2019年241平面向量数量积的物理背景及其含义教案

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标：1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积定义及应用（能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题）教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。教学过程：一、情景导入、引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型一概念一性质一运算律一应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S,（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S,那么力F所做的功：W=|F||S|cosa。(2)这个公式的有什么特点？请完成下列填空：TOC\o"1-5"\h\zW(功)是量，F(力)是量，S(位移)是—量，a是。你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义数量积的定义：—F-—¥■已知两个非零向量a与b，它们的夹角为a,我们把数量丨a|・|bb|cosa叫做a与b的>—b-*―b-t■数量积(或内积)，记作：a•b，即：a•b=|a|・|b|cosa(2)定义说明：记法“a・b”中间的“・”不可以省略，也不可以用“x”代替。“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。(3)提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量f—►a与b的模有关，还和它们的夹角有关。(4)学生讨论，并完成下表：a的范围o°Wa〈90°a=90°0°<a<180°a・b的符号一——►*—►*(5)探究题组一：已知丨a丨=3,|b丨=6，当①a〃b，②a丄b，③a与b的夹角是60°时，分别求a・b.—F-—►—F-—►解：①当a〃b时，若a与b同向，则它们的夹角Q=0°,IbIcosO°=3X6X1=18；若a与b反向，则它们的夹角e=180°，a・b=|a||b|cos180°=3X6X(-1)=-18；=-72=-72②当a丄b时，它们的夹角0=90°,a•b=0；③当a与b的夹角是60°时，有1a•b=|a||b|cos60°=3X6X—=9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是】0。，180。］，因此，当a〃b时,有0°或180°两种可能.探究二：研究数量积的几何意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把Ib|cosa(|a|cosa)叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影,记做：OB］二||b||cosa注：投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值;时投影为0；当0=0。时投影为Ibl；当9=180。时投影为-Ibl.2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a・b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影Ib|cosa的乘积。探究三：探究数量积的运算性质1、数量积的性质性质：若a和b均为非零向量alboa•b=0a与b同向时，a•b特别地：a•a=|a|a-b亠一cos0=—；—；—|(夹角)|a•b|<a|・垂直)=|a|・|b|,a与b反向时，a•b=-|a|・|b|2=、；a-a(长度)Ib丨（注意等号成立的条件）2、探究题组二（师生共同完成）已知丨a|=6，|b|=4,a与b的夹角为60。，求—►■—►■（a+2b）・（a-3b），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解:(a+2b)・(a-3b)=a.a-3a.b+2a.b-6b.b=36-3X4X6X0.5-6X4X4评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律变式：(1)(a+b)2=a2+2a•b+b2(2)((2)(a+b)・(a-b)=a2—b2探究四、数量积的运算律：交换律：.对数乘的结合律：；分配律：.注意：数量积不满足结合律和消去律，即：(1)(2)探究题组3:已知|a=3,b=4,a与b不共线,k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直?解：(a+kb)丄(a解：(a+kb)丄(a一kb)o(a+kb)-(a一kb)=0oa2-k2b2=0o9-16k2=0ok=±34三、思悟小结：知识线：平面向量的数量积；平面向量的数量积的几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；平面向量的数量积与向量投影的关系。思想方法线：公式或定义法；数形结合、分类讨论等思想方法。四、针对训练巩固提高：1、1)下列各式：1、1)下列各式：/(Xa)•b=-b)=a-a-b=|a|-|b|为+玷c=a卢+b-c⑷a-c=a-d-c丿正确的个数为2、已知：a=6,3)b=(-4,7)，则a在b上的投影为3、下列命题中（1）若a二0,则对任意向量b有a-b二0（2）若a丰0,则对任一个非零向量b，有a-b丰0（3/r