【高考压轴题】空间立体几何经典大题汇编100题(含答案)_第1页
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试卷第试卷第151页，总150页(2)由(1)知*丄AC，AA］丄AB，又AB=3,BC=5,AC=4，所以AB丄AC.所以AA1,AB,AC两两垂直。以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则B（0,3,0）,A（0,0,4）,B（0,3,4），C（4,0,4）.设平面A1BC1的法向量为n=（x,y,z），贝yn-AB=0[3y-4z=0n•AC=014x=0，11令£=3，则得n=（0,4,3）。同理可得平面BBC的法向量为m=（3,4,0），匕i所以cos所以cos：；n,m|n|m25由图形知二面角Af-BC1-B1为锐角,16所以二面角A1-BC1-B]的余弦值为。点睛：用法向量法求二面角的大小时，两个法向量的夹角与二面角大小不一定相等，这里有两种情形，即法向量的夹角可能与二面角相等，也可能互为补角．解题时，在求得两个法向量的夹角的基础上，再根据所给的图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再得出二面角的大小．100.；(2)755.1155解析】

试题分析：（1）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组求出平面一个法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角关系求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值；（2）列方程组求出两个平面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角A-PQ-B的余弦值.试题解析：・・•PA丄AB，PA丄BC,・・・PA丄底面ABCD，又底面ABCD为矩形，.••分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,0,0）,B（2,0,0）,D（0,1,0）,P（0,0,2）,Q（2,1,3）.•AP=(0,0,2),BP=(—2,0,2),PQ=(2,1,1),PD=(0,1,-2).（D设平面BPQ的一个法向量件三*,yi,Z>BPBP-n=011PQ-n=01—2x+2z=0,/、2J丄1_0令勺=1，得件=(1，一3,1丿,2x+y+z=0,11111・・・PD与平面BPQ所成角的正弦值sin。=nPDi（2）设平面APQ的一个法向量n=（x22,y2,z2)IAP-n=0则12|PQ・n=02n1n-n1耳Hi2z=0,_2丄2丄0令x2=1，得2x+y+/r/

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