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试卷第试卷第151页,总150页(2)由(1)知*丄AC,AA]丄AB,又AB=3,BC=5,AC=4,所以AB丄AC.所以AA1,AB,AC两两垂直。以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A(0,0,4),B(0,3,4),C(4,0,4).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),贝yn-AB=0[3y-4z=0n•AC=014x=0,11令£=3,则得n=(0,4,3)。同理可得平面BBC的法向量为m=(3,4,0),匕i所以cos所以cos:;n,m|n|m25由图形知二面角Af-BC1-B1为锐角,16所以二面角A1-BC1-B]的余弦值为。点睛:用法向量法求二面角的大小时,两个法向量的夹角与二面角大小不一定相等,这里有两种情形,即法向量的夹角可能与二面角相等,也可能互为补角.解题时,在求得两个法向量的夹角的基础上,再根据所给的图形判断出二面角是锐角还是钝角,然后再得出二面角的大小.100.;(2)755.1155解析】
试题分析:(1)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组求出平面一个法向量,利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角,最后根据线面角与向量夹角关系求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值;(2)列方程组求出两个平面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角A-PQ-B的余弦值.试题解析:・・•PA丄AB,PA丄BC,・・・PA丄底面ABCD,又底面ABCD为矩形,.••分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2),Q(2,1,3).•AP=(0,0,2),BP=(—2,0,2),PQ=(2,1,1),PD=(0,1,-2).(D设平面BPQ的一个法向量件三*,yi,Z>BPBP-n=011PQ-n=01—2x+2z=0,/、2J丄1_0令勺=1,得件=(1,一3,1丿,2x+y+z=0,11111・・・PD与平面BPQ所成角的正弦值sin。=nPDi(2)设平面APQ的一个法向量n=(x22,y2,z2)IAP-n=0则12|PQ・n=02n1n-n1耳Hi2z=0,_2丄2丄0令x2=1,得2x+y+/r/
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