高中数学竞赛专题精讲28高斯函数(含答案)

28高斯函数数论函数y[x],称为高斯函数，又称取整函数 .它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数x,[x]是不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数y{x},{x}x[x].由[x]、{x}的定义不难得到如下性质：(1)y[x]的定义域为R,值域为Z；y{x}的定义域为R,值域为[0,1)(2)对任意实数 x,都有x[x] {x},且0 {x}1.TOC\o"1-5"\h\z(3)对任意实数 x,都有[x]x [x]1,x 1[x] x.(4)y[x]是不减函数，即若x1 x2则[x1][x2],其图像如图I—4—5—1;y{x}是以1为周期的周期函数，如图I—4—5—2.尸f ”*3 I1*2 «—* I-10TT7 -1 01234?J]4 • --2-3图I—4—5—1[xn] n[x];{xn} {x}.其中[xy][x][y];{x{x}{y}{x中噜⑺[xy][x][y],其中x,yR；一[Vx]n[x],xR,nN./.一。「 r图I—4—5—2xR,nN.n ny};[xi] [xi],xiR；特别地，i1 i1n n般有[xi] [xi],xiR；特别地,i1 i1(8)[x][凶]，其中xR,nN.nn例题讲解1.求证：2n1n!n2k1,其中k为某一自然数2.对任意的nN，计算和Sn2k[oki].023.计算和式S

502305n他也n0[右]的值.24.设M为一正整数，问方程X

2 2[x] {x}，在[1,M]中有多少个解?5,求方程4X240[X]510的实数解..xR,nN，证明:[nx]甲掾野噜..对自然数n及一切自然数x,求证：TOC\o"1-5"\h\z1 2 n1[x][x-][x-][x][nx]..nn n2000010.求出[100 ]的个位数字10 3例题答案：1.证明：2为质数，n!中含2的方次数为n2(n1)k1"一k1 kt1 kt1 2 k2k1若n2，则2(n!) [2 ] [2 ]122 2 2 1n1t1 t1故2n1|n!.反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设 n=2sp,其中p>1为奇数，这时总可以[2stp]0 [(2s12s2找出整数t,使2t2sp2t1,于是n!中所含2的方次数为2(n!)[2[2stp]0 [(2s12s22st)p][2st(2t1)p][2sp2stp]n[2stp].由于12st由于12stp2,则[2st]2,故n!中含2的方次数2(n!)n2,则2n1『n!.这与已知矛盾，故必要性得证rnrn2n2.解：因[2卜1][?k11],「 ……-]对一切k=0,1，…成立，因此,n2kn2k12]n nr[22k1][2k1].又因为n为固定数，当k适当大7n时，工27n时，工2k1,从而[2d0，故Sk悖[An..解：显然有：若{x}{y}1,则[xy][x][y]1,x,yR.TOC\o"1-5"\h\z503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502,305n都不会是整数，但j°5n+305(503n)305,503 503 503可见此式左端的两数的小数部分之和等于 1,于是)[幽 30550^ 故503 50330425176304.S502[305n] 251([305n][305(503n)30425176304.n1503 n1 503 503 ,.解：显然x=M是一个解，下面考察在[1,M]中有少个解

设x是方程的解.将x2[x]22{x}{x}{x}2代入原方程，化简得2[x]{x}[2[x]{x}{x}2].由于0{x}1,所以上式成立的充要条件是 2[x]{x}为一个整数.k设[x]mN,则必有{处——(k0,1,,2m1),即在[m,m1)中方程有2m个斛.2m又由于1mM 1,可知在[1,M)中方程有2(12(M1))M(M1)个解.因此，原方程在[1,M]中有M(M1)1个解..解：因[x]x[x]1,又[x]0不是解.4([x]1)240[x]510,4[x]24[x]510.⑵x]5)(2[x]11)0.⑵x]3)(2[x]70.[x][x][x]17[x][x][x][x][x]17[x][x][x]11217解得[x] 2或[x] 6或7或8,分别代入方程得4x24x24x4x24x24x24x2290,x1890,x2290,x2690,x.29.189

2

229.2692经检验知，这四个值都是原方程的解 ..这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下【证明】令Ak[x]国画,k1,2,.2 k由于a凶,则门1时，命题成立.

设n k1时命题成立，即有Ai [x],A2[2x],,Aki[(k 1)x].因为，Ak Ak 1 [kx],即kAkkAk1 [kx]对一切k成立，所以 kAk kAk1 [kx], (k1)kAk1 (k1)Ak2 [(k1)x], ,2A2 2A[2x],A1 [x].相加得：kAk (A1A2 Ak1)[x][2x] [(k1)x][kx]故kAk[x][2x] [(k1)x][kx]Ak1Ak2 A2 A1[x][2x] [(k1)x][kx][(k1)x][(k2)x] [2x][x]([x][(k1)x]([2x][(k2)x]) ([(k1)x][x])[kx][kx][kx][kx][kx]k[kx]Ak [kx],即nk时，命题成立，故原不等式对一切nN均成立，证毕.- a7.解：M=|f(x)|max=max{|f⑴|,|f(—1)|,|f(一])|}⑴若|—a|>1(对称轴不在定义域内部)则M=max{|f⑴|,|f(—1)|}而f(l)=1+a+bf(-1)=1-a+b|f⑴l+|f(—1)1於1时f(—1)|=2|a|>4TOC\o"1-5"\h\z则|f⑴|和|f(—1)]中至少有一个不小于 2… 1M>2>一2⑵I-||<1,、 aM=max{|f(1)|,|f(-1)|,|f(--)|}2a=max{|1+a+b|,|1—a+b|,|——+b|}2

aLZ+2

aLZ+b|}=max{|1+a+b|,|1一a+b|,|——+b|,TOC\o"1-5"\h\z1 a2 a2”(|1+a+b|+|1—a+b|+|--+b|+|--+b|)4 4 41>-[(1+a+b)+(1-4\o"CurrentDocument"2 21>-[(1+a+b)+(1-4a+b)—(——+b)—(——+b)]4 41(2a\=4(2万)J)2综上所述，原命题正确.8.先找出-1100一的整数部分与分数部分10 3TOC\