高中数学第一章三角函数1.4.11.4.2单位圆与周期性学案北师大版必修4

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性f 1学习目标导航I ］.理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用. (重点).掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系. (重点).理解周期函数的定义.(难点)1)阶段1认知倾习质疑阶段1认知倾习质疑］知识梳理要怠初探］［基础•初探］教材整理1正、余弦函数阅读教材P13〜P15“例1”以上部分，完成下列问题.任意角的正弦、余弦函数的定义(1)单位圆的定义在直角坐标系中，以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆.(2)如图1—4—1所示，设”是任意角，其顶点与原点重合，始边与X轴非负半轴重合,终边与单位圆O交于点终边与单位圆O交于点P(u,v),那么:图1—4—1正弦函数余弦函数定义点P的纵坐标V定义为角a的正弦函数，记作v=sina点P的横坐标u定义为角a的余弦函数，记作u=cosa通常表示法y=sinx定义域为全体实数，值域为［—1,1］y=cosx定义域为全体实数，值域为［—1,1］在各象限1正y正负正的符号山“量负。iE»iiL・ O微体验O 判断(正确的打“，”，错误的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角. ( )(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，而不用角度制. ( )(3)角”确定，则角a的正弦、余弦函数值与点P在终边上的位置无关.( )(4)若sina<0,则a为第三或第四象限角.( )【解析】 根据三角函数的定义，知(1)正确，(3)正确；尽管在正弦函数、余弦函数的定义中，角a的值既可以用角度制，又可以用弧度制来表示，若用角度制表示时，如30… TT TT、. +sin300就无法进行运算,改用弧度制时,石+sin不就可以运算了,即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了，因而 (2)正确；若sina<0,a的终边也可能落在y轴的负半轴上，因而(4)错.【答案】 (1)V(2)V(3)V(4)X教材整理2周期函数阅读教材P16〜P17练习以上部分，完成下列问题..终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系.(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x+k•2兀)=sinx(k€Z).(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x+k-2兀)=cosx(kCZ)..一般地，对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内白勺任意一个 x值，都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期..特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k兀(kCZ,kw0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2兀是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为最小正周期. 口微体验o 判断(正确的打“，”，错误的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)2ku(keZ)是正弦、余弦函数的周期. ( )(2)f(x)=x2满足f(-3+6)=f(-3),故f(x)=x2为周期函数.( )(3)对正弦函数f(x)=sinx有f'+"2i=f:所以"2是f(x)的周期.( )【解析】 (1)错误.kez且kwo时，2k兀是正弦、余弦函数的周期.

(2)错误.因为f(—2+6)wf(—2).⑶错误.f7t-2J-卜f(兀)不满足任意性.【答案】 (1)x(2)x(3)x［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑:疑问(2)错误.因为f(—2+6)wf(—2).⑶错误.f7t-2J-卜f(兀)不满足任意性.【答案】 (1)x(2)x(3)x［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑:疑问2:解惑:疑问3:解惑:合作探究通关［小组合作型］正弦、余弦函数的定义I-1的终边经过点 P(a,a),aw0,求sin90,cos0.已知【精彩点拨】利用正弦函数、余弦函数的定义可求 sin【自主解答】当a>0时，r=52+a2=，2a,得sin0_J2当a<0时,1••Ja2+a2=—2a,得sincose=+一乎.

一啦a2名师」利用三角函数的定义求值的策略.求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离..若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理.

.若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标.［再练一题］1.已知角&的终边在直线y=2x上，求角&的正弦值和余弦值.【导学号：66470006】【解】 设直线上任意一点P(a,2a),aw。,贝Ur=山2+—20―2=甲a|.当a>0当a>0时，sin2a0= -=■5|a| 5cos_a__1___5一5|a|-cos_a__1___5一5|a|-5一5当a<0时，sin2 2v55 5cos11才" cos11才" 三角函数值的符号判断a -1 延— =—―=—— 5|a| 5 5(1)判断符号：sin340°•cos265(2)若sin2a>0,且cosa<0,试确定a所在的象限.【精彩点拨】 (1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号，进一步确定各式符号.(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定 2a的象限，进而确定a所在的象限.【自主解答】 (1)•••340。是第四象限角，265°是第三象限角，•••sin340°<0,cos265°<0,••.sin340°-cos265°>0.sin2a>0,••-2k7t<2a<2kTt+兀(kCZ),兀•-ku<a<kjt+~2"(keZ).当k为偶数时，设k=2mmeZ),»- -.兀，一有2mt<a<2mk+—(m€Z);当k为奇数时，设k=(2m^1)(mCZ),有2m兀+兀<a<2mTt+324mCZ).为第一或第三象限角.又由COSE<0,可知E为第三象限角.名师/名师/.正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、 余弦右为正”，即当角a的终边在x轴的上方时Sina>0；当角a的终边在y轴的右侧时，COSa>0..对于确定角a所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号， 然后根据各三角函数的符号来确定角 a所在象限，则它们的公共象限即为所求.TT ,.由k兀<0<卜兀十万(kCZ)确te0所在象限时应对k进仃分类讨论.［再练一题］2.(1)判断sin2.(1)判断sin2sin4cos3cos6的符号;(2)若sina>0,cosa<0,判断角a所在象限.【解】(1),「ZC号,兀I，3c中,兀I，4c［兀,2^-j,6c^2^,2兀jsin2>0,cos3<0,sin4<0,cos6>0,sin2-cos3 >0.sin4•cos62).sina>0, a的终边在一、二象限或 y轴的正半轴上.cosa<0,a的终边在二、三象限或 x轴的负半轴上.故当sina>0且cosa<0时，a在第二象限.［探究共研型］□iH- 1*44利用正弦、余弦函数的周期性求值探究130°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？【提示】 相等.探究2终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？【提示】 都相等.因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等.探究3公式sin(2k兀+x)=sinx,k€Z,cos(2ku+x)=cosx,k€Z,揭示了什么规律，有什么作用？【提示】(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律， 即角a的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次.0至IJ20至IJ2兀(或0°至IJ360°)角的三角函数值.》例求下列各角的三角函数值.(1)sin236~兀I；(2)cos150017(3)sin -4兀25(4)cos-3兀.【精彩点拨】当角a不在0〜2兀之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等”，把该角转化到0〜2兀之间,再求值.的三角函数值.》例求下列各角的三角函数值.(1)sin236~兀I；(2)cos150017(3)sin -4兀25(4)cos-3兀.【精彩点拨】当角a不在0〜2兀之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等”，把该角转化到0〜2兀之间,再求值.【自主解答】(1)sin23一豆兀i=sin(2)cos1500=cos(4X360°+60°)=cos60°12.17(3)sin —兀( 兀=sin2兀x2+了尸sin25

(4)cos—兀

3=cos2Tt*4+。；=cos兀13=2.名师）1.利用终边相同的正弦、 余弦值之间的关系可把任意角的三角函数化归为 ［0,2兀）内的（转化）思想.三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归（转化）思想..一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值.3.兀"6兀"4兀3兀T2兀3兀5兀正弦1蛆小1亚比1222222余弦亚也101也.亚222222J［再练一题］.求下列三角函数值.(1)cos(-1050°);(2)sin⑶log2(4sin1110°).

【解】 (1) —1050°=—3X360°+30°,・••—1050°的角与30°的角终边相同.cos(-1050)°=cos30°=..一苧=—4X2兀+-4,TOC\o"1-5"\h\z・•・角一亭与角:的终边相同.4 4■■sin［一誓户sin十坐。 。 。 。 1「sin1110 =sin(3X360+30)=sin30 =11.log2(4sin1110 )=log22*4j=log22=1.［构建•体系］.已知P（3,4）是终边“上一点，则sina等于.已知P（3,4）是终边“上一点，则sina等于（ ）3/r