2020年高考复习：机械波点点清专题4 机械波的周期性和多解问题

机械波点点清专题4波传播的周期性和多解性问题波动问题多解的主要因素周期性时间周期性：时间间隔At与周期T的关系不明确.每经过nT,质点完成n次全振动回到原来的状态，在时间上形成多解，多解通式为t=nT+At.空间周期性：波传播的距离Ax与波长入的关系不明确.在波形图上，相距n入的质点振动状态完全一致，在空间上形成多解，多解通式为x=n入+Ax.双向性传播方向双向性：波的传播方向不确定.只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向或沿X轴负方向传播。振动方向双向性：质点位移、速度方向不确定.质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能，质点在某一确定位置，振动速度方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能；波形的不确定：在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。求解波的多解问题一般思路根据题设条件结合多解的主要因素判断是唯一解还是多解根据周期性、双向性、波形的隐含性，采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系At或Ax，确定时间t和距离x的关系通式。若此关系为时间，则t=nT+At(n=0,l,2,…)；若此关系为距离，贝则x=n入+Ax(n=0,l,2,…).Ax入根据波速公式v=亍或v=〒=入f求波速。题型1波形的不确定性形成多解【典例1】(2013年重庆卷)(多选)一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6m,且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为()4m、6m和8mB.6m、8m和12m4m、6m和12mD.4m、8m和12m【解析】根据题意，有以下三种情况符合要求：m.入ab=m.入ab=6m,即亏=6m,入］=12cd=6m,即卩入=6m.2ef=6m,即2入3=6m,入3=4m,故C正确，A、B、D错误.【答案】C题型2双向性形成多解【典例2】（双向性）一列简谐横波在t=0时刻的波形如图中的实线所示，t=0.02s时刻的波形如图中虚线所示。若该波的周期T大于0.02s,则该波的传播速度可能是（）A．2m/sB．3m/sC．4m/sD．5m/s解析这类问题通常要设出波的传播方向：（1）设波向右传播，则在0时刻x=4cm处的质点向上振动，t=0.02s时刻该质点运动到1入0.08波峰的位置，由题意知T〉0.02s,贝9t=［T,即T=0.08s,v=T=0~08m/s=1m/s。（2）设波向左传播，则在0时刻x=4cm处的质点向下振动，t=0.02s时刻该质点运动到波峰的位置，由于T〉0.02s,贝吐=未，即T=°y8s，v=*=0~0|m/s=3m/s。"I-综上所述，只有B选项正确。答案B题型3波传播的周期性形成的多解【典例3】（多选）］（空间周期性）一列简谐横波沿x轴的正向传播，振幅为2cm，周期为T。已知为t=0时刻波上相距50cm的两质点a、b的位移都是1cm,但运动方向相反，其中质点a沿y轴负向运动，如图所示，下列说法正确的是（）该列简谐横波波长可能为150cm该列简谐横波波长可能为12cmti30当质点b的位移为+2cm时，质点a的位移为负ti305T在t=T7时刻质点b速度最大质点a、质点b的速度始终大小相等，方向相反［解析］根据质点的振动方程：x=Asinst,设质点的起振方向向上，且a、b中间的n距离小于1个波长，则b点：l=2sinet所以et厂石，a点振动的时间比b点长，所1165n5nn2n以由1=2sinet2,得①七2=〒，a、b两个质点振动的时间差：人七=七2-七］=6広一6広=3^TtA1=§,所以a、b之间的距离：Ax=vAt=vF=~3。则通式为n+§2=50cm,n=0,1,2,3,…；150则波长可以为2=3n+1cm（n=0,1,2,3,…）；当*=0时，2=150cm，由于n是整数，所以A不可能为12cm,故A正确，B错误。当质点b的位移为+2cm时，即b到达波峰时，_nnT结合波形知，质点a在平衡位置下方，位移为负，故C正确。由et］=石，得t厂乔二正，T5T当七=2一七］=正时质点b到达平衡位置处，速度最大，故D正确。由题意及以上分析可知，a、b两质点间的距离不可能是半波长的整数倍，则两质点的速度不可能始终大小相等、方向相反，故E错误。［答案］ACD【典例4】（2018・武汉华中师大附中模拟）（时间周期性）一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P、Q两个质点，它们相距为0.8m，当t=0时，P、Q两点的位移恰好是正最大值，且P、Q间只有一个波谷，t=0.6s末时，P、Q两点正好都处在平衡位置，且P、Q两2点间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q点的距离为才，试求：⑴若波由p传至Q,波的周期；（2）若波由Q传至P,波的速度；（3）若波由Q传至P,从t=0时开始观察，哪些时刻P、Q间（P、Q除外）只有一个质点的位移大小等于振幅？解析：（1）若波由p传到Q,由题结合波形得到，34t2.4t=n+4T，得T=jn+3=4n+3sar,1,2,…）。（2）若波由Q传到p,由题结合波形得到，t=n+4T,2.4得T=zn+rs。又由题意可得波长2=0.8m，21则波速v=〒=3（4n+1）m/s（n=0,1,2,…）。（3）从t=0开始，波形每隔半个周期时，P、Q间（P、Q除外）只有一个波峰或波谷，即只有一个质点的位移等于振幅，…T1.2m/、贝9t=m•2=4n+is（m=1,2,3,…；n=0,1,2,…）。2.4答案：（1）4^3s（n=0,1,2,…）（2）3（4n+1）m/s（n=0,1,2,…）/、1.2m（3）4卄1s（m=1,2,3,…；n=0,1,2,…）【典例5】（2018•河北唐山一模）（多选）（时空周期性）如图10所示为一列向左传播的横波的图象，图中实线表示t时刻的波形，虚线表示又经At=0.2s时刻的波形，已知波长为2m,下列说法正确的是（）图10波的周期的最大值为2s2波的周期的最大值为9s波的速度的最小值为9m/s这列波不能发生偏振现象这列波遇到直径r=1m的障碍物会发生明显的衍射现象解析0.2m=11o入，因波向左传播，则由图象可知波向左传播的距离为［n+衞入（n=0、1、2…），所以0.2s=［n+£jT（n=0、1、2…），n=0时，周期最大，最大值为［=彳s,波入速最小，最小值为v=T=9m/s，所以选项A错误，B、C正确；横波可以发生偏振现象,minTm选项D错误；因为障碍物的直径r=1m〈入=2m,则这列波遇到此障碍物可以发生明显的

衍射现象，选项E正确。答案BCE题型4波传播的双向性和周期性形成的多解【典例6】（2018•唐山模拟）（多选）（双向性和时空周期性）一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经2X10-2s后的波形图如图中虚线所示，则该波的波速v和频率f可能是（）v为5m/sB.v为35m/sC.f为50Hzf为37.5Hz【答案】ABD【解析】由波形图可以读出：若波向右传播时波传播的最小距离为0.1m；若波向左传播时，波传播的最小距离为0.3m，入=0.4m,考虑到波形图的时间、空间周期性知，这列波向右、向左可能传播的距离分别是x=（n入+0.1）m=（0.4n+0.1）m,（n=0,1，2,…）右x=（n入+0.3）m=（0.4n+0.3）m,（n=0，1，2,…）左向右、向左传播对应的周期分别为T右、T左，贝y：右左At=2X10-2s=nT+~T（n=0,1,2,…）右4右或At=nT+tT(n=0,1,2,…)由vv右=i右由vv右=i右［=(20n+5)m/s,v=^■左=（20n+15）m/s,左At由f=*得，f右=（50n+12.5）Hz,f=（50n＋37.5）Hz左令n取不同的值可得A、B、D三项正确.【典例7】（双向性和时空周期性）一列横波沿x轴传播，图中实线表示某时刻的波形，虚线表示从该时刻起0.005s后的波形.如果周期大于0.005s,则当波向右传播时，波速为多大？波向左传播时，波速又是多大？如果周期小于0.005s,则当波速为6000m/s时，求波的传播方向.【答案】：(1)400m/s1200m/s(2)向左传播【解析】(1)如果周期大于0.005s,波在0.005s内传播的距离小于一个波长.如果波向右Ay传播，从题图上看出传播的距离为2m,由此可得波速为v右==400m/s；Ax如果波向左传播，从题图上看出传播的距离为6m,由此可得波速v左=心=1200m/s.(2)由题图知波长久=8m,波的传播距离为Ax=vAt=6000m/sx0.005s=30m=3.75久，所以波向左传播．1.(空间周期性)(2018•高考北京卷)如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15m.当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是()««PQA.0.60mB.0.30mC.0.20mD.0.15m【答案】B【解析】可以画出PQ之间的最简单的波形，如图所示：由于P、Q之间可以含有多个完整的波形，则xpQ=(n+1)A(n=0,1,2,...)整理可以得到：久=2X?1(n=O，1，2，…)当n=0时，久=0.3m当n=1时，久=0.1m,故选项B正确，A、C、D错误.2.(2019・吉林长春模拟)(时间周期性)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t+0.6s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点，则下列说法正确的是()这列波的波速可能为50m/s质点a在这段时间内通过的路程一定小于30cm质点c在这段时间内通过的路程可能为60cm若周期T=0.8s,则在t+0.5s时刻，质点b、P的位移相同若周期T=0.8s从t+0.4!时刻开始计时，贝质点c的振动方程为x=0.1sin/(m)【答案】：ACD32.4【解析】：由波形图可知波长久=40m,且0.6s=nT+4T(n=0,1,2,…)，解得周期T=4^2s(n=0,1,2，...)•当n=0时，T=0.8s，波速v=T=50m/s，选项A正确；由传播方向沿x

轴正方向可知质点a在t时刻向上运动，当n=0时，T=0.8s,则质点a在这段时间内通过的路程小于30cm，当n=l时，T=^s，质点a在这段时间内通过的路程大于30cm，选2417T项B错误；若n=1，则T=70s,波传播到c点所用时间为4^0.6s斗，质点c振动的时7l3间为卩―卩=2匚故在这段时间内质点c通过的路程为6A=60cm,选项C正确；若T=0.8s，t+0.5s时刻，质点b、P的位移均为负值，大小相等，选项D正确；若T=0.8s,在t+0.4s时刻,c点处于波峰，从t+0.4s时刻开始计时，质点c的振动方程为y=0.1・cos|n（m）,选项E错误.（多选）（时空周期性）[]A、B两列简谐横波均沿x轴正向传播，在某时刻的波形分别如图中甲、乙所示，经过时间t（t小于A波的周期TA）,这两列简谐横波的波形分别变为图中A丙、丁所示，则A、B两列波的波速vA、vB之比可能是（）ABA・l：lB2:1C・l：2D.3:1E.l：3解析：选ACE由题图读出，A波波长为入A=24cm,甲图到丙图一定相隔半个周期，A所以周期TA=21；B波波长为入B=12cm,乙图与丁图的波形图相同，经过的时间一定是整ABt/、、亠、士入0.240.12入0.120・12n数个周期，所以周期TB=n（n=1,2,3,…）,波速VA=tA=2t=~t~，vB=TB=~t~=t，AB—n得到vA：vB=1：n,所以A、B两列波的波速vA、vB之比可能是A、C、E,不可能是B、D。ABAB（2016•四川）（多选）（时空周期性）简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距10m的两质点，波先传到P,当波传到Q时开始计时，p、q两质点的振动图像如图所示.贝y（）质点Q开始振动的方向沿y轴正方向该波从P传到Q的时间可能为7s该波的传播速度可能为2m/s该波的波长可能为6m【答案】AD【解析】读图可知，从0时刻开始，质点Q的起振方向沿y轴正方向，A项正确.由题可知，简谐横波的传播方向从P到Q,由图可知，周期T=6s，质点Q的振动图像向左平移4s后与P点的振动图像重合，意味着Q比P的振动滞后了4s,即P传到Q的时间At可能为4s,同时由周期性可知，从P传到Q的时间At为(4+nT)s,n=0,l,2,…，即At=4s,10s,16s,…，Ax所以B项错误.由v=a［，速度v可能为2.5m/s,1m/s,0.625m/s,…，C项错误.同理，考虑周期性，由入=vT可得，波长可能为15m,6m,3.75m,…，D项正确.(多选)(时空周期性)一列横波在t=0时刻的波形如图中实线所示，在t=ls时的波形如图中虚线所示。由此可以判定此波的()波长一定是4cm周期一定是4s振幅一定是2cm传播速度一定是1cm/s解析解波的图象的题目，一般可分为两类：一类是读图，可以直接从图上读出振幅和波长，此题便可读出波长是4cm，振幅是2cm，故选项A、C正确；另一类是根据图象给定的条件,去计算波速、周期，判定波传播的方向，判定某一质点的运动情况及判定某一时刻的波形图由题可知nT+彳t=1s(n=0,1,2,3,…)是不确定解，因此选项B错误；同理传播速度v入=〒也不确定，选项D错误。答案AC（双向性时空周期性）如图14—2—27所示，一简谐横波在t=0时的波形是图中实线,在t]=0.2s时的波形是图中虚线，P为介质中x=4m处的质点，贝9（）图14—2—27该波一定沿x轴正方向传播该波的传播速度可能为5m/s从t=0开始，质点P经过0.2s沿x轴正方向运动1mt=0.4s时，质点P的位置y=4cm解析：当波向左传播时，传播的距离x=n入十4入=4n+3,0.2s=nT+#T，波速v=（20n+15）m/s，T=4nq83（n=0，1，2，3,…）.当波向右传播时，传播的距离x=n入+[入=4n+1,0.2s=nT+[T，波速v=（20n+5）m/s,丁二厶口十]（n=0,1，2，3,…）.由于波传播方向的不确定性，所以据波形图与时间无法判断该波的传播方向，故A错误；据以上分析可知，当波向右传播时，该波的波速可能为5m/s,故B正确；据波传播特点可知,各质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，故C错误；据波的图象可知，t=0.4s时，质点P的位置y=0,故D错误.答案：B（波形的不确定）如图甲所示，在均匀介质中P、Q两质点相距d=0.4m，质点P的振动图像如图乙所示，已知t=0时刻，P、Q两质点都在平衡位置，且P、Q之间只有一个波峰。求：波的传播速度；质点Q下一次出现在波谷的时间。解析：(1)由图乙可得该波的周期T=0.2s若P、Q间没有波谷，P、Q间距离等于半个波长，入即入=0.8m,波速v=t=4m/s若p、Q间有一个波谷，p、Q间距离等于一个波长,入即入=0.4m,波速v=〒=2m/s若P、Q间有两个波谷，贝£入=0.4m,即入=罟m,、、入4波速v="T=3m/s。(2)t=0时刻，质点P向下振动，经过0.05s到波谷处，经过0.15s到波峰处若P、Q间距为一个波长，P、Q同时出现在波谷处，则质点Q下一次出现在波谷的时间是t=0.05s若P、Q间距为半波长的1倍或3倍，质点Q在波谷时，质点P在波峰，则质点Q下一次出现在波谷的时间是t=0.15s。答案：(1)4m/s、2m/s或m/s(2)0.05s或0.15s&(空间周期性)如图所示，t=0时，位于原点0处的波源，从平衡位置(在x轴上)开始沿y轴正方向做周期T=0.2s、振幅A=4cm的简谐振动。该波源产生的简谐横波沿x轴正方向传播，当平衡位置坐标为(9m,0)的质点P刚开始振动时，波源刚好位于波谷。

质点P在开始振动后的At=1.05s内通过的路程是多少？该简谐波的最大波速是多少？若该简谐波的波速为v=12m/s,质点Q的平衡位置坐标为(12m,0)(图中未画出)。请写出以t=1.05s时刻为新的计时起点的质点Q的振动方程。解析：(1)由于质点P从平衡位置开始振动，且At=1.05s=54T，故在At=1.05s内质点P通过的路程s=21A=84cm。(2)设该简谐波的波速为v,两质点0、P间的距离为Ax由题意可得Ax=[n+4j入=9m(n=0,1,2,…)入180入180所以v=〒=4n+3m/s(n=0,1,2,…)当n=0时，该简谐波的波速最大，v=60m/s。m(3)简谐波从波源传到(12m,0)点所用时间12121212s=1再经t2=t—t厂0.05s[即再经4)