三角函数的易错点以及典型例题与高考真题

三角函数的易错点以及典型例题与真题三角公式记住了吗？两角和与差的公式；二倍角公式:万能公式正切半角公式解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。万能公式：(1)(sina)2+(cosa)2=1(2)1+(tana»=(seca)2(3)1+(cota)2=(csca)2⑷对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC(证明：利用A+B=n-C)同理可得证，当x+y+z=nn(nEZ)时，该关系式也成立由tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC可得出以下结论：cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC⑼设tan(A/2)=tsinA=2t/(1+tA2)(AH2kn+n,kWZ)tanA=2t/(1-tA2)(AH2kn+n,kEZ)cosA=(1-tA2)/(1+tA2)(AH2kn+n，且AHkn+(n/2)kEZ)在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？在三角中，你知道1等于什么吗？（1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x兀兀=tanx-cotx=tan=sin=cos0=AA这些统称为1的代换）常数“1”的42种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象I在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如a+B（B\（a\P=（a+卩）-a，B=（a-卩）+a，—-—=a-牙-—-B等）2\2丿I2丿5.你还记得三角化简题的要什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）6.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos2x=（1+cos2x）/2;sin2x=（1-cos2x）/27.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？（sin15o=cos75。=———,sin75。=cos15°—'6+"2,sin18o=1）448•你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？（l—a|r,S扇形-1Ir）扇形2辅助角公式：asinx+bcosx—、：a2+b2sin（x+9）（其中9角所在的象限由a,bb的符号确定，9角的值由tan9-—确定）在求最值、化简时起着重要作用.a三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴、对称中心，取最值时的X值的集合吗？（别忘了keZ）三角函数性质要记牢。函数y二Asin®,x+申）+k的图象及性质：2兀振幅|A|，周期T二岡,若x=x0为此函数的对称轴，则X。是使y取到最值的点，反之亦然，使y取到最值的x的集合为函数的增区间为，减区间为；当0时要利用诱导公式将®变为大于零后再用上面的结论。五点作图法：令ex+p依次为0牛,兀冷,2兀求出x与y，依点G,y）作图22注意（2）砒+P的整体化法思维求单调性、对称轴、对称中心、值域等。（2）用换元法时，注意新的定义域围。三角函数图像变换还记得吗？平移公式（1）如果点P（x,y）按向量方=（h,k）平移至P'（x；y1）,则Jx'=x+h,、y'=y+k.（2）曲线f（x,y）=0沿向量~a=（h,k）平移后的方程为f（x-h,y-k）=012•解三角形的几个结论：（1）正弦定理:（2）余弦定理:⑶面积公式在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们各自的取值围及意义？异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值围依次是（兀］兀0,牙，［0,〒］,［0,兀］。V2」2直线的倾斜角、l到l的角、l与l的夹角的取值围依次是1212兀［0,兀），［0,兀），（0,三］。2兀兀兀兀反正弦、反余弦、反正切函数的取值围分别是［-亍于⑪，兀］，（-q，q）三角函数易错点的典型例题

1）隐含条件例1.设0<a<兀，sina+cosa=—，则cos2a的值为^2TOC\o"1-5"\h\z^7错解：sin2a—-才，丁0<2a<2兀，.•.cos2a—±-。正解：sina>0,cosa<0且sina+cosa=—>0,2兀3兀小3兀7—<a<—兀<2a<—cos2a———4’2'47例1-1•已知sinx+cosx=—,0<x<兀，贝tanx=—25错解：—-5或——2°—2正解：-丁例1-2.一组似是而非的问题在AABC中,在AABC中,在AABC中,cosA在AABC中,在AABC中,在AABC中,cosA—3cosA—3sinB-A—3sinB-A—3—2cosB——13'求sinC的值。求cosC的值。求sinC的值。①解①解.0<A<兀,0<B<兀，sinA—v1一sinA—v1一cos2A—455cosB*—一sin2B—一気)2—±—213'sinCsinC—sin[兀-(A+B)]—sin(A+B)—sinAcosB+cosAsinB,1235634123533sinC=—x—+—x———或sinC=-—x—+—x——-——135136551351365又.C为三角形的角，又.C为三角形的角，•••sinC>0sinC—6365②解：.0<A<②解：.0<A<兀,0<B<兀，sinA=\,1一cos2A—4'5cosB=±'1-sin2B二土*1一気)cosC=cos［兀-（A+B）］=-cos（cosC=cos［兀-（A+B）］=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB,1231245当cosB=一时cosC=-_x一+_x一=勻13513513653124556cosC=—x+—x=-51351365'5612•/cosC=<=-cosB=cos@-B）6513一16当cosB=-12时当13时’厂16cosC=--。65注：舍去增解是难点，可利用单位圆中的余弦线段先作直观判断C>兀一B，即B+C>兀，③解：•••0<A<兀,0<B<兀，cosA=±、；1一sin2A3±5sinB=\1一cos2Bi12=\1-宣213sinC=sin［兀-（A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,TOC\o"1-5"\h\z1235634123533sinC=—x+—x=i或sinC=—x——x=-。135136551351365注：此题两解均成立。若求sinC，必为两情形之一：两解均成立或一解为负值；例2•已知方程x2+4ax+3a+1=0（a为大于1的常数）的两根为tana,tan0,且a、兀兀a+00$（-q，2），则tan2的值是1错解：2或—2。c兀a+0a+0正解：由tana<0,tan卩<0知：--<㊁<。，二tan2的值是一2。兀例2—1•已知tan9和tan（才-9）是方程x2+px+q=°的两根，则p、q间的关系是（）（A）p-q+1=0（B）p+q+1=0（C）p+q-1=0（D）p-q-1=0答案：C。例2—2.已知tanx+tany=25,cotx+coty=30，则tan（x+y）=（）（A）120（B）150（C）180（D）200答案：b1=1•DO

2）综合应用题型时，注意考虑全例3•关于x的方程x2+xsin29-sin9cot0=0的两根为a、0，且°<2兀。若数列2112221122例5.终边上一点P（x,”5）且COSa=^4x,求sina-错解：Sina=tanacosa卫•辽x=迈。1G1G+十），（i+|）2'的前100项和为0，求9的值。错解：由韦达定理知：a+卩=-sin20,=—cos0•••（丄+4）错解：由韦达定理知：a+卩=-sin20,=—cos0•••（丄+4）=2sin0a0c1-（2sin0）i°°小.c,1cccc兀c5兀八7兀由Si°°=1-2sin0=°得sin9=±2，°<9<2^，A0=6或T或"611兀或0=—6正解:（1）当q=1与q丰1时，等比数列的求和公式不同；（2）方程有解还应考虑△三0。11兀3）去绝对值要注意分类讨论例4.若cota=m,ae（兀，2兀），则cosa=错解：由1+cot2a=csc2a解得sin2am2cos2a=1+m2•cosa=±=±V1+m2；1+m2m2m正解：cosa=±=-r1+m2*1+m2•.•当m>°时，a为第三象限角，cosa<°，当m<°时，a为第四象限角，cosa>°,当m=0时，cosa=0。例4-1若x-y=A（定值），则sinx-siny的最大值为。错解：sinx-siny=2cosx+yx-ysin—

22=2cosx44正解：①若x=0时，cosa=0,sina=1②当x強0时，sina=tana・cosa=$•乞2x=也0x445）式子处理考虑要全面例6.已知cos例6.已知cos0<1+tan20sin0<1+cot20k=cos20（0H-兀,kgZ）,.求0的取值围.2cos0>cos0>0sin0<0'13同理得-2-mJ2错解：cos0Icos0I+sin0Isin01=cos20-sin20兀c•••--+2册<0<2切,kgz兀3兀正解分析:cos0<0,Icos0I=sin0时也成立，故为（-+2k兀,2k兀）U{2k兀+},kgZ24解：令cosacos卩=m贝Usinasin卩+cosacos卩二m+㊁a1cos（a-卩）=m+—a1m二cos（a-卩）-—-1-cos（a-卩）-13<<1-2-m-2例6-1.已知sinasin卩求COSacos卩的取值围1cosacos卩—sinasin卩分析：又由1m6）式子处理导致有增根要代入验证例7.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求乙C的大小.

解：两式平方相加：sin(A+B)=2,.・.A=3Oo，或A=150o°.・.C=30o。当a=30o时，4sinB+3cosA>4sin0o+3cos300>1故应舍去。注：舍去A=300对学生来说是一个难点。7）注意换元后的取值围例8.已知sinx+siny=|，求sinx—cos2y的最大值和最小值。错解―：sinx-cos2y=(sinx+6)2-11,当sinx=-6时，取得最小值-12；当sinx=1时，取得最大值1;12错解二：sinx-COS2y=(cosx-丄)2-,212当cosx=2时，取得最小值-裁；当cosx=-1时，取得最大值3；正解分析：解法二忽略了围限制得：-1<siny<1”得：-1<siny<1应由Ii<•1•<1-1<sinx=—-siny<1I3三角函数高考真题汇集

全国卷号值一B題7:11T2n«tL址空由S&Z为「■:'釈f1ITafl1.1—J_ll.^fwf£-17-h「■Jfi5-2」二6和sslnN"cCOI4.)...)..X-J.II.I7d[((1£弦壬屮.■匸1-^1-H11;:n.—211H□.-已函「x"2.„4仕-且Av恥A耳2-BC3.C汕.45*玫诣JiSI—-XIJ-]TL7・ff.-=-.1W1於rr11题5^…、M.SC附F曲A.3X附对力SI5氐帚.F.茫sin5i-sinA(5inC-cosQ—D.dr—2c—逅=则C—.正弦走理17年2卷〔文）-A顽5井LG、^3C的厂予A.B^C的对•力拎?il5乞A：.~幻2ifcos^=flcosC+JCD5ZRi.3=.正弦定理〔边角成比例〕17年3卷:丈｝•题5分1G、AABC的L予久恥的对边分刖士朋；.E幻C-6D°：i~^6:c-3:hi]A=.匚弦疋理1n年1巷17題12分17、^SC曲厂予A.8,C苦对为仆?il汩P.邛2cosC（acosB-bcceX）=c.〔【：求G〔】1〕若c=41^ABC的面积为f,求皿眈的周长..1）正弦走理〔边角咸比⑴面积公式+金弦定理:■這U.'；亡：■:卷D1曰）15年2希1/更5廿1—3U已内曲/,艮＜?孙玄边疔引大皆coM=^.«kC=*，住=1"Qib=.n角相匸主的二甬的数-止扭亡圮；芒尧牌刀拄土相对复杂）

1E年1卷圧题5分|1队在平面四边形0BCD中亠=上®=』7=兀粤丑口=2：则4P的取值范围是.上嗟壬坦；姙度总丈，＜彈方兀盖代；1E-2^17^12^丄'■、乂肮■丰.D邑丸■上打乩AD二巧丄恥匚,^4BD頁田.是站面田.柯二信.门八总血上£；sin£C（I：）若一TD-1・DC-^・朮占ZH匚£0扣1：.⑴正弦走理+面积公式〔左=丄晶」-7^sinC宅珂'.22〔"余弦定理建立詳式lb.+壬斜"牛丄兰二也9-幵科inlb.+壬斜"牛丄兰二也9-幵科in与面积公式+全弦定建〔用已知表示未知求比例）4、rFlSA.3.Cr力八刊吉n^c.K14’1卷16顾E分-触^.Ka:b.c计引为&号C茁二1±1肖A:2:C的,42=2.=(2+^5111.4-81115)=((.-&)sitlC・回AdRC百积的最丈-'且力.正弦定理〔边角成比例〉+余弦定理+面积公式+基萍不竽式＜F十t?“比＞求最值14年生题-命目二目时豈BQ芦而珂昌£.如才1.畐口一夭”剧总€=八、曲积公式+会弦疋理5井A.5E75〔因为钝角,讨论取舍｝C.2D113年17題17.妇匡，在ViBC,^BC=90°AB=J3：JBC=1.^\⑴余弦定理1巷12分⑷C内-点上胖（？=旳口.3正弦定理

〔:）若円=2*巴匸：T【■）若j：APS=\50°.求T.3JIXPBA.13年2吉坪题12分17.WC莊打吊A,BX知：TG.；'别肯a^c,F.知a=freesC+csin5-（］）求“〔U）若―求\ABC面烈的最大值.⑴止弦定理（边甬成比1>;⑵面积公■式+余弦走理+吳卞-卜寻式Uc"t1卷16題枣恨〕真题汇集答案1)2017年1卷理科17题【解新】我題主癸考查三角禹鉄及其变談二注建理，余弦定理竽塞础知识的竦合应用一⑴「3"和乜乂且d严魚—-—=—bc?inA3dnJ23i.•:

=—besin出T由竺弦■定理睜sin2^=—sin5sinCsin1A、2>_2sin=t0sinsinC=-3?1⑵由⑴柏n閘0”心曲飞r.'A-B-C=71叉T卫亡(0,兀)2"sin宀孚"=；占余洁定理得/=衬十孑_阮=?①占竺洁定理得右=」一山110,£=—?--sinCsinAsinA2)2017年2卷理科17题17（1）lll^-C=.--^f°3in^=83m1^|，即s£=4sin?・.-,tail$—2,得tan5—-^―,U!ll右cos3—「-2415L7（.2?由〔1）可知日in用」占，则-^acsinS_2,得血一琴■sn5Lb2二口二+€^—2oroosB—（口十e）2―2ar—_ac=49贝［］应二2173)2017年3卷理科17题21211?-解；(1)■.'sin/q-JIcos卫=0tantanA：=广扌+秩一』2C05.C==—=2血厲由余弦定理知■.jn=^c.taic=-4D-4D-AB-sin^/DAB=—x>/3斗4k—=2DC14+F-282=Aa雀理可得：c亠-玄一24=D*=丄：心=百（舍去｝⑷2017年文科1卷11题：C=30度。所以选B⑸2017年文科2卷16题：B=60度。⑹2017年文科3卷15题：A=75度。7）2016年理科1卷17题117)(117)(本小瞞分为12分)穽「工扌爭衣正丕定覇，2cosC(sinAco&B-sinBcosAi=sinC,即JcoiCsimA-Bi-sinC-故2sinCcosC=sinC.^ficosC-1,:JJ..C-4-(II)由已知，-absinC=J>JJ.22XC=|,pJr以加=6.由已知JI余弦定理得，a2-b2-2abcosC=7.^..cr-l>2=13,从而(a4-b"}=25.所AABC的周氏为5+J?•⑻2016年理科2卷13题：⑼2016年理科3卷8题2016年文科1卷17题：b=3;所以选D21（12）2016年文科2卷15题同理科8题：2016（12）2016年文科2卷15题同理科8题：”2015年理科1卷16题：解析：如團所示，延长乩勺，CD交于E,平移貝D，当川与D重合干丑点时,AB^,在ZB=z.C=75:;ZE=3（T,…由正弦定理可得需二黑'解得哙屁Q平移貝D，当D与C重合时,AB最矩，此时在XBCF口，曲=©FC=75：,ZFC5=30：/r/