韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答

竞赛题参考解答第PAGE5页共NUMPAGES5页韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答一、原料采购某工厂正常情况下每天需要消耗某种原材料4吨，因此每隔一段时间需要购置一次原材料，原材料的价格为2000元/吨，原材料的保管费用每天2元/吨，每次购置原材料需要支付运费1600元.为了保证每天都有原材料供给生产，请给出最优的原材料采购方案.解：设每隔t天购置一次原材料，那么总的保管费用为〔10分〕支付的总费用为：那么平均每天支付的费用为〔20分〕从而当，即t=20时平均每天的支付费用最少.于是应该20天采购一次原材料.〔25分〕二、运输本钱某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的本钱费A型车为320元，B型车为504元.请为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的本钱费最低？解：根据题意可得：A型车B型车物资限制载重〔t〕610共180车辆数84出车次数43每车每天运输本钱〔元〕320504设每天调出A型车x辆、B型车y辆，公司所花的本钱为z元，那么最低本钱费数学模型为(10分)这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解.可行域〔如上图〕为：由直线：x+y=10,:4x+5y＝30以及x=8,y=4组成的凸四边形区域.直线：320x+504y=c在可行域内平行移动.〔17分〕易知：当过y=0与的交点时，z取最小值.由解得取最近的整点〔8，0〕，即只调配A型卡车8辆，所花本钱费最低.=320×8=2560〔元〕(25分)三、最短路径如下列图，图中箭头方向表示可以进行移动，箭头上数字表示行走的距离〔单位：km，如6号位置能够前进到7号位置，距离为4km；而7号无法前往6号〕.现我们所处1号位置，因为行程需要前往8号位置，求最少需要走多少路程能够到达，并且写出具体路线.解：〔1〕.列举法(略)〔2〕.利用迪杰斯特拉算法：X表示行进过的区域，X={1}，第一步：min{d12,d14,d16}=min{0+2,0+1,0+3}=min{2,1,3}=1X={1,4},p4=1〔5分〕第二步：min{d12,d16,d42,d47}=min{0+2,0+3,1+10,1+2}=min{2,3,11,3}=2X={1,2,4},p2=2第三步：min{d16,d23,d25,d47}=min{0+3,2+6,2+5,1+2}=min{3,8,7,3}=3X={1,2,4,6},p6=3第四步：min{d23,d25,c47,d67}=min{2+6,2+5,1+2,3+4}=min{8,7,3,7}=3X={1,2,4,6,7},p7=3〔12分〕第五步：min{d23,d25,d75,d78}=min{2+6,2+5,3+3,3+8}=min{8,7,6,11}=6X={1,2,4,5,6,7},p5=6第六步：min{d23,d53,d58,d78}=min{2+6,6+9,6+4,3+8}=min{8,15,10,11}=8X={1,2,3,4,5,6,7},p3=8〔20分〕第七步：min{d38,d58,d78}=min{8+6,6+4,3+7}=min{14,10,11}=10X={1,2,3,4,5,6,7,8},p8=101到8的最短路径为{1，4，7，5，8}，长度为10km.〔25分〕四、隔热厚度为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C〔单位：万元〕与隔热层厚度〔单位：cm〕满足关系：〔k为一未知待定系数〕，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和．〔Ⅰ〕求的值及的表达式；〔Ⅱ〕隔热层修建多厚时，总费用到达最小，并求最小值．解：(Ⅰ)设隔热层厚度为xcm，

由题设，每年能源消消耗用为，

再由C(0)=8，得k=40，因此，〔5分〕

而建造费用为C1(x)=6x，

最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为〔12分〕(Ⅱ)

令f′(x)=0，即，解得〔舍去〕，〔17分〕

当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，

故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为地=70〔25分〕五、车间通风某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?解：设鼓风机开动后时刻的含量为在内，气量变化关系为：；；.故可得到：，〔10分〕进一步有：，〔15分〕求解以上微分方程得到：，结合初值条件：，得到：，故有：，计算在6分钟后，有,于是，鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到.〔25分〕六、最大面积工厂里有一块半圆形铁板，其半径为R.半圆的一局部有破损，破损位置如下图，其中BC=R/2，并且破损位置在以B所在的水平线右侧.现要在半圆铁板剩余的局部上切割出一个直角三角形，如图甲乙两个方案：甲方案是以半圆的直径所在边作为斜边，乙方案是选取半圆的直径所在边为直角边.哪种方案所切割的直角三角形最大？并说明理由.甲方案乙方案解：我们根据甲、乙的方案，分别求出两种方案所能切割出直角三角形的最大面积.对于甲方案，以AB或者比AB短的线段作为直径的半圆内接三角形.显然，选取AB作为直径时能够保证三角形尽量的大，此时内接半圆的半径为，即.〔5分〕以O’为原点建立直角坐标系，此时O’(0,0),A(),B().设D点的坐标为().那么三角形的面积〔15分〕关于求导后可知，当时，