概率论与数理统计第2章

概率论与数理统计第2章随机变量●2.1随机变量的定义●2.2离散型随机变量●2.3连续型随机变量与随机变量的分布函数●2.4随机变量函数的分布

一、随机变量概念的产生

在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.

1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.

例如，掷一颗骰子面上出现的点数；

九月份广州的最高温度；每天从广州下火车的人数；昆虫的产卵数；2、对有些试验而言，其结果未必是数量化的。如抛掷硬币出正面或反面，检查产品是正品或次品等等。但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果。也就是说，把试验结果数值化。这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.ω.ξ(ω)R定义

若变量ξ在随机试验中，随着试验结果的不同而随机地取各种不同的数值，而且对取每个数值或每个确定范围内的值都有一定的概率，

称这种定义在样本空间上的实值函数为随量机变说明：随机变量与普通函数的主要区别有几点：（1）普通函数的定义域是实数轴上的一个点集，而随机变量是定义在样本空间上的（样本空间的元素不一定是实数）。（2）随机变量的取值有一定的概率。引入随机变量以后，随机事件就可以通过随机变量来表示，随机变量将联系着随机试验中的各个事件，反映试验的全部结果。随机变量是研究随机试验的有效工具。而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用希腊字母ξ,η等表示

例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量ξ,然后我们可以提出关于ξ的各种问题.

如

P(ξ>1.7)=？P(ξ≤1.5)=?P(1.5<ξ<1.7)=?有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用ξ表示，它是一个随机变量.事件“收到不少于1次呼叫”

{ξ1}“没有收到呼叫”

{ξ=0}可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律三、随机变量的分类

如“取到次品的个数”.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.

从中任取3个球取到的白球数ξ是一个随机变量可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例1且四、离散型随机变量的分布其中

(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）

定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量ξ所取的一切可能值，称

k=1,2,…为离散型随机变量ξ的概率函数或分布律，也称概率分布.用这两条性质判断一个函数是否是概率函数例2设10件产品中有7件正品，3件次品，随机地从中抽取产品，每次取一件，直到取到正品为止。求抽取次数ξ的分布，（1）每次取出是次品就不放回去；（2）每次取出是次品仍放回去。解

（1）

ξ可能取值为1、2、3、4

它的分布为

ξP1234(2)ξ的取值为1、2、3、……它的分布为k=1、2、3、…几何分布五常见的几种分布1、两点分布（0--1分布）定义

如果随机变量ξ只可能取0和1两个值，其概率分布为：P(ξ=1）=p,P(ξ=0)=1-p(0<p<1),则称ξ服从参数为p的0—1分布。

说明:随机试验的样本空间只包含两个样本点，都可以定义一个具有0—1分布的随机变量,用0—1分布来描述它。

例如检查产品的质量是否合格，婴儿的性别是男是女；抛掷硬币出现正反面等等。例3100件产品中，有98件是正品，2件次品，现从中随机地抽取一件，可以定义随机变量ξ如下这时随机变量ξ的概率分布为：

P(ξ=1）=0.98,P(ξ=0)=0.02服从的就是0--1分布引例设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令ξ表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.我们来求ξ的概率分布.

将试验E在相同条件下重复进行n次，如果将第i次试验的结果记为Ai(i=1,2,…n)，总有A1，A2，…，An相互独立，即每次试验结果的出现都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的。伯努利试验

n

次独立重复试验称作

n

重贝努里试验，简称伯努利试验或伯努利概型。

掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”

射击：“中10环”，“未中10环”

抽验产品：“抽到正品”,“抽到次品”设重复地进行

n

次独立试验，每次试验“成功”的概率都是p,“失败”的概率是

q=1-p

。一般地，设在一次试验中只有两个互逆的结果：,形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”。如：定义设随机变量ξ表示n次独立试验中事件A

发生的次数，p为一次试验中A发生的概率，若

ξ的分布律为则称随机变量ξ服从二项分布，记为ξ~B(n,p)说明

(1)二项分布的背景是伯努利概型；

(2)n=1时的二项分布就是0—1分布.二项分布（2）不难验证：（1）将试验

E

在相同条件下独立地进行

n

次，记

X

为

n

次独立试验中A出现的次数。描述第i

次试验的随机变量记作Xi,则Xi

～

B(1,p)，且X1,X2,…,Xn相互独立(随机变量相互独立的严格定义将在第三章讲述)。则有X=X1+X2+…

+Xn

.(1)某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，则最近6天内用水量保持正常的天数(2)设有9个工人间歇地使用电力，每个工人在1小时内平均有12分钟需要电力。若各个工人相互独立地工作，则在单位时间内需要用电的工人数ξ～B（9，0.2)ξ～B（6，0.75)练习例4某射手每次射击中靶的概率为0.8,求射击10发子弹命中5发的概率。解设射击10次命中的次数ξ则ξ～B(10,0.8)那么命中5发的概率为泊松(Poisson)分布定义如果随机变量ξ的分布律为则称ξ服从参数为λ的泊松分布，记作ξ～P(λ)（2）（1）解:例5:

某一城市每天发生火灾的次数

X

服从参数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生

3

次以上火灾的概率。≈0.0474.P{X≥3}=1-P{X<3}=1-(P{X=0}+P{X=1}+P{X=2})查表得出历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。二项分布与泊松分布的关系泊松定理:对二项分布

B(n,p),当

n充分大,p又很小时,对任意固定的非负整数

k，有近似公式

连续型随机变量所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓概率密度函数的方式.密度函数的定义随机变量，若对于任意实数都有的概率密度或密度函数。则称是一个连续型随机变量，称函数为设在内是非负可积函数，为一密度函数的几何意义密度函数的性质1.2.（非负性）（归一性）3.连续型随机变量的充要条件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=Ω而“”并非不可能事件“”并非必然事件于是，4.对f(x)的进一步理解

若x是

f(x)的连续点，则：若忽略高阶无穷小，有：在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似.

它表示随机变量取值于的概率近似等于.均匀分布若随机变量具有密度函数则称服从区间上的均匀分布，记为对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有指数分布若随机变量具有密度函数则称服从以参数为的指数分布.例6电子元件的寿命

(年)服从参数为3的指数分布求该电子元件寿命超过2年的概率.解：正态分布若随机变量具有密度函数其中为一实数，则称服从以为参数的正态分布，记为当时，密度函数为此时，称服从标准正态分布，记为一般正态分布可以通过变换化为标准正态分布：标准正态分布的性质(3)图象特点是“两头小，中间大，左右对称”.

(1)单峰对称,

μ决定了图形的中心位置正态分布有两个特性：密度曲线关于直线x=对称(2)决定了图形中峰的陡峭程度.越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻。

———|——>x设

ξ

是一个r.v，称为ξ

的分布函数.记作ξ～

F(x)

或Fξ(x).如图，分布函数F(x)的值就表示ξ落在区间的概率.分布函数定义

问：在上式中，ξ,x

皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)是不是概率？

ξ是随机变量(如ξ表示电子元件的寿命等）,x是参变量（如x为3.5（年），4.8

（年）

……）F(x)是r.v

ξ取值不大于

x

的概率.

由定义，对任意实数x1<x2，随机点落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1<ξx2

}=P{ξx2}-P{ξx1}=F(x2)-F(x1)

分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.(1)F(x)非降，即若x1<x2，则F(x1)F(x2);(3)F()=F(x)=0

(4)F(x)右连续，即

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vξ

的分布函数.也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.F()=F(x)=1分布函数的性质(2)1.已知分布列(律)求分布函数例7已知，求F(x).当0x<1时，

F(x)=P(ξ

x)=P(ξ=0)=F(x)=P(ξ

x)解:当x<0时，F(x)=P(ξ

x)=0离散型随机变量的分布函数当1x<2时，

F(x)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=+=当x2时，

F(x)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=1故注意右连续设离散型r.vξ

的分布律是：P(ξ=xk

)=pk

,

k=1,2,3,…则

F(x)=P(ξ

x)=

可见F(x)是ξ取诸值xk（

xk

）的概率之和下面我们从图形上来看一下.方法归纳:(已知分布列(律)求分布函数)概率函数图分布函数图画分布函数图

不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在

x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2).2.已知分布函数求分布列(律)例8已知离散型随机变量ξ的分布函数如下:试求ξ的分布列

正态分布的分布函数设ξ~,ξ的分布函数是的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：标准正态分布的分布函数书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.表中给的是x>0时,Φ0(x)的值.当x<0时正态分布表~N(0,1)

(1)若ξ

～N(0,1),若(2)(2)例9例10例如，已知圆柱截面直径的分布，求截面面积的分布。一、随机变量函数定义设是定义在随机变量的一切可能值的集合上，若对于

的每一可能值

，有随机变量的一个值与之对应，则称为

的函数，记为二、离散型随机变量函数的分布例11求的分布列.

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