常微分方程1.1公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第一章绪论函数是反应客观现实世界运动过程中量与量间一个关系,普通用含自变量及这些自变量函数等式表示。但大量稍复杂实际问题，反应运动规律量与量间关系不能直接给出,却较轻易建立这些变量和它们导(微分)间关系式。参考用书V.I.Arnold,GeometricMethodsintheTheoryofOrdinaryDifferentialEquations,SecondEdition,NewYork,Springer-Verlag,1983.P.Hartman,OrdinaryDifferentialEquations,NewYork,Wiley,1973.E.A.CoddingtonandN.Levison,OrdinaryDifferentialEquations,McGraw-Hill,1955.1.金福临,李训经.常微分方程.上海:上海科学技术出版社,1984.

2.丁同仁,李承治.常微分方程教程.北京:高等教育出版社,1991.定义一个或几个包含自变量、未知函数及未知函数一些导数（微分）关系式，称为微分方程。§1.1常微分方程模型

本节简单介绍一些相关社会、生化、力学、电学等方面常微分方程模型.例1人口模型.英国人口统计学家Malthus于１７９８年在其著作《人口原理》中提出一著名人口模型．

此模型给出是基于一个基本假设：人口自然增加过程中，净相对增加率r（生命系数）是常数．

所以得N(t)满足微分方程因为在时间段t到t+Δt内人口数量N=N(t)增加量是放射性物质质量衰减、细菌繁殖、溶液冲淡、密封容器抽真空及物质冷却过程等问题均可导出这种形式方程.

不过Malthus模型(指数增加模型)只适合用于人口总数不大,生存空间及食物等资源非常充裕时情形.荷兰生物学家Verhulst经过引入常数(环境最大容纳量),将Malthus模型改进为这个模型称为logistic模型(阻滞增加模型).当与N相比很大时,则模型变为Malthus模型.能够求得logistic模型满足解是例2R-L-C电路中,R、L、C为常数,电源e(t)为时间t函数.求电流I应满足方程.解经过R、L、C电压分别为R·I、L·dI/dt、Q/C．依据Kirchhoff第二定律：在闭合回路中，电压代数和为零，得微分上式,并注意到得,以时间t为自变量,以电流I为未知函数常微分方程

一样方法可得RL电路,LC回路中电流强度I满足微分方程.假如考虑双回路电路,那么可得一关于电流强度I三阶导数常微分方程.例3数学摆.

上端固定于一点O无伸缩摆线(长为,质量忽略不记)下系质量为m质点M.由此组成单摆称为数学摆.确定数学摆运动方程.设运动开始后时刻为t时单摆偏离平衡位置角是θ(要求逆时针方向为正).那么依据牛顿第二定律可得即假如只研究摆微小振动,那么有假如摆是在一粘性介质(如液体)中运动,那么沿摆运动方向存在一个与速度v成百分比阻力,设阻力系数为μ,则有假如沿摆运动方向恒有一个外力作用于摆(称为强迫振动,如钟摆),那么摆运动方程是若要确定摆某一特定运动时,则应给出摆初始状态(初始条件):初始位置初始角速度注意到θ很小时,摆运动方程与刻画电路中电流强度改变方程形状一样.这表明完全无关本质上不一样物理现象有时可用同类型微分方程描述.所以,可用模拟方法研究物理或工程问题.如,用电路模拟一些力学、机械系统.例4传染病模型模型1(SI模型):1.假设疾病传输期间其地域总人数n不变.开始时刻(t=0)健康(易感染者Susceptible)人数为y(t),病人(已感染者Infective)数为x(t).2.设单位时间(如一天)内一个病人能传染人数与当初健康人数成正百分比,百分比系数为k(传染系数).在上述假设下,我们可得以下SI模型:这个模型形状与logistic模型相同.这里没有考虑病人能够治愈情况.无免疫性传染病(如伤风、痢疾),病人治愈后会再次被感染.模型2(SIS模型):增加假设3.单位时间治愈率为μ.那么SI模型应修正为显然,为此传染病平均传染期,为整个传染期内每个病人有效接触平均人数(接触数).大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后都有很强免疫力,所以,病愈人既非健康者,也非病人,称他们为移出者(Removed).模型3(SIR模型):设在时刻t愈后免疫人数为r(t),治愈率为常数.依据假设,可得下述等式

消去r(t)得例5两生物种群生态模型意大利生物学家D’Ancona发觉地中海各港口在第一次世界大战期间捕捉到捕食鱼(鲨鱼)占百分比急剧增加.因无法解释为何捕捉量降低更有利于捕食者,于是求援于他朋友、著名意大利数学家Volterra.Volterra建立了一个简单数学模型(Prey-PredatorModel,食饵-捕食者模型,P-P模型),回答了D’Ancona问题.模型建立设食饵(被食鱼)和捕食者(鲨鱼)在时刻t数量分别为x(t),y(t).因为被食鱼所需食物很丰富,假设当食饵独立生存时以指数规律增加,自然净相对增加率为a(a>0),即但因捕食鱼存在,致使其增加率降低,设单位时间内食饵与捕食鱼相遇次数为bxy(b>0),所以捕食者离开食饵无法生存,设它独立存在时死亡率为c(c>0),即而食饵存在使捕食者死亡率降低,且促使其增加,所以自然增加率与xy成正比,即dxy(d>0,反应食饵对捕食鱼供养能力),于是最终我们得到反应