【高考数学】非对称韦达定理的处理技巧

mt对称的“韦达定理”的突破技巧在一元二次方程ax2+bx+c-0中，若A>0，设它的两个根分别为x,x12则有根与系数关系:x+x--b，xx-C，借此我们往往能够利用韦达定理则有根与系数关系:12a^/3b2c^/3b2c—3b4(y+y来快速处理Ix2+x2，丄+来快速处理I2xx12遇到涉及x,x的不同系数的代数式的应算，比如求Z，九x+"之类的结构，12x12就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了。特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种九x+"中x,x的系数不对等的情况，称为“非对称韦达”接下来，我们来谈谈常见的突破方式。JIA1.函数1.函数f(x)=3ax3-ax2+x+1在x,x处有极值，且1<—<5，求a的取值范围;TOC\o"1-5"\h\z12x1解：令广(X)=ax2一2ax+1=解：令广(X)=ax2一2ax+1=0，1212a得x+x-(t+1)x，xx-tx2，211121得x+x-(t+1)x，xx-tx2，211121x211(x+x)2(t+1)2亠/所以_1-，即4a-t+-+2，因为1<t<5，解得1<a<—。xxt21我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来。点评：像这种非对称的结构x-tx我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来。~1x=tx，得x+x=(t+1)x，21211—tx2x=tx，得x+x=(t+1)x，21211—tx2，1xx12x2x2y22.设直线l过点P(0,3),和椭圆=+=1顺次交于A、B两点，则的取值范围为.94(+54kx+45=0(*)解析：设直线l的方程为：y-kx+54kx+45=0(*)第1页共15页xxxxxx第第23页共15页x2y2分别与椭圆g+了二1联立方程组’同时考虑到X1-3,x2丰3，解得：M（坐上m^,丄虬）、x2y2分别与椭圆g+了二1联立方程组’同时考虑到X1-3,x2丰3，解得：M（坐上m^,丄虬）、N（辿!二型，—）。80+m280+m220+m220+m2（方法一）当x丰x时，直线MN方程为:1220my+20+m240m20m+80+m220+m23(m2-20)x—20+m23(80—m2)3(m2—20)80+m220+m2令y=0，解得：x=1。此时必过点d（1，0）；当x二x时，直线MN方程为：x二1，与x轴交点为D（1，0）。12所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。方法二：若x二x，则由醤四=害0及m>0，得m二2屁,280+m220+m2此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）。若x1丰x2，则m丰力10，直线MD的斜率kMD40m80+m2240—3m21

—180+m210m40—m2'20m20+m210m直线ND的斜率knd3m2—6040—m2—120+m2得k二k，所以直线MN过D点。MDNDB的方程为y二一・（x—a［②x一a从而有y2=b21-，代入③得:因此，直线MN必过x轴上的点（1,0）。（同类）4.【解析】设A（x,y）,B（x,—y），又知A（—a,0），A（a,0），则11111-直线AA的方程为y二■（x+a）①直线A1x+a21由①②得y2=―y1C2—a2）③x2—a21由点A（x，y）在椭圆上，故可得叮+斗=1，11a2b2x2y2-=1(x<-a,y<0)a2b2=4IxJIyj'即，因为点A,A均在椭圆上，所以b2x21x21-―^=b2x2(、.x21-T1(a2J2Ia2丿x2y2=x2y21122由t1丰t2，知x1丰x2，所以x12+x2=a2。从而y12+y2=b2'因而t12+于a2+b2为定值;(同类)5.解析：(1)由MO丄ON得|OM|2+|ON|2=|MN|2,|MN|xl=|OM|x|ON|(2)证明：设A'(x,y)，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得4xy22…又|OMF+|ON|2二|MN|2>2|OM卜ON二2|MN|,得|MN|>2'当且仅当OM\=\ON=1取得等号，SAMON=2>1'所以AMON的面积的最小值为1(2)设E(m,n)，由E,O,D三点共线，则D(-m,-n)AD则AE方程为：y=严(+J2)，由x=t，得Mt,m+42f(t+同理AD方程为:y=——m+\!2一一(t+由MO丄ON，得OM-ON=12+C+迈)即t2—(x十近)，由x=t，得Nt,\m+*2-m+\/2'=0，又E(m,n)在椭圆上，所以m+n2=1,所以t2—2=0，即t2—2x2t-2=0，解得t=2土2。且经过拟一驾0〕、日口』卜C且经过拟一驾0〕、日口』卜C题11.1在平面5世标系2$椭圍召+慑=Un>b>0)的离心率为净两个顶点分别沟期口0)，阻g点,订［1』)满足3a\r=过恵」订斜率趴为k-(k/Q)的直线交椭岡E于GD网说•点C在X轴I■方,(1)求椭風E的方棵：⑵若RQ丄求Jt的值；⑶记丸线AD.BC的魁率分别为赴-fea,求舐半再定直’題11.2,2o在平面直角坐标系rOy中r已知带岡C:^+^=1(a>//>0)/q购圜心率是罟*两，顶点分别为崗(—毗卜血化」小过点U(lf0)£的直线走椭剧于\K.V两点，直线A.M与.VZ,的銮点为G.(1)求实Zb的值:⑵为直线"的斜率为1时.若椭圜上恰冇两个点戸,p2使得和△代的耳的面积为©求厲的川値范圉;⑶求止：点a在-箓铤吒绒上.题11.3已知榊側日的中心住坐标原点,億点在坐飯轴.1，⑴求開岡E的方科b⑵若鱼线「：对=吃-D)勺捕圈E交于rV,..V两忆求证：直线AM'1直红/r/