又由〔Ⅰ〕知，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0,∴y1y2＝－4p2，代入①，得－2pa＝－4p2∴a＝2p,……13分∴b＝6p,故，在x轴上，存在异于E的一点F(6p,0)，使得eq\o(TR,\s\up6(→))＝3eq\o(TQ,\s\up6(→))．………………14分注：假设设直线PQ的方程为y＝kx＋b，不影响解答结果．〔Ⅰ〕解：设那么……………...2分由得，……………..4分又即，……………6分由得……………………..8分〔Ⅱ〕设，因为，故两切线的斜率分别为、……………10分由方程组得………..12当时，，，所以所以，直线的方程是…………解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：，--------2分∵，∴，-----------------------------------4分又得∴∴，-------------------------------6分∴所求椭圆C的方程为．------------------------------------------------7分(Ⅱ)由〔Ⅰ〕知点A(－2,0)，点B为〔0，－1〕，设点P的坐标为那么，,由－4得－，∴点P的轨迹方程为------------------------------------9分设点B关于P的轨迹的对称点为，那么由轴对称的性质可得：，解得：，------------------------------11分∵点在椭圆上，∴，整理得解得或∴点P的轨迹方程为或，-------------------------------------------13分经检验和都符合题设，∴满足条件的点P的轨迹方程为或．---解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得①设A、B两点的坐标分别是〔x1,y1〕、(x2,y2),那么x1、x2是方程①的两根。所以由点P〔0，m〕分有向线段所成的比为，得，即又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是〔0，--m〕,从而=====0，所以(Ⅱ)由得点A、B的坐标分别是〔6，9〕、〔--4，4〕。由得，所以抛物线在点A处切线的斜率为。设圆C的方程是，那么解之得所以圆C的方程是，解:(1)由,得:,………〔2分〕设,那么,化简得:,………〔4分〕点P在椭圆上,其方程为.………〔6分〕(2)设、，由得：，所以，、B、C三点共线.且,得:,即:…〔8分〕因为,所以①………〔9分〕又因为,所以②………〔10分〕由①-②得:,化简得:,………〔12分〕因为,所以.解得:所以的取值范围为.解：〔1〕如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系。----------------------------------------1分由题设，∴，而-------------3分∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆，故点的轨迹方程是：-----------------4分〔2〕如图2，设，，，PBGEAHFOPBGEAHFOC图2即又、在轨迹上，∴，即，---------------8分代入整理得：∵，∴．---------------------10分∵，，∴．