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第五节幂级数第六章级数一、函数项级数二、幂级数及其收敛半径三、幂级数的性质及运算四、幂级数的和函数函数项级数的一般概念1.定义:2.收敛点与收敛域:函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:例解解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:证明由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域推论定义:

正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?证明由比值审敛法,定理证毕.证明与定理２类似。例求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛区间为(0,1].例解：由级数收敛的必要条件,可知综上所述,

解缺少偶次幂的项,不能直接应用定理级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为注又解１.和函数的分析运算性质:三、幂级数的性质及运算(收敛半径不变)(收敛半径不变)此推论表明：幂级数由(-R,R)上的和函数S(x)在x=0的各阶导数所唯一确定。２.代数运算性质:性质１(1)加减法(其中性质２(2)乘法(其中柯西乘积(3)除法解两边积分得

注

例

求幂级数11-¥=ånnnx的收敛区间及和函数，并求

当x(-1,1)时，

幂级数11-¥=ånnnx的收敛区间为(-1,1)。

例解求幂级数和函数的方法：(1)利用幂级数的线性运算法则。(2)利用变量代换。解常用已知和函数的幂级数例

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