微积分学课件：2-1d高阶导数

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一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,

一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数

f(x)在区间

I上有直到

n阶的导数

f(n)(x),且

f(n)(x)仍是连续的(此时低于

n阶的导数均连续),则称

f(x)在区间

I上

n阶连续可导,记为

如果

f(x)在区间

I上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数

f(x)是无穷次连续可导的,记为…………二、部分基本初等函数的高阶导数特别

k=n时2.对数函数y=lnx的高阶导数.设

类似地,有则故由数学归纳法得解即类似地,有))()(ç(!(11nn)

NnnÎ1xxn-=øöèæ+-例3.指数函数

y=ax的高阶导数.运用数学归纳法可得运用数学归纳法可以证得类似地,可求得三.高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式例解解例间接法:

利用已知的高阶导数公式,通过四则运算、变量代换等方法，求出n阶导数．例解例解注意:

求n阶导数时,求出1-2或3阶后,分析结果的规律性,写出n阶导数.(需用数学归纳法证明)

对方程两边关于

x求导,得:对该方程两边关于

x求导:解从而其中,.

,yexyyx¢¢=+求例:四.隐函数的高阶导数原则是:按照高阶导数的定义,运用隐函数的求导法则逐阶进行求导.对方程两边关于

x求导:解例方程两边对

x求导解故例证211)

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