七年级数学培优数与形的第一次联姻

专题5数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数；2．利用数轴能直观地解释相反数；3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例题与求解【例1】已知数轴上有A,B两点，A,B之间的距离为1,点A与原点0的距离为3那么所有满足条件的点B与原点0的距离之和等于.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A,B在数轴上的位置，求出A,B两点所表示的有理数.【例2】在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示.有下面四个结论：①abc<0，②|a一b+|b一c=a一c，③（a一b）（b-c）（c-a）>0，④|a<1-bc,其中正确的结论有（）个.-10]A.4B.3C.2D.1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到a<-1<0<b<c<1,再对代数式进行逐以一判断.【例3】如图所示，已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0,且C是AB的中点.如果a+-a一2c|+|b一2c|—a+b一2c|=0，试确定原点O的大致位置.TOC\o"1-5"\h\zACB——I“1AabCa+b解题思路：从化简等式入手，而c=—是解题的关键.

【例4】（1）阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为\ab|.当A,B两点中有一点在原点时，当A、B两点都不在原点时，如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=b—a=|a—b|；如图3点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=b—a=|a—b|；③如图4,点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=—b—（—a）=|a—b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a—b|.（2）回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是TOC\o"1-5"\h\z，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是;数轴上表示x和一1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2,那么x为；当代数式|x+l|十|x—21取最小值时，相应的x的取值范围是.④求x—④求x—1+x—2+x—3+...+x一I"7］的最小值・（江苏省南京市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式a—b所表示的意义，来回答所提出的具体问题.【例5】某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来.解题的关键是怎样将实际问x一a+x一a+•••+x一ai2n题转化为求y=的最小值.【例6】如图，A是数轴上表示—30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A,B,C在数轴上同时向正方向运动•点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度是3个单位长度/秒•设三个点运动的时间为t（秒）.（1）当t为何值时，线段AC=6（单位长度）？（2）详5时，设线段0A的中点为P，线段0B的中点为M,线段0C的中点为N,求2PM—PN=2时t的值.（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）a,b,c三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A点运动到C点左侧和右侧两种情况来分析求解.（2）先将P,M,N三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点N左侧，则分为“点P在M,N左边”，“点P在M,N之间”，“点P在M,N右边”三种情况来求解.能力训练A级已知数轴上表示负数有理数m的点是点M,那么在数轴上与点M相距|m|个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是•（江苏省竞赛试题）如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A,B两点的距离为

点A,B分别是数-3,-2在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到A'B'的中点对应数3,TOC\o"1-5"\h\z则点A'对应的数是，点A移动的距离是.（“希望杯”邀请赛试题）已知a>0,b<0且a+b<0,那么有理数a,b,-a,|b|的大小关系是.（用“V”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题）在数轴上任取一条长度为1999*的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（）.A.1998B.1999C.2000D.2001（重庆市竞赛试题）如图，a,b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b,b—2a,|a—b|,b|—|a|中，负数的个数有（）A.1B.2C.3D.4（“祖冲之”邀请赛试题）7.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子|a|+b+|a+b\+|b—c|化简结果为（）.A.2a+3b—cB.3b—cC.b+cd.c—b11■11■1111a01bc8.如图所示，在数轴上有六个，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数最接近的整数是（）.TOC\o"1-5"\h\zA．－1B．0C．1D．2(“希望杯”邀请赛试题)9．已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示：!!I!!__”db0ac且6|=6|b=3|C-4|d=6，求|3a-2d|_|3b-2a|+|2b-c\的值.10•电子跳蚤落在数轴上的某点K，第一步从K向左挑一个单位到K，第二步由K向右跳2个单位oo11到K，第三步由K向左跳3个单位到K，第四步由K向右跳4个单位到K，…，按以上规律跳了22334100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K所表示的数恰是19.94.则电子跳蚤的初始位置K点所表示100o的数是.11.如图，已知A,B分别为数轴上两点，A点对应的数为一20，B点对应的数为100.求过A,B中点M对应的数.现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数.若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数.1.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示:贝y化简a+b_b_1_a_c—1—c的结果为2•电影＜＜哈利•波特＞＞中小哈利•波特穿墙进入“94站台”的镜头（如示意图中M站台）’构思奇妙，给观众留下深刻的印象.若A,B站台分别位于一2,—1处，AN=2NB，则N站台用类似电影里的方法称为“站台”（《时代学习报》数学文化节试题）TOC\o"1-5"\h\zNM-L^J―I1＞-2-109103•在数轴上，若N点与原点O的距离是N点与三O若对应的点之间的距离的4倍，则N点表示的数是.（河南省竞赛试题）若a＞0,b＜0,则使|x—+|x—b=a—b成立的x的取值范围是.（武汉市选拔赛试题）如图，直线上有三个不同的点A,B,C，且AB丰BC，那么，到A,B,C三点距离的和最小的点为（）.A.B点外B.线段AC的中点C.线段AC外一点D.无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6•点A1,A2,A3,…,An（〃为正整数）都在数轴上，点在原点0的左边，且A1O二1，点A2在点Ai的右边，且AA=2，点A在点A的左边，且AA=3，点A在点A的右边，且AA=4,•••，依2132324343照上述规律，点A,A所表示的数分别为（）．20082009A．2008，－2009B．－2008，2009C．1004，－1005D．1004，－1004（福建省泉州市中考试题）7•设y=|x-1|+|x+1|，则下列四个结论中正确的是（）.A.y没有最小值B•只有一个X使y去最小值C.有限个X（不止一个）使y去最小值D•有无穷多个X使y取最小值（全国初中数学联赛试题）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是（）.IIIIIIIIII»ABCDA.A点B.B点C.C点D.D点（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）已知|x+2|+11-x|=9-|y一5-1+y|，求x+y的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）如图，在环形运输线路上有A,B,C,D,E,F六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨.要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小.求各仓库向其他仓库的调运量.11.如图，数轴上标有2n+1个点，它们对应的整数是一n,-(n-1),・・・,一2,-1,0,1,2,…,n一2,n一1,n.为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4.求n的最小值.(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)专题05数与形的第一次联姻例112提示：点A表示数为3或一3,满足条件的点B共有4个.例2B提示：由数轴知a<~K0<b<c<1..°.abcV0,故①正确；由绝对值的几何意义知②正确；a—b<0,b—c<0,c—a>0,故(a—b)(b—c)(c—a)>0,③正确；|a|>1,1—bc<1,|a|>1—bc，④不正确.例3原点O在线段AC上.例4①3,3,4②|x+1|1或一3③一1WxW2④9970026622222222例5如图，用A,B,C,D,E点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给x,x,x,123x,x台电脑.依题意得：7+x—x=11+x—x=3+x—x=14+x—x=15+x—x=45122334455110.得x=x－3，x=x－2，x=x－9，x=x－5.本题要求y=|x|+|x|+|x|+|x|213141511234+|x5|的最小值，依次代入，可得y=|x1|+|x1－3|+|x1－2|+|x1－9|+|x1－5|.由绝对值几何意义可知，当x=3时，y有最小值12.此时有x=0,x=1,x=一6,x=—2.12345所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调动的电脑总台数最小为12台.例6(1)A,B,C三点在数轴上同时向正方向运动.当点A运动到点C左侧时，•・•线段AC=6,・：6+6t=30+18+3t，解得t=14.当点A运动到点C右侧时，线段AC一6,.°.6t—6=30+18+3t，解得t=18.综上可知，t为14或18时，线段AC=6.-当点A,B,C三个点在数轴上同时向正方向运动t秒后，点A,B,C在数轴上表示的数分别为：6t一30,10+3t,18+3t.VP,M,N分别为OA,OB,OC的中点.••・P,M,N三个点在数轴上表示的数分别为：6t^30,10旦,18旦.且点M始终在点N左侧.222若点P在M,N左边，则PM=10+3t—6t-30=20—1.5t,PN=18+3t—6t-30=24—1.5t.2222•：2PM—PN=2,：.2(20—1.5t)—(24—1.5t)=2,・u283若点P在M,N之间，则PM=6t-30—10+3t=—20+1.5t,22PN=18+3t—6t-30=24—1.5t.22•：2PM—PN=2,・2(—20+1.5t)—(24—1.5t)=2,・・・t=竺3若点P在M,N右边，则PM=6t-30—10+3t=—20+1.5t,PN=6t-30—18+3t=—24+1.5t.

•；2PM—PN=2,：.2(—20+1.5t)—(—24+1.5t)=2,:.t=12.但此时PM=—20+1.5tV0,所以此情况不成立.综上可知，t=28或44时符合题意.33A级1.2m2.2或83.719~43.719~4提示：AB的长为157A'对应的数为3-2-2=4，点A移动的距离为4—(—3)=19.44.bV—aVaV|b|5.C6.B7.C8C9.5—30.06提示：设K点表示的有理数为x,则K,K，…，K点所表示的有理数分别为x012100—1,x—1+2,x—1+2—3,…，x—1+2—3+499+100.由题意得x—1+2—3+499+100=19.94.—20+100120(1)M点对应的数为=40.(2)相遇时间为=12秒，C点对应的数为100—1226+4X6=28.(3)追击时间为60秒，D点对应的数为一260.B级1.—22.一1324或40.提示：设N点对应的数为x.根据绝对值的几何意义可知|x|=4|x—30|.对x分情况讨论得出x=24或x=40.bWxWa5.A6.C7.D8.C原式化为|x+2|+11—x|+|y—5|+11+y|=9.*.*|x+2|+|1—x|±3，当一2WxW1时等号成立；|y—5|+|1+y|三6,当一1WyW5时等号成立..*.x+y的最大值=1+5=6；x+y的最小值=—2—1=—3.1调运后各仓库的存货量都相等，应为-X(50+84+80+70+55+45)=64吨.设4库运往B库XB吨，B库运往C库亠吨，C库运往D库XD吨，D库运往E库XE吨，E库运往F库XF吨，F库运往A库x吨，故有:50+x—x=84+x—x=80+x—x=70+x—x=55+AABBCCDDEx－x=45+x－x=64．EFFA所以，x=x－14，x=x+20=x+6，x=x+16=x+22，x=x+6=x+28，x=BACBADCAEDAFx－9=x+19．EA若使调运