高中数学人教A版必修第一册《正切函数的性质与图象》课件

5.4.3正切函数的性质与图象5.4.3正切函数的性质与图象1

（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？可以有两种思路．思路1，按照正余弦函数图象与性质的研究思路，先描点画图，得到图象，根据图象观察获得性质，再证明．整体感知问题1

（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？可以有两种思路．思路

思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质．整体感知可以有两种思路．（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？问题1

（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数

追问我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？先研究周期性，再研究奇偶性．整体感知追问我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图由诱导公式tan（x＋π）＝tanx，x∈R，且x≠

＋kπ，k∈Z．

根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且周期是π．新知探究问题2

类比正弦函数周期得出过程，判断正切函数是周期函数吗？如何求正切函数的周期？高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件由诱导公式tan（x＋π）＝tanx，x∈R，且x≠＋由诱导公式tan（－x）＝－tanx，x∈R，且x≠

＋kπ，k∈Z．

可知：正切函数是奇函数．新知探究问题3

你能用简洁的办法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试．高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件由诱导公式tan（－x）＝－tanx，x∈R，且x≠＋

根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，比如区间

内的图象与性质即可．新知探究比如区间

内的图象与性质即可．问题4

你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考．高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，再根据正

追问1

画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．新知探究问题5

如何画出函数y＝tanx，x∈的图象呢？高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问1画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据

在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）．过点B作x轴的垂线，垂足为M则

．①追问1

画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．新知探究如图所示，设x∈

，高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）

追问2

①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显然是不方便画图的．回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化①式，以方便描出正切函数图象上的点呢？是一条线段，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此应该设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．新知探究正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆交点的纵坐标，高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问2①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显

追问2

①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显然是不方便画图的．回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化①式，以方便描出正切函数图象上的点呢？过点A（1，0）作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则

．②由②式可知，当x∈

时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．因此可以利用线段AT画出函数y＝tanx，x∈

的图象．新知探究于是得到：如图，高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问2①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显

追问3

请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈

的图象．并观察图象有哪些特征？随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于

时，AT的长度趋向于无穷大．新知探究解答：如图所示，可以画出函数y＝tanx，x∈

的图象．观察图象可知：当x∈

时，高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问3请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈

追问3

请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈

的图象．并观察图象有哪些特征？新知探究相应地，函数y＝tanx，x∈的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线

，但不会与该直线相交．高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问3请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈

新知探究问题6

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？★资源名称：【数学探究】正切函数的图象★使用说明：本资源为“正切函数的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件新知探究问题6你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画

如图，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y＝tanx，x∈

图象关于原点的对称图形，就可得到y＝tanx，x∈的图象；新知探究问题6

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件如图，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y＝tan

第二步，根据正切函数的周期性，新知探究问题6

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？只要把函数y＝tanx，x∈

图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tanx，x∈R，且

，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线．第二步，根据正切函数的周期性，新知探究问题6你能借助以上

还需要研究正切函数的单调性与值域．（1）单调性（2）值域正切函数的值域是实数集R．正切函数在每一个区间

上都单调递增．新知探究问题7

从函数图象与性质研究的基本套路看，还需要研究正切函数的什么性质？观察函数y＝tanx，x∈

的图象，你得到的结论是什么？还需要研究正切函数的单调性与值域．（1）单调性（2）值域正

即所以，函数的定义域是设由

，得：

，即新知探究例1

求函数

的定义域、周期及单调区间．解：自变量x的取值应满足即所以，函数的定义域是设由

例1

求函数

的定义域、周期及单调区间．都有，所以，函数的周期为2．解得：所以，函数在区间

上单调递增．由新知探究解：因为对任意例1求函数

按照函数研究的基本套路确定了研究内容．并采用了新的研究路径：性质——图象——性质．知道了正切函数的周期、奇偶性、单调性及值域．会画正切函数的图象．在利用正切函数求解与例1类似的问题时，要先求定义域．特别是知道了函数图象无限逼近直线归纳小结问题7

本节课是按照怎样的研究套路进行的？获得了关于正切函数图像与性质的哪些基本知识、技能？在应用中有哪些经验？按照函数研究的基本套路确定了研究内容．并采用了新的研究路径

归纳小结问题7

本节课是按照怎样的研究套路进行的？获得了关于正切函数图像与性质的哪些基本知识、技能？在应用中有哪些经验？★资源名称：【知识点解析】正切函数的图象与性质★使用说明：本资源展现“正切函数的图象与性质”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂小结进行展示播放．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．归纳小结问题7本节课是按照怎样的研究套路进行的？获得了关

作业：教科书习题5.4第7，8，9，12，13，14，15题．作业布置作业：教科书习题5.4第7，8，9，12，13，14，15

目标检测（1）y＝tan2x；

（2）y＝5tan．单调递增区间

；（2）定义域：

；周期2π；单调递增区间

．求下列函数的定义域、周期和单调区间：练答案：（1）定义域：

；周期；目标检测（1）y＝tan2x；（2）y＝5tan再见再见245.4.3正切函数的性质与图象5.4.3正切函数的性质与图象25

（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？可以有两种思路．思路1，按照正余弦函数图象与性质的研究思路，先描点画图，得到图象，根据图象观察获得性质，再证明．整体感知问题1

（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？可以有两种思路．思路

思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质．整体感知可以有两种思路．（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？问题1

（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数

追问我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？先研究周期性，再研究奇偶性．整体感知追问我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图由诱导公式tan（x＋π）＝tanx，x∈R，且x≠

＋kπ，k∈Z．

根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且周期是π．新知探究问题2

类比正弦函数周期得出过程，判断正切函数是周期函数吗？如何求正切函数的周期？高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件由诱导公式tan（x＋π）＝tanx，x∈R，且x≠＋由诱导公式tan（－x）＝－tanx，x∈R，且x≠

＋kπ，k∈Z．

可知：正切函数是奇函数．新知探究问题3

你能用简洁的办法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试．高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件由诱导公式tan（－x）＝－tanx，x∈R，且x≠＋

根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，比如区间

内的图象与性质即可．新知探究比如区间

内的图象与性质即可．问题4

你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考．高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，再根据正

追问1

画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．新知探究问题5

如何画出函数y＝tanx，x∈的图象呢？高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问1画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据

在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）．过点B作x轴的垂线，垂足为M则

．①追问1

画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．新知探究如图所示，设x∈

，高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）

追问2

①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显然是不方便画图的．回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化①式，以方便描出正切函数图象上的点呢？是一条线段，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此应该设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．新知探究正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆交点的纵坐标，高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问2①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显

追问2

①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显然是不方便画图的．回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化①式，以方便描出正切函数图象上的点呢？过点A（1，0）作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则

．②由②式可知，当x∈

时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．因此可以利用线段AT画出函数y＝tanx，x∈

的图象．新知探究于是得到：如图，高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问2①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显

追问3

请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈

的图象．并观察图象有哪些特征？随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于

时，AT的长度趋向于无穷大．新知探究解答：如图所示，可以画出函数y＝tanx，x∈

的图象．观察图象可知：当x∈

时，高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问3请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈

追问3

请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈

的图象．并观察图象有哪些特征？新知探究相应地，函数y＝tanx，x∈的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线

，但不会与该直线相交．高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件追问3请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈

新知探究问题6

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？★资源名称：【数学探究】正切函数的图象★使用说明：本资源为“正切函数的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件新知探究问题6你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画

如图，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y＝tanx，x∈

图象关于原点的对称图形，就可得到y＝tanx，x∈的图象；新知探究问题6

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》课件如图，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y＝tan

第二步，根据正切函数的周期性，新知探究问题6

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？只要把函数y＝tanx，x∈

图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tanx，x∈R，且

，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线．第二步，根据正切函数的周期性，新知探究问题6你能借助以上

还需要研究正切函数的单调性与值域．（1）单调性（2）值域正切函数的值域是实数集R．正切函数在每一个区间

上都单调递增．新知探究问题7

从函数图象与性质研究的基本套路看，还需要研究正切函数的什么性质？观察函数y＝tanx，x∈

的图象，你得到的结论是什么？还需要研究正切函数的单调性与值域．（1）单调性（2）值域正

即所以，函数的定义域是设由

，得：

，即新知探究例1

求函数

的定义域、周期及单调区间．解：自变量x的取值应满足即所以，函数的定义域是设由