数值分析最佳习题(含答案)

2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编PAGEPAGE4第一章绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。若误差限为0.51050.003400？（有效数字的计算）1 1解：x*0.3400102，xx*故具有3位有效数字。

105 10232 23.141594？（有效数字的计算）解：0.31415910，欲使其近似值*具有4位有效数字，必需1 1 1* 1014 103* 103，即3.14109*3.142092 2 2已知a1.2031，b0.978ab，ab有几位有效数字？（有效数字的计算）1 1解：aa*

103，bb* 102，而ab2.1811ab1.17662 21 1 (ab)(a*b*)aa*bb*10310210121 1 2 2 2故ab至少具有2位有效数字。0.978 1.2031 1(ab)(a*b*)baa*a*bb* 103 1020.0065 10122 2 2故ab至少具有2位有效数字。xx*x*xx*x*x0xxx*x*xx*x*解：已知

，则误差为 lnxlnx* lnxlnxlnx*lnx*

1lnx*xx*x*lnx*测得某圆柱体高度h的值为h*20cm，底面半径r1lnx*xx*x*lnx*|hh*|0.2cm，|rr*|0.1cm，求圆柱体体积vr2h的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）解：v(h,r)v(h*,r*)*h*rr*r*2hh*绝对误差限为v(h,r)v(20,5)25200.1520.2v(h,r)v(h,r)v(20,5)

14%相对误差限为 v(20,5)

5220 20x的相对误差为ayxn的相对误差。（函数误差的计算）xx*x*yy*y*xnx*xx*x*yy*y*xnx*nx*nxx*x*1，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）4 4解：球体积为v(r)

r3，v(r*) r*3rrrr*r*v(r)v(r)v(r*)4r*2rr*) * 4

3

，必须

1%。rrr*r*v(r

r*33In

e11xnex0

，求证：In

1

n1

(n0,1,2)（计算方法的比较选择）解：In

e11xndexe1[xnex100

n10

xn1exdx]1ne11xn1exdx1nI0

n1Ie11exdxe1(e)1e100如果初始误差为0

II*，若是向前递推，0 0In n

I*n

n1

)nI*n1

)n

n1

(1)2n(n

n2

(1)n0可见，初始误差0

的绝对值被逐步地扩大了。1 1

n1

In n

，其误差为1 1 1 1

1 (1)n( I0 1 1

)( I*)1 11 1

(1)2 122

n可见，初始误差n

的绝对值被逐步减少了。第二章插值法姓名 学号 班级习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。f2,ff(21f(x的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）解法一（待定系数法）：L(x)ax2bxc，由插值条件，有abc2abc14a2bc1解得：a1/6,b1/2,c4/3。1 故L(x)1x2 x 。1 6 2 3解法二（基函数法）：由插值条件，有(x1)(x2) (x1)(x2) (x1)(xL(x)

2 1 1(12) 2) (21 1 1(x1)(x2)1(x1)(x2)1(x1)(x3 2 31 1 x2 x76 2 37已知y x,x909

4,x1

9

的近似值。（拉格朗日线性插值）y0

2，y414

3，其线性插值函数为L(x)

x92x431x649 94 5 77 6 的近似值为L(7) 2.6。77 6 5 5 5xj

(j0,1,...n)为互异节点，且有(xx)(xx)(xx )(xx )(xx)l(x)0 1 jjn j (xj

x)(x

x)(x

xj

)(xj

xj

)(xj

x)n试证明nj0

xkl(x)xkk（拉格朗日插值基函数的性质）jjF(x)j0

xklj

(xxk0knx(。08答编PAGEPAGE5F(x)是次数不超n的多项式，在节点X=X;(Q i n)处，有F(i)＝"JO

几位

＝饥x;-x:-:0这表明，F(x)有n+l个互异实根。故F(x）三o,从而区x亿(x)三Xk对于任意的0:S;k:S;n均成立。J=O4已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛物线插值计算0.3367并估计截断误差。（二次插值）：其抛物线插值函数为L(x)= (x-0.36) ·0.314567(0.32-0.34)(0.32-0.36)(x-0.32)(x-0.36) ·0.333487(0.34-0.32)(0.34-0.36)(x-0.32)(x-0.34) ·0.352274(0.36-0.32)(0.36-0.34)将X=0.3367代入，计算可得：L(0.3367)f::::0.3304。其余项为：lr(x)I=l (x-32)(x-.34)(x-0.36)其中，0.32< <0.36lr(xI; l(x-0.32)(x-0.34)(x-0.36I6故误差的上界为：Ir(0.3367)16

l(0.336-0.32)(0.336-.34)(0.3367-0.361;2.14x7o—,X2=5用余弦函数cosxO,—,X2=4

—三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值2冗多项式 并近似计算cos—及其绝对误差与相对误，且与误差余项估计值比拉格冗6朗日二次插值）解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为(x)=(－兀I4)(－兀/2)1.

(x-O)(x－冗/2) I , (x-冗14)'＋ ·04(－冗I4)(－2) 冗/4-)冗/2)五兀/2-4

矿2－兀／4)2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编PAGEPAGE1582x(x/2)8(x/4)(82x(x/2)2 28//6/2) /68//6/2)L()

0.85082426 2 24232242993482绝对误差为：(32242993482绝对误差为：() 6 6 18coscosL()66934820.0179482L()6r(r(x)sinx(x/4)(x/20/2r(x)1x(x/4)(x/2)6rr( )1 36 666 4 6 2( )( ) 0.0239646已知函数值f(0)6,f(1)10,f(3)46,f(4)82,f(6)212，求函数的四阶均差xy一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/3xy一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f[046115。xy一阶均差二阶均差48211072/3346186f[46f[4f6，该值在第一个表中就可以查到。7设f(x)(xx0

)(xx)(xx1

)求f[x0,

xx1

]之值，其中pn1，而节点x(i0,1,n1)互异。（均差的计算）i解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有f(x)f[x0,

xx]1 p

(xi0

x)(x

x)(x

xi1

i)(xi

xi1

)(xi

xp1

)(xi

x)pf(x)00ipf[xi

xx1

]0。x0x0124f(x)19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）解：先构造均差表xx0124f(x)19233一阶均差二阶均差三阶均差814-103-8-11/4故N(x18x3x(x

11x(x1)(x2)。4求一个次数小于等于三次多项式 p(x)，满足如下插值条件：2，p(2)4，p(2)3，p(3)12。（插值多项式的构造）解法一（待定系数法）：设p(x)ax3bx2cxd，则p(x)3ax22bxc，由插值条件，有abcd28a4b2cd412a4bc327abcd12a2b9cd6。故p(x)2x39x215x6解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表xy一阶差商二阶差商三阶差商122422431312852故p(x22(x(x1)(x22(x1)(x2)22x39x215x610H(xH(0H0H(2H1（埃尔米特插值）。解：设H(x)ax3bx2cxd，H(x)3ax22bxc利用插值条件，有d1abcd08a4b2cd1abc1解得：a1,b4,c4,d1。H(x)x34x24x13311设f(x)x,x1/xx9/42。(1)试求f(x) 1/,9/4在上的三次埃尔米012H(xH(xf(x),jH(xf(xH(x以升幂形式j j 1 1给出。(2)给出。(2)写出余项R(x)f(x)H(x)的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。解：f解：f(1)14 8，f1 f(9)27，4 8，f(x) x3212设H(x)ax3bx2cxd，H(x)3ax22bxc

f(1)32a。1a1b1cd164 16 48abcd1729 81 964a16b4cd827c3214263b ，233c ，1，2254504502514x3225263x2450233x1。351)(x91912若12若f(x)c2[a,b],f(a)f(b)0，试证明：max|f(x|1ba2max|f(x|（插值余项的应用）axb

8 axb解：以f(a)f(b)0为插值条件，作线性插值多项式，有xb xaL(x)其余项为

f(a) f(b)0ab baf()R(x)f(x)L(x)f(x) (xa)(xb)2! 1 ab ab 1 故maxf(x) maxf(x)( a)(b ) (ba)2maxf(x)。axb

2axb 2 2 8

axb13 设f(2)f(0)f(2)2,求p(x)使p(x)f(x)(i0,2；i i又设|f(x)|M，则估计余项r(x)f(x)p(x)的大小。（插值误差的估计）解：由插值条件，有4a2bc1c14a2bc2a1/8解得：b3/4c13从而p(x)1x2 x138 4其余项为r(x)f(x)p(x)

f()(x2)x(x2) (2,2R(R(x)1282(x42(x)，其中，444。故H(x)45025M6r(x) (x34x)M16 383MM669 27第三章函数逼近姓名 学号 班级习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1f(x)sinxf(x于[0上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）解：span，,)1dx1 ,，

)1xdx1 ,)1xdx1，2，1 1 1

2 2 2 30 0 01 2

x 1 1 1(f,)1

sinxdx0

，(f,2

)xsinxdx0

cosx

sinx 2 0法方程组为1 1 2 2a1 1a1 1 2 3

2 2解得：a1

，a0 2线性最佳平方逼近多项式为：*2。2令f(x)ex,1x1，且设p(x)a

axa

使得p(x)为f(x)于[1,1]0 1 0 1上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）解：span{1,x}，,)1dx2 ,，

)1xdx

，(,)xdx2121 1 1

2 2 3(f,

)1exdxee1

，(f,2

)1xexdxe1法方程组为2 0a

ee10 2

1 解得：a1

3a2 e11 (ee1)，a12 2

e13p(x)

ee1e1x。2 33证明：切比雪夫多项式序列T(x)cos(karccosx)k在区间(x1/1x2正交。（正交多项式的证明）解：对于lk，有(T,Tl k

)1

1 cos(larccosx)cos(karccosx)dx1x21cos2t1 coslt)cos(kt)(sint)dt1x21cos2t01[coslktcoslktdt201[1

sin(lk)t

1 sin(lk)t]02lk lk 0对于lk，有(T,Tk k

)10

1 cos2(karccosx)dx1x21cos2t1 cos2(kt)(sint)dt1x21cos2t01[1cos(2ktdt1t1sin(2kt2 2 2k 0 20故，序列{Tk

(x)}在[-1，1]上带权(x)

正交。1x2x1x21 2

4的最小二乘解。（最小二乘法）1 2xx21 2解法一：xx1 2

，使得f(x,x1 2

)(xx1

3)2(x1

2x2

4)2(xx1

2)2达到最小。于是，令f2(xx3)2(x2x4)2(xx

2)0x 1 2 1 2 1 21f2(xx3)2(x2x4)22(xx

2)(1)0x 1 2 1 2 1 223x

9 x2.5714即：21 2 ，其最小二乘解为：1 。x6x9 x0.64291 2 2解法二：1 32

4，记作AXb，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组 x 11 2 23 2x

9ATAXATb，即

122 6x2x2.5714

9解之，得1 。x0.64292x2x22.53455.5ky44.5688.59k试用直线拟合这组数据.(计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近）解：作矩阵2 4 3 6A ，y 4 85 8.5