专题：直角三角形存在性问题

-.z.直角三角形存在性问题方法提炼：●找点"两个定点，求作直角三角形〞，可借用"两线一圆法〞找到第三个顶点的位置；●直角三角形存在性问题探讨1.先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论2.方法一：画出具体图形，依托直角，作"横平竖直〞辅助线，造"一线三直角〞，利用相似列方程解方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解；例1：如图在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是菱形外部的一点，假设以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形，则P、D两点间的最短距离为.例2.如图，抛物线与*轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．〔1〕求点A、B的坐标；〔2〕假设直线l过点E〔4，0〕，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．例3.如图，二次函数y＝*2＋b*＋c图像经过原点和点A〔2，0〕，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．〔1〕求二次函数解析式及其顶点C的坐标；〔2〕在直线AB上是否存在点D，使得△BCD

为直角三角形．假设存在，求出点D的坐标，假设不存在，说明理由．例4.〔2017年.〕如图，抛物线y=a*2+b*+c与*轴交于两点A〔﹣4，0〕和B〔1，0〕，与y轴交于点C〔0，2〕，动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作*轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．〔1〕求抛物线的解析式和对称轴；〔2〕是否存在*一时刻t，使得△EFC为直角三角形？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由；●针对性演练：1、如图，二次函数y=*2+b*+c的图象与*轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C〔1，-2〕．〔1〕求此函数的关系式；〔2〕作点C关于*轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．假设在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；假设不存在，请说明理由．2、如图，直线y=-*+3与*轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=a*2+b*+c与*轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线*=2。〔1〕求点A的坐标；〔2〕求该抛物线的函数表达式；〔3〕请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？假设存在，请求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停顿运动，设运动时间为t秒〔t＞0〕．〔1〕当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；〔2〕在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；〔3〕是否存在*一时刻t，使△PEF为直角三角形？假设存在，请求出此时刻t的值；假设不存在，请说明理答案：例1，PC的最小值为1〔1〕A(-4,0)、B〔2,0〕方法一、作CF⊥L1，CF=，CE=，AC:，平移AC可得L1L2，再根据D的横坐标为*=-1，可求D点坐标。方法二：设AC与对称轴交于点G，G()，设D的坐标可设为〔-1，y〕，则D1G=，DG=由S△ACD=S△ABC，可求出y的值，继而求出D点坐标。D的坐标为、如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．要想以A、B、M为顶点所作的三角形有且只有3个时，过点E的直线与⊙F相切。过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．连接FM，过M作MN⊥*轴于点N．M在第一象限，M〔〕，；M在第三象限，M〔〕，例3。〔1〕，C〔1，-1〕〔2〕方法一；AB：，设D〔*,-*+2〕,B〔-1,3〕，C〔1，-1〕，可求出△BCD三边长，分两类通过勾股定理计算可求出D点坐标；∠BCD=90°时，D，∠BDC=90°时，*=2,*=-1〔舍去〕，D〔2,0〕方法二：直线AB：，直线BC：假设∠BCD=90°时，CD：，将CD与AB关系式联立，可求出点D的坐标∠BDC=90°时，CD：，将CD与AB关系式联立，可求出点D的坐标例4答案：〔1〕，对称轴AD=DF=2t，OF=4-4t，D〔2t-4,0〕，，E〔2t-4，t〕①∠EFC=90°，△DEF≌△OFC，列比例式，可求出t=；②∠FEC=90°，△AEF为等腰直角三角形，DE=AF,t=2t，t=0〔舍去〕③∠ACF=90°，针对性演练答案：1、〔1〕将顶点〔1,2〕代入得，得可证四边形ACBD为菱形，所以PE必过对称中心M，P〔0，-1〕，M〔1,0〕，可求PE：，与联立可求E点坐标〔3,2〕〔3〕方法一：作FG⊥y轴于G，证△FGP≌△POM，OM=OP，可得PG=GF,即*=0〔舍去〕,*=1，F〔1，-2〕方法二：P〔0，-1〕，E〔3,2〕，F三点坐标，可表示出