【高考冲刺】2020年山东新高考数学模拟猜题专项汇编(3)导数

坚持就是胜利！坚持就是胜利！2020年山东新高考数学模拟猜题专项汇编(3)导数1、已知函数f(x)是偶函数，当X>0时，f(x)=xlnx+1,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为()y=-xB.y=-x+2C.y=xD.y=x-2当x=—2时，函数y=f(x)取得极小值函数y=f(x)在区间(一2,2)内单调递增当x=3时，函数y=f(x)有极小值TOC\o"1-5"\h\z3、已知lnx一x一y+2=0，x+2y一4一2ln2=0，记M=(x一x匕+(y一y匕，则()111221212M的最小值为2B.当M最小时，x2=12525C.M的最小值为4D.当M最小时，x2=65254、定义：若函数F(x)在区间［a,b］上的值域为［a,b］,则称区间［a,b］是函数F(x)的“完美区间”•另外，定义区间［a,b］的“复区间长度”为2(b-a)，已知函数f(x)=|x2一1|，则()［0,1］是f(x)的一个“完美区间”.口5，山5是f(x)的一个“完美区间”.22f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+后・f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2制5.5、已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为.6、已知函数y=f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称,其导函数为广(x)，当x>0时，有不等式x2f,(x)>-2xf(x)成立，若对VxgR，不

等式e2xfQx丿一a2x2f(ax)〉0恒成立，则正整数a的最大值为.7、已知函数f(x)=ln3,aeR.ex若函数y=f(x)在x=x(ln2<x<ln3)处取得极值1,证明：2———<a<3———；00ln2ln3⑵若f(x)<x-丄恒成立，求实数a的取值范围.ex8、已知函数f(x)=xex-a(x+lnx)-若a=0，求函数f(x)在x=1处的切线方程；⑵讨论f(x)极值点的个数；⑶若x是f(x)的一个极小值点，且f(x)>0,证明：f(x)〉2(x-x3).000009、已知函数f(x)=x2-2xlnx，函数g(x)=x+—-(lnx)2，其中aeR，x是g(x)的x0一一个极值点，且g(x)=2•0讨论f(x)的单调性；求实数x和a的值；0证明X.1=>—ln(2n+1)CeN*)•k=1如2一1210、已知函数f(x)=lnx+-x[(九eR).当x>1时，不等式f(x)<0恒成立，求九的最小值；设数列a=-(eN*)，其前n项和为S，证明：S-S+佯>ln2nnn2nn411、已知函数f(x)=x2-alnx+1(aeR).211xx12恒成立，(丨)若函数f(x)在11,2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；恒成立，(II)若-2<a<0，对任意x】,x^e[1,2]，不等式|f(x^)-f(x2)<m求实数m的取值范围.12、已知函数f(x)=1+gx-a(aeR)•x⑴若f(x)<0在(0,+呵上恒成立，求a的取值范围，并证明：对任意的neN*,都有1+1+1+L+1>ln(n+1);3n⑵设g(x)=(x-1)2ex，讨论方程f(x)=g(x)实数根的个数.13、函数f(x)=心(x>0),曲线y=f(x)在点(l,f⑴)处的切线在y轴上的截距为1+x112(1)求a；⑵讨论g(x)=x(f(x))2的单调性；⑶设a=1,a=f(a)，证明：2x-答案及解析：答案：BCI2lna—ln7l<答案及解析：答案：BC1n+1nn14、已知函数f(x)=x—1+aex.讨论f(x)的单调性；⑵当a=—1时，设—1<x<0,x>0，且f(x)+f(x)=—5,证明：x—2x>—4+丄.121212e15、设函数f(x)=2ln(x+1)+.x+1讨论函数f(x)的单调性；如果对所有的x>0,都有f(x)<ax,求实数a的最小值；已知数列｛a｝中，a=1,且(1—a)(1+a)=1,若数列｛a｝的前n项和为S,n1n+1nnna求证：S>n+1—lna.n2an+1n16、已知函数f(x)=xlnx—1,g(x)=ax2—(a—2)x.⑴设函数H(x)=f'(x)-g(x)，讨论H(x)的单调性；设函数G(x)=g(x)+(a-2)x,若f(x)的图象与G(x)的图象有A(x,y),B(x,y)1122两个不同的交点，证明：ln(xx)>2+ln2.12答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：因为x<0,f(x)=f(—x)=—xln(—x)+1,f(—1)=1,f'(x)=—ln(—x)—1,f'(—1)=—1，所以曲线y=f(x)在x=—1处的切线方程为y=—x.高考冲刺必刷专练高考冲刺必刷专练5坚持就是胜利！5坚持就是胜利！解析：对于A,函数y=f(x)在区间f-3,-1］内有增有减，故A不正确；I2丿对于B,当x=—2时，函数y=f(x)取得极小值，故B正确；对于C,当xe(—2,2)时，恒有广(x)〉0，则函数y=f(x)在区间(一2,2)上单调递增,故C正确；对于D，当x=3时，f'(x)工0，故D不正确.答案及解析：答案：BC解析：由Inx一x一y+2=0，得：y=Inx一x+2，111111(xi-x2)2+3y)2的最小值可转化为函数(xi-x2)2+32x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值的平方,由y=lnx-x+2得：y'=—-1，x与直线x+2y-4-2ln2=0平行的直线的斜率为-1，2则令1-1=-1，解得：x=2,・••切点坐标为(2,ln2)x2・•・(2,ln2)到直线x+2y-4-2ln2=0的距离d=+2ln2££-空2=^45，1+45即函数y=lnx-x+2上的点到直线x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值为5，•・(x-x匕+(y-y匕的最小值为d2=，12125过(2,ln2)与x+2y-4-2ln2=0垂直的直线为y—ln2=2(x—2)，即2x-y-4+ln2=0，x+2y-4x+2y-4-2ln2=02x-y-4+ln2=0，解得：12即当M最小时,12高考冲刺必刷专练高考冲刺必刷专练坚持就是胜利！坚持就是胜利！所以解得｛b:0f(a)=1-a2=bf(b)=1-所以解得｛b:0此时2(b-a)=2.当b〉1时，①若a:0,则f(b)=b2-1:b〉1，解得b:出5，此时2(b-a)=1+岛；2②若0<a<1,则最小值为f(1)=0丰a,不合题意；③若a〉1，则由图象知③若a〉1，则由图象知f(x)在［a,b］上单调递增，所以f(a)=a2-1=af(b)=b2-1=b解得1+-Z5a:—(舍去).,1+52综上，函数f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+2+5答案及解析：答案：3解析：依题意得y，=丄,因此曲线y:In(x+a)在切点处的切线的斜率等于丄x+ax+a・1・••:1x:1一a-x+a此时，y:0，即切点坐标为(1-a,0)相应的切线方程是y:1x(x—1+a),即直线y=x+2,・a-1=2,a=36答案及解析：答案：2解析：定义在R上的函数f(x)关于原点对称，・・函数f(x)为R上的奇函数。令g(x)=x2f(x)，则g(x)为奇函数。g'(x)=x2广(x)+2xf(x),

当x>0时，不等式g'(x)〉0,g(当x>0时，不等式g'(x)〉0,g(x)在［0,+8)单调递增。•I函数g(x)在R上单调递增。不等式e2xf(ex)一a2x2f(ax)>0恒成立，oe2xf(ex)>a2x2f(ax)-axog(ex)>g(ax)••ex>ax-当x>0时，a<—-h(x),x则h'(x)-e""x一",可得x-1时，函数h(x)取得极小值即最小值，h(1)-e.x2•a<e.此时正整数a的最大值为2.a-2对于x<0时，ex>ax恒成立。综上可得：正整数a的最大值为2.故答案为：2.7答案及解析：答案：(“f'(x)—+a-(inx+ax)xex丁函数y-f(x)在x-x°处取得极值1,—+a-(lnx+ax)x00•f'(x)-r-00，且f(x)-迥器冷-1,0ex0ex0A—+a-inx+ax-ex0,TOC\o"1-5"\h\zx000••a—ex0一令r(x)-ex-l(x>0)，则r'(x)-ex+>0,xx2.：r(x)为增函数，*.*0<in2<x°<ln3•r(ln2)<a<r(ln3)，即卩2一—<a<3———.inin3(2)不等式f(x)<x-恒成立，ex即不等式xex—inx—ax>1恒成立，即a<ex-一—--恒成立.xx令g(x)-ex-x叵一丄，则g'(x)令g(x)-ex-xxx2x2x2令h(x)-x2ex+lnx,则h'(x)-C+2x)ex+—.x

Vx>0,/.h'(x)>0.-4一ln2<°，h(x)有唯一零点x4，且丄<x1<1.121当xg(0,x)时，h(x)<0,g-4一ln2<°，h(x)有唯一零点x4，且丄<x1<1.121当xg(0,x)时，h(x)<0,g，(x)<0,g(x)单调递减；当xgG],+8)时，h(x)〉0,g'(x)〉0,g(x)单调递增.g(x)=g(x).min1lnx1•a<e珀—1———.xx11由h(x)=0整理得xex111lnx

x1V丄<x<1,—Inx>02ii令k(x)=xex(x>0),则方程xex1=一迥仝t等价于k(x)=k(—lnx),1x11而k，(x)=(x+1)ex在(0,+x)上恒大于零,.k(x)在(0,)上单调递增,Vk(x)=k(-Inx)，11.x=一lnx111.ex1=x()lnx11(—x)1••gJx丿=ex]1=1=11xxxxx11111.*.a<1・•・实数a的取值范围为（—〜I】.解析：8答案及解析：答案：解:(1)当a=0时,f(x)=xex,f'(x)=(x+1)ex所以f(1)=e,f'(1)=2e.从而f(x)在x=1处的切线方程为y—e=2e(x-1)-即2ex—y—e=0.(2)f'(x)=(x+1)ex—a1+—,xg(0,+8)=(x+1)(x+1)(xex—a)①当a<0时,f'（x）>0f（x）在（0,+8）上是增函数,不存在极值点②当a>不存在极值点②当a>0时'令h(x)=xex-a,h,(x)=(x+1)ex>0显然函数h(x)在［0,+x)是增函数，又因为h(0)=-a<0,h(a)=a(ea一1)>0必存在x>0,使h(x)=000xg(0,x),h(x)<0,广(x)<0f(x)为减函数0xg(x,+8),h(x)>0,广(x)>0,f(x)为增函数0所以，x=x是f(x)的极小值点0综上：当a<0时,f(x)无极值点当a>0时,f(x)有一个极值点(3)由(2)得：广(x)=00xex0=a0f(x)=xex00-lnx)0-a(x+f(x)=xex00-lnx)000000因为f("bo,所以1-&-lnxo>0令g(x)=1-x-lnxg，(x)=-1一-<0g(x)在(0,+8)上是减函数x且g(1)=0由g(x)>g(1)得x<1所以xg(0,1).0设申(x)=lnx-x+1xg(0,1)申0=—一1=1_-xxxg(0,1),0(x)>0所以申(x)为增函数，申(x)<申(1)=0即申(x)<0即lnx<x一1所以一lnx>1-x所以ln(x+1)<x所以ex>x+1>0因为xg(0,1)，0所以ex0>x+1>001一x一lnx>1一x+1一x>00000相乘得ex0(1-x-lnx)>(x+1)(2-2x)00000所以f(x)=xex0(1-x-Inx)>2xGx+1)(1-x)0000000一x30000结论成立解析：9答案及解析：22.答案：解：(1)由已知可得函数f(x)的定义域为(0,+8),且广(x)=2x-2lnx-2，令h(x)=f'(x)，则有h'(x)=2"x一"，由h'(x)=0，可得x=1，x可知当x变化时，h'(x),h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,+8)h'(x)—0+h(x)]极小值Zh(x)>h(1)=0，即f'(x)>0，可得f(x)在区间(0,+»)单调递增;(2)由已知可得函数g(x)的定义域为(0,+w)，且g，(x)=1-纟-匹，x2x由已知得g'(x)=0，即x2-2xlnx-a=0，①000由g(x)=2可得，x2-x(lnx匕-2x+a=0'②00000联立①②，消去a,可得2x-(lnx)2-2lnx-2=0，③000令t(x)=2x-(lnx)2-2lnx-2，则t'(x)=2-2lnx22(x-则t'(x)=2-xxx由(1)知，x—lnx—1>0，故t'(x)>0，t(x)在区间(0,+8)单调递增，注意到t(1)=0，所以方程③有唯一解x°=1，代入①，可得a=1，.x0=1,a=1;证明：由(1)知f(x)=x2-2xlnx在区间(0,+8)单调递增，

故当xw(l,+J时，f(x)〉f(1)=1,g，(x)=x2—2xlnx—1=>0，x2x2可得g(x)在区间(1,+w)单调递增，因此，当x>1时，g(x)〉g(1)=2,即x即x+1-(lnx)2>2，亦即x2>(lnx)2，这时、■/这时、■/x->0,lnx>0，故可得*x-1>lnx，取x=貂，keN*，可得需-铝>ln(2k+1)取x=貂，keN*，可得需-铝>ln(2k+1)-ln(2k-1)，2k+1：2k-12k—12k+1q4k2-1故工k=124k2-1>工(ln(2k+1)-ln(2k-1))=ln(2n+1)k=1>丄ln(2n+1)(neN*)2解析：10答案及解析：答案：(1)由f(x)=lnx+X—-x(九eR)，得f，(x)=_—.Ix丿x2当—>时，方程-—x2+x-—=0的△=1—4—2<0，因式-—x2+x——在区间(1,+8)上2恒为负数•所以x>1时，广(x)<0，函数f(x)在区间(1,+8)上单调递减.又f(1)=0,所以函数f(x)<0在区间(1,+8)上恒成立；当0<—<1时，方程-—x2+x-—=0有两个不等实根，且满足21-\1-4—21+\1-4—2<1<x=2—22—x=1所以函数f(x)的导函数f(x)在区间上大于零，函数f(x)在区间上单增，又f(1)=0，所以函数f(x上单增，又f(1)=0，所以函数f(x)在区间上恒大于，2—k丿零，不满足题意；当—<0时，在区间(1,+8)上f(x)=lnx+—]—-x、>lnx，函数y=lnx在区间(1,+8)上恒为正数，所以在区间(1,+8)上f(x)恒为正数，不满足题意；综上可知：若x〉1时'不等式f(x)<0恒成立，，的最小值为2.(2)由第1知：若x>1时，Inx<--2(1、(x+1)(x-1)若ngN*，则ln1+—kn丿Y1)]了1)]1+-+1•1+--1丄n丿丄n丿2n+12x——xIx丿2[l+-kn丿ln(n+1)-lnn<2n+詁d成立.将n换成n+1，得ln_(1+n)+1]-ln(n+1)詁"+2[(n+1)+1]成立，即ln(n+2)-ln(n+1)<)+)，2(n+1)2(n+2)11以此类推，得ln(n+3)-ln(n+2)<2(n+2)+2(n+3)，ln2n-ln(2n-1)<-+—2(2n-1)4n上述各式相加，得11111ln2n-lnn=ln2<+++•••++-，2nn+1n+22n-14n1111又S—S=++—++-，2nnn+1n+22n-12n所以S-S+a>ln22nn4解析：11答案及解析：答案：(l)易知f(x)不是常值函数，°・°f(x)=x2-alnx+1在11,2〕上是增函数,2・°・f'(x)=x—>0恒成立，所以a<x2，只需a<(x2)=1；xmin(II)因为-2<a<0，由1知，函数f(x)在11,2］上单调递增，不妨设1<x<x<2,12则If(x)-f(x)|<m一—一，可化为f(x2)+—<f(x])+—,12xx2x1x1221m1m设h(x)=f(x)+——=—x2-alnx+1+——，贝Uh(x)>h(x)，x2x12所以h(x)为Q,2]上的减函数，即h(x)=x-—-<0在Q,2]上恒成立,xx2等价于m>x3-ax在11,2]上恒成立，设g(x)=x3-ax，所以m>g(x)max因-2<a<0，所以g'(x)=3x2-a>0，所以函数g(x)在［1,2］上是增函数,所以g(x)=g⑵=8-2a<12(当且仅当a=-2时等号成立).max所以m>12.即m的最小值为12.解析：12答案及解析：答案：解：(1)由f(x)<0可得，a>1+lnx(x>0),x令h(x)=1+lnxx令h(x)=1+lnxxh(x)=1-x-(1+lnx)-lnxx2x2当xg(0,1)时，h(x)>0,h(x)单调递增，当xg(1+8)时，h(x)<0,h(x)单调递减,故h(x)在x=1处取得最大值,要使a>上匹，只需a>h(1)=1,x故a的取值范围为a>1，显然，当a=1时，有1"<1，即不等式lnx<x-1在(1,+8)上成立，xTOC\o"1-5"\h\zn+1n+1n+11令x=>1(ngN*)，则有ln<-1=，nnnn23n+1111所以ln+ln+L+ln<1++—+L+，2n23n即：1+1+1+L+1>ln(n+1);3n(2)由f(x)=g(x)可得，1+Sx-a=(x-1)2ex，即a=^+山x-(x-1)2ex，xx令t(x)=1+Sx-(x-1)2ex，贝寸t'(x)=—--(x2-1)ex，xx2当xg(0,1)时，t'(x)>0，t(x)单增，当xg(1+8)时，t'(x)<0，t(x)单减，故t(x)在x=1处取得最大值t(1)=1，又当xT0时，t(x)T-8，当xT+8时，t(x)T-8，所以，当a=1时，方程f(x)=g(x)有一个实数解；当a<1时，方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解；当a>1时，方程f(x)=g(x)没有实数解.解析：答案及解析：答案：⑴答案：⑴f'(x)=民又f⑴=—，故曲线y=f(x)在点(1,f⑴)处的切线方程为y=—(x-1)+—，其242在y轴上的截距为3—•依题设沁=11，解得—=7.442xI7⑵易知g(x)=x(—)2(x>0),则xI1(7Ix)22x(7Ix)-67Ixx2-4xI7g'(x)=+x=x(1Ix)21Ix(1Ix)2(1Ix)21Ix显然g'(x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+x)上单调递增.ZT⑶由1知f(x)=1+——(x